山東省臨沂市河東區(qū)2023-2024學年高一下學期期中數(shù)學試卷（含答案）

山東省臨沂市河東區(qū)2023-2024學年高一下學期期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）若復數(shù)z滿足（1+i）z＝i，則復數(shù)z的虛部為（）A． B．i C．1 D．i2．（5分）cos15°＝（）A． B． C． D．3．（5分）如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，記＝，＝，則＝（）A． B． C． D．4．（5分）將正弦曲線上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，然后再將所得圖象上所有點向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A． B． C． D．5．（5分）圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的2倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為36π，則圓臺較小底面的半徑為（）A．8 B．6 C．4 D．26．（5分）一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔64海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為（）A．海里/小時 B．海里/小時 C．海里/小時 D．海里/小時7．（5分）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A．20+12 B．28 C． D．8．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，點M，N分別在邊AC，BC上，且滿足，，若AN，BM相交于點P，則cos∠MPN＝（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知向量，，是與同向的單位向量，則（）A． B．與可以作為一組基底 C． D．向量在向量上的投影向量為（多選）10．（6分）下列說法正確的是（）A．若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z1z2為實數(shù) B．若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則i4n﹣3＝﹣i C．若1+i是關(guān)于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b∈R）的根，則1﹣i也是該方程的根 D．復數(shù)z滿足|z﹣1|＝1，則|z﹣i|的最大值為（多選）11．（6分）如圖，正八面體E﹣ABCD﹣F的每一個面都是正三角形，并且四邊形ABCD，四邊形BEDF，四邊形AECF都是正方形，若正方形ABCD的邊長為2cm，則（）A．正八面體E﹣ABCD﹣F的表面積為 B．正八面體E﹣ABCD﹣F的體積為 C．正八面體E﹣ABCD﹣F的外接球的表面積為8πcm2 D．正八面體E﹣ABCD﹣F的內(nèi)切球的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A'C'＝6，B'C'＝4，則邊AB上的中線的實際長度為．13．（5分）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量，叫作把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P．已知平面內(nèi)點A（1，3），點，把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點P，若點O為坐標原點，則＝．14．（5分）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶（約1202﹣1261）獨立推出了“三斜求積”公式，在他的著作《數(shù)書九章》中的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”把以上這段文字寫成從三條邊長求三角形面積的公式，就是．現(xiàn)有△ABC滿足，且△ABC的面積是，則△ABC的周長為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知向量，，．（1）若，求實數(shù)x的值；（2）若，求向量與的夾角θ．16．（15分）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐PO底面圓的半徑是4，軸截面PAB的面積是12．（1）求圓錐PO的母線長；（2）過圓錐PO的兩條母線PB，PC作一個截面，求截面PBC面積的最大值．17．（15分）（1）已知α，β都是銳角，，，求tan（α+2β）的值；（2）已知，，求cos（α﹣β）的值．18．（17分）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，（1）求常數(shù)m的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求使f（x）＞5成立的x的取值集合．19．（17分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2+b2＝c2+ab．（1）若c＝8，，D為邊AB上的中點，求；（2）若E為邊AB上一點，且，，求2a+b的最小值．參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）若復數(shù)z滿足（1+i）z＝i，則復數(shù)z的虛部為（）A． B．i C．1 D．i【分析】根據(jù)復數(shù)的有關(guān)概念，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵（1+i）z＝i，∴z＝＝，故復數(shù)z的虛部為，故選：A．【點評】本題主要考查復數(shù)的有關(guān)概念和運算，利用復數(shù)的四則運算是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．2．（5分）cos15°＝（）A． B． C． D．【分析】利用半角公式cos15°＝即可得出．【解答】解：cos15°＝＝＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查了半角公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，記＝，＝，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件可知＝++，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)可解決此題．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，∴＝＝＝＝﹣，＝＝，∴＝++＝++＝﹣+（+）＝+（﹣﹣）＝﹣，故選：D．【點評】本題考查平面向量加減運算及基本定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）將正弦曲線上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，然后再將所得圖象上所有點向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A． B． C． D．