15.4.1同底數(shù)冪的除法2

15.4同底數(shù)冪的除法教學目標使學生理解同底數(shù)冪的除法性質(zhì)，知道它的到出過程；使學生會用同底數(shù)冪的性質(zhì)進行計算；通過由特殊到一般，再由一般到特殊的認識活動，對學生滲透辯證唯物主義觀點。教學重點和難點同底數(shù)冪的除法法則的推導及應用。教學過程一、相關(guān)重點復習

1．同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n

(m,

n是自然數(shù))

同底數(shù)冪的乘法法則是第一個冪的運算法則，也是整式乘法的主要依據(jù)之一。學習這個法則時應注意以下幾個問題：

（1）弄清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個基本概念的涵義。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：

(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底數(shù)就是一個二項式(2x+y)。

（3）指數(shù)都是正整數(shù)

（4）這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap....=am+n+p+...

(m,

n,

p都是自然數(shù))。

（5）不要與整式加法相混淆。乘法是只要求底數(shù)相同則可用法則計算，即底數(shù)不變指數(shù)相加，如：

x5·x4=x5+4=x9；而加法法則要求兩個相同；底數(shù)相同且指數(shù)也必須相同，實際上是冪相同系數(shù)相加，

如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。2．冪的乘方(am)n=amn，與積的乘方(ab)n=anbn

(1)冪的乘方，(am)n=amn，(m,

n都為正整數(shù))運用法則時注意以下以幾點：

①冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)也可以是多項式。如[(x+y)2]3的底數(shù)為(x+y)，是一個多項式，[(x+y)2]3=(x+y)6

②要和同底數(shù)冪的乘法法則相區(qū)別，不要出現(xiàn)下面的錯誤。如：

(a3)4=a7；

[(-a)3]4=(-a)7；

a3·a4=a12

(2)積的乘方(ab)n=anbn，（n為正整數(shù)）運用法則時注意以下幾點：

①注意與前二個法則的區(qū)別：積的乘方等于將積的每個因式分別乘方（即轉(zhuǎn)化成若干個冪的乘方），再把所得的冪相乘。

②積的乘方可推廣到3個以上因式的積的乘方，如：(-3a2b)3

如(a1·a2·……an)m=a1m·a2m·……anm

二、

同底數(shù)冪的除法：

（1）同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n

(a≠0,

m,

n均為正整數(shù)，并且m>n)

注意：同底數(shù)冪的除法是整式除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握。同底數(shù)冪的除法法則是根據(jù)除法是乘法的逆運算歸納總結(jié)出來的，和前面講的冪的運算的三個法則相比，在這里底數(shù)a是不能為零的，否則除數(shù)為零，除法就沒有意義了。又因為在這里沒有引入負指數(shù)和零指數(shù)，所以又規(guī)定m>n。

三、例題分析

1．計算(1)

(x-y)3(y-x)(y-x)6

解：(x-y)3(y-x)(y-x)6

分析：(x-y)3與(y-x)不是同底數(shù)冪

=-(x-y)3(x-y)(x-y)6

可利用y-x=-(x-y),

(y-x)6=(x-y)6

=-(x-y)3+1+6變?yōu)?x-y)為底的同底數(shù)冪，再進行

=-(x-y)10

計算。

例2．計算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4

解：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4

分析：①先做乘法再做減法

=x5+n-3+4-3x2+n+4

②運算結(jié)果指數(shù)能合并的要合并

=x6+n-3x6+n

③3x2即為3·(x2)

=(1-3)x6+n④x6+n，與-3x6+n是同類項，

=-2x6+n

合并時將系數(shù)進行運算(1-3)=-2

底數(shù)和指數(shù)不變。例3．當ab=，m=5,

n=3,

求(ambm)n的值。

解：∵

(ambm)n分析：①對(ab)n=anbn會從右向左進行逆

=[(ab)m]n

運算

ambm=(ab)m

=(ab)mn

②將原式的底數(shù)轉(zhuǎn)化為ab，才可將ab

∴

當m=5,

n=3時，

代換成。

∴

原式=()5×3

()15應將括起來不能寫成15。

=()15

例4．若a3b2=15，求-5a6b4的值。

解：-5a6b4分析：a6b4=(a3b2)2

=-5(a3b2)2應用(ab)nanbn

=-5(15)2

=-1125

例5．如果3m+2n=6，求8m·4n的值解：8m·4n分析：①8m=(23)m=23m

=(23)m·(22)n4n=(22)n=22n

=23m·22n

②式子中出現(xiàn)3m+2n可用6

=23m+2n來代換

=26=64

例6.計算：(1)

a15÷a3(2)

a8÷a7(3)

a5÷a5(4)

xm+n÷xn(5)

x3m÷xm

(6)x3m+2n÷xm+n

解：(1)

a15÷a3=a15-3=a12

(2)

a8÷a7=a8-7=a

(3)

a5÷a5=a5-5=a0=1

(4)

xm+n÷xn=xm+n-n=xm

(5)

x3m÷xm=x3m-m=x2m

(6)x3m+2n÷xm+n=x3m+2n-(m+n)=x2m+n

注意：同底數(shù)的冪相除，是底數(shù)不變，指數(shù)相減，而不是指數(shù)相除。如a15÷a3=a15-3=a12而不是

a15÷a3=a15÷3=a5.

例7.計算：(1)

(a3)5÷(a2)3(2)

(x5÷x)3

(3)

(x4)3·x4÷x16

(4)(a7)3÷a8·(a2)6(5)

(-2)-3+(-2)-2

解：(1)

(a3)5÷(a2)3分析：①應先乘方再乘除

=a15÷a6

②(a3)5=a3×5=a15用冪的乘方法則運算

=a15-6=a9③應用同底數(shù)冪相除法則

(2)

(x5÷x)3

分析：①有括號先做括號內(nèi)的

=(x5-1)3②

括號內(nèi)應用同底數(shù)冪的除法法則

=(x4)3=x4×3③

(x4)3應用冪的乘方法則

=x12

(3)

(x4)3·x4÷x16分析：①先乘方運算再做乘除法

=x12·x4÷x16②同底數(shù)冪的乘除混合運算

=x12+4-16

③轉(zhuǎn)變?yōu)榈讛?shù)不變指數(shù)相加、減

=x0=1④

零指數(shù)法則

(4)(a7)3÷a8·(a2)6

分析：①先做(a7)3,

(a2)6的計算

=a21÷a8·a12②轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪除法，乘法混合計算

=a21-8+12=a25③轉(zhuǎn)化為指數(shù)相減和相加

(5)

(-2)-3+(-2)-2分析：①一個不為0的數(shù)的負整數(shù)冪的值可正可負

=(-)3+(-)2

②(-2)-3<0,

(-2)-2>0.

=-+=+

注意：例題的計算中的混合運算注意運算順序，不要出現(xiàn)以下錯誤：a21÷a8·a12=a21÷a20=x.

例8.計算：(1)

(2a+b)5÷(2a+b)3

(2)

x8÷(x4÷x2)

(3)

[(a2)4·(a3)4]÷(a5)2

*(4)

(x+y)÷(x+y)-1

解：(1)

(2a+b)5÷(2a+b)3

分析：①此題為同底數(shù)冪相除

=(2a+b)5-3②底數(shù)為(2a+b)不變，指數(shù)相減

=(2a+b)2

(2)

x8÷(x4÷x2)分析：①先做小括號內(nèi)的運算

=x8÷(x4-2)②除法沒有分