【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．【解答】解：正弦曲線y＝sinx上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝sin2x的圖象，然后再將所得圖象上所有點向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）＝sin（2x﹣）的圖象．故選：B．【點評】本題考查的知識點：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的2倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為36π，則圓臺較小底面的半徑為（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓臺較小底面的半徑為r，分析可得較大的底面的半徑為2r，結(jié)合圓臺的側(cè)面積公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓臺較小底面的半徑為r，由于圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的2倍，則較大的底面的半徑為2r，又由圓臺的側(cè)面積為36π，則有π（r+2r）l＝9rπ＝36π，解可得r＝4．故選：C．【點評】本題考查圓臺的結(jié)構(gòu)特征，涉及圓臺的側(cè)面積計算，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔64海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為（）A．海里/小時 B．海里/小時 C．海里/小時 D．海里/小時【分析】根據(jù)題意可求得∠MPN和，∠PNM進而利用正弦定理求得MN的值，進而求得船航行的時間，最后利用里程除以時間即可求得問題的答案．【解答】解：由題意知∠MPN＝75°+45°＝120°，∠PNM＝45°，在△PMN中，由正弦定理，得MN＝64×＝32，又由M到N所用時間為14﹣10＝4（小時），所以船的航行速度v＝8（海里/時）．故選：A．【點評】本題主要考查了解三角形的實際應用，解答關(guān)鍵是利用正弦定理建立邊角關(guān)系，考查了學生分析問題和解決問題的能力．7．（5分）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A．20+12 B．28 C． D．【分析】法一：過A作AE⊥A1B1，得A1E＝＝1，AE＝＝．連接AC，A1C1，過A作AG⊥A1C1，求出A1G＝，從而AG＝＝，由此能求出正四棱臺的體積．法二：由四棱臺的幾何特征算出幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式能求出結(jié)果．【解答】解法一：如圖ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱臺，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．在等腰梯形A1B1BA中，過A作AE⊥A1B1，可得A1E＝＝1，AE＝＝＝．連接AC，A1C1，AC＝，A1C1＝＝4，過A作AG⊥A1C1，A1G＝＝，AG＝＝＝，∴正四棱臺的體積為：V＝＝＝．解法二：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，∵該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，∴該棱臺的高h＝＝，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，則該棱臺的體積為：V＝＝＝．故選：D．【點評】本題考查四棱臺的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，是中檔題．8．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，點M，N分別在邊AC，BC上，且滿足，，若AN，BM相交于點P，則cos∠MPN＝（）A． B． C． D．【分析】以，為平面向量一組基底，將與用基底表示，求得其模與數(shù)量積，利用向量夾角公式即可求得結(jié)論．【解答】解：由，，可得，，所以＝＝，＝，又AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，所以，＝，＝＝2，＝＝，故＝＝，即cos∠MPN＝．故選：C．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算及夾角公式，屬中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知向量，，是與同向的單位向量，則（）A． B．與可以作為一組基底 C． D．向量在向量上的投影向量為【分析】由向量的模、投影向量及向量共線的坐標表示對每個選項逐一進行判斷．【解答】解：對于A，因為向量，，所以，所以，故A錯；對于B，因為2×4≠﹣3×1，所以與不共線，所以與可以作為一組基底，故B對；對于C，因為是與同向的單位向量，所以，故C對；對于D，，所以，所以向量在向量上的投影向量為＝，故D對．故選：BCD．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算，考查了投影向量，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）下列說法正確的是（）A．若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z1z2為實數(shù) B．若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則i4n﹣3＝﹣i C．若1+i是關(guān)于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b∈R）的根，則1﹣i也是該方程的根 D．復數(shù)z滿足|z﹣1|＝1，則|z﹣i|的最大值為【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的乘積是實數(shù)，判斷選項A；根據(jù)復數(shù)i的運算性質(zhì)，求出i4n﹣3，即可判斷選項B；根據(jù)實系數(shù)一元二次方程有復數(shù)根，則它的兩根為共軛復數(shù)，判斷選項C；根據(jù)絕對值不等式，求出|z﹣i|的最大值，判斷選項D．【解答】解：對于A，若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z1z2＝＝為實數(shù)，選項A正確；對于B，i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則i4n﹣3＝＝＝i，選項B錯誤；對于C，1+i是實系數(shù)方程ax2+bx+2＝0的根，則它的共軛復數(shù)1﹣i也是該方程的根，選項C正確；對于D，由1＝|z﹣1|＝|（z﹣i）+（i﹣1）|≥|z﹣i|﹣|i﹣1|，所以|z﹣i|≤1+|i﹣1|＝1+，所以|z﹣i|的最大值為1+，選項D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查了復數(shù)的概念與應用問題，是基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）如圖，正八面體E﹣ABCD﹣F的每一個面都是正三角形，并且四邊形ABCD，四邊形BEDF，四邊形AECF都是正方形，若正方形ABCD的邊長為2cm，則（）A．正八面體E﹣ABCD﹣F的表面積為 B．正八面體E﹣ABCD﹣F的體積為 C．正八面體E﹣ABCD﹣F的外接球的表面積為8πcm2 D．正八面體E﹣ABCD﹣F的內(nèi)切球的體積為【分析】對于A：根據(jù)正八面體的表面是八個全等的等邊三角形，根據(jù)三角形面積即可求解；對于B：根據(jù)棱錐的體積公式求解即可；對于C：根據(jù)OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，確定點O是正八面體的外接球的球心，即可求解；對于D：設(shè)正八面體的內(nèi)切球的半徑為r，八個面的面積分別為Si（1≤i≤8，i∈Z），根據(jù)，即可求解．【解答】解：對于A：設(shè)正八面體的表面積為S，則，因此選項A正確；對于B：記正方形ABCD的中心為O，易知EO⊥平面ABCD，，則，故＝，因此選項B錯誤；對于C：因為OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，故點O是正八面體的外接球的球心，則外接球表面積為，因此選項C正確；對于D：設(shè)正八面體的內(nèi)切球的半徑為r，八個面的面積分別為Si（1≤i≤8，i∈Z），則，即，解得，則內(nèi)切球體積為，因此選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A'C'＝6，B'C'＝4，則邊AB上的中線的實際長度為5．【分析】根據(jù)直觀圖得到平面圖形，利用勾股定理求出AB，即可求出邊AB上的中線的實際長度．【解答】解：由直觀圖得到：其中AC＝6，BC＝2B′C′＝8，∴AB＝＝10，∴在直角△ABC中，斜邊AB上的中線為＝5．故答案為：5．【點評】本題考查三角形中位線的定理，考查斜二測法、等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．（5分）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量，叫作把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P．已知平面內(nèi)點A（1，3），點，把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點P，若點O為坐標原點，則＝2．【分析】由題意求得的坐標，再由計算即可求得．【解答】解：由題可得：，所以＝（1，3），所以，所以．故答案為：2．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶（約1202﹣1261）獨立推出了“三斜求積”公式，在他的著作《數(shù)書九章》中的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”把以上這段文字寫成從三條邊長求三角形面積的公式，就是．現(xiàn)有△ABC滿足，且△ABC的面積是，則△ABC的周長為30+6．【分析】由題意及正弦定理可得a，b，c的比值，設(shè)a，b，c，由三角形的面積公式，可得參數(shù)的值，即求出a，b，c的值，進而求出三角形的周長的大?。窘獯稹拷猓河深}意及正弦定理可得a：b：c＝2：3：，設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝k，k＞0，由題意S＝＝54，整理可得＝54，解得k＝6，所以a＝12，b＝18，c＝6，所以該三角形的周長a+b+c＝12+18+6＝30+6．故答案為：30+6．【點評】本題考查正弦定理，三角形面積公式的應用，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知向量，，．（1）若，求實數(shù)x的值；（2）若，求向量與的夾角θ．【分析】（1）結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解；（2）結(jié)合向量共線的性質(zhì)，求出x，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：（1），，，則，＝（1，5），若，則＝3+x+5＝0，解得x＝﹣8；（2），，則3×（﹣2）＝2（x﹣8），解得x＝5，故，，＝3×5+2×（﹣1）＝13，故cosθ＝＝，θ∈[0，π]，則．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（15分）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐PO底面圓的半徑是4，軸截面PAB的面積是12．（1）求圓錐PO的母線長；（2）過圓錐PO的兩條母線PB，PC作一個截面，求截面PBC面積的最大值．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為h，由截面面積公式可得h的值，進而由圓錐的結(jié)構(gòu)特征分析可得答案；（2）根據(jù)題意，分析可得∠APB＞90°，結(jié)合三角形面積公式，分析可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為h，若圓錐PO底面圓的半徑是4，軸截面PAB的面積是12，即S△PAB＝×PO×AB＝（2r×h）＝rh＝12，解可得h＝3，則其母線長l＝＝5；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，由于AO＞PO，則∠APO＞45°，故∠APB＞90°，當PB與PC垂直時，截面PBC面積最大，其最大值為×4×4＝8．【點評】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及圓錐的截面計算，屬于基礎(chǔ)題．17．（15分）（1）已知α，β都是銳角，，，求tan（α+2β）的值；（2）已知，，求cos（α﹣β）的值．【分析】（1）結(jié)合同角基本關(guān)系先求出tanβ，然后結(jié)合二倍角公式求tan2β，再由和差角公式即可求解；（2）結(jié)合同角平方關(guān)系及和差角公式即可求解．【解答】解：（1）∵α，β都是銳角，，，所以cosβ＝＝，tanβ＝，所以tan2β＝＝＝，tan（α+2β）＝＝＝1；（2）因為，，兩邊平方相加得，2+2cosαcosβ+2sinαsinβ＝＝，即2+2cos（α﹣β）＝，cos（α﹣β）＝﹣．【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，和差角公式，二倍角公式的綜合應用，屬于中檔題．18．（17分）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，（1）求常數(shù)m的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求使f（x）＞5成立的x的取值集合．【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)f（x）化簡，利用整體思想即可求出其最大值，進而得出參數(shù)m的值；（2）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解不等式即可得出所求的答案；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為sin（2x+）＞，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出所求的答案．【解答】解：（1）因為函數(shù)＝sin2x+cos2x+1+m＝2sin（2x+）+m+1，所以令t＝2x+∈[，]，則sint∈[﹣，1]，所以f（x）的最大值為2+m+1＝6，即m＝3．（2）由（1）知：f（x）＝2sin（2x+）+4，令+2kπ≤