2025屆廣東省揭陽市揭西河婆中學數學高一下期末質量檢測模擬試題含解析

2025屆廣東省揭陽市揭西河婆中學數學高一下期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數的部分圖像如圖所示，則當時，的值域是（）A． B．C． D．2．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內的一組基底；D．若，都是單位向量，則.3．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．設集合，則元素個數為（）A．1 B．2 C．3 D．45．為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣6．在中,,是的內心,若,其中,動點的軌跡所覆蓋的面積為(

)A． B． C． D．7．已知集合，，則（）A． B．C． D．8．辦公室裝修一新，放些植物花草可以清除異味，公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物供員工選擇，每個員工任意選擇2種，則員工甲和乙選擇的植物全不同的概率為：A． B． C． D．9．已知實數滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．610．已知點，為坐標原點，分別在線段上運動，則的周長的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，，，則，，從小到大排列為______12．在數列中，若，則____．13．如圖是一正方體的表面展開圖.、、都是所在棱的中點.則在原正方體中：①與異面；②平面；③平面平面；④與平面形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號是______.14．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件，為了了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n=.15．已知函數，有以下結論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數；③的圖象與圖象關于軸對稱；④設函數，當時，．其中正確的結論為__________．16．向量滿足：，與的夾角為，則＝_____________；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產品的總成本y（萬元）與該月產量x（萬件）之間有如下一組數據：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發(fā)現可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；（2）①建立月總成本y與月產量x之間的回歸方程；②通過建立的y關于x的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件時，此時產品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）附注：①參考數據：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.1．②參考公式：相關系數：r=．回歸方程=x+中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：=，=-18．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.19．已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點為棱的中點,點在棱上運動.（1）求證；（2）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.20．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中點．（1）求證：AE⊥B1C；（2）求異面直線AE與A1C所成的角的大小；（3）若G為C1C中點，求二面角C-AG-E的正切值．21．如圖，在中，，角的平分線交于點，設，其中．（1）求；（2）若，求的長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】如圖，，得，則，又當時，，得，又，得，所以，當時，，所以值域為，故選D．點睛：本題考查由三角函數的圖象求解析式．本題中，先利用周期求的值，然后利用特殊點（一般從五點內取）求的值，最后根據題中的特殊點求的值．值域的求解利用整體思想．2、C【解析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【詳解】對于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，如果兩個非零向量滿足，則，若存在零向量，結論不一定成立，故B錯誤；對于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內的一組基底，故C正確；對于D，若都是單位向量，且方向相同時，；若方向不相同，結論不成立，所以D錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎題．3、A【解析】

設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【詳解】設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是基礎題．4、B【解析】

計算圓心到直線的距離，可知直線與圓相交，可得結果.【詳解】由，圓心為，半徑為1所以可知圓心到直線的距離為所以直線與圓相交，故可知元素個數為2故選：B【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系判斷，屬基礎題.5、C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點：分層抽樣．6、A【解析】

畫出圖形，由已知條件便知P點在以BD，BP為鄰邊的平行四邊形內，從而所求面積為2倍的△AOB的面積，從而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的長為5，根據O為△ABC的內心，從而O到△ABC三邊的距離相等，從而，由面積公式可以求出△ABC的面積，從而求出△AOB的面積，這樣2S△AOB便是所求的面積．【詳解】如圖，根據題意知，P點在以BP，BD為鄰邊的平行四邊形內部，∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O為△ABC的內心；所以內切圓半徑r=,所以∴==；∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為．故答案為：A．【點睛】本題主要考查考查向量加法的平行四邊形法則，向量數乘的幾何意義，余弦定理，以及三角形內心的定義，三角形的面積公式．意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關鍵是找到P點所覆蓋的區(qū)域.7、A【解析】

先化簡集合，根據交集與并集的概念，即可得出結果?！驹斀狻恳驗椋?，所以，.故選A【點睛】本題主要考查集合的基本運算，熟記概念即可，屬于基礎題型.8、A【解析】

從公司提供的4中植物中任意選擇2種，求得員工甲和乙共有種選法，再由任選2種有種，得到員工甲和乙選擇的植物全不同有種選法，利用古典概型的概率計算公式，即可求解．【詳解】由題意，從公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物每個員工任意選擇2種，則員工甲和乙共有種不同的選法，又從公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物中，任選2種，共有種選法，則員工甲和乙選擇的植物全不同，共有種不同的選法，所以員工甲和乙選擇的植物全不同的概率為，故選A．【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及排列、組合的應用，其中解答中認真審題，合理利用排列、組合求得基本事件的個數，利用古典概型的概率計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．9、D【解析】

設點，根據條件知點均在單位圓上，由向量數量積或斜率知識，可發(fā)現，對目標式子進行變形，發(fā)現其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關.【詳解】設，，均在圓上，且，設的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數形結合思想，發(fā)現代數式的幾何意義，即構造系數，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.10、C【解析】

分別求出設關于直線對稱的點，關于對稱的點，當共線時，的周長取得最小值，為，利用兩點間的距離公式，求出答案.【詳解】過兩點的直線方程為設關于直線對稱的點，則，解得即，同理可求關于對稱的點，當共線時的周長取得最小值為.故選C．【點睛】本題主要考查了點關于直線的對稱性的簡單應用，試題的技巧性較強，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先利用輔助角公式，半角公式，誘導公式分別求出，，的值，然后結合正弦函數的單調性對，，排序即可.【詳解】由題知，，，因為正弦函數在上單調遞增，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了輔助角公式，半角公式，誘導公式，正弦函數的單調區(qū)間，屬于基礎題.12、【解析】

根據遞推關系式，依次求得的值.【詳解】由于，所以，.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據遞推關系式求數列某一項的值，屬于基礎題.13、①②④【解析】

將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進行判斷.【詳解】根據條件將正方體進行還原如下圖所示：對于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；對于命題②，、分別為所在棱的中點，易證四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，命題②正確；對于命題③，在正方體中，平面，由于四邊形為平行四邊形，，平面.、平面，，.則二面角所成的角為，顯然不是直角，則平面與平面不垂直，命題③錯誤；對于命題④，設正方體的棱長為，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；對于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角為，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命題⑤錯誤.故答案為①②④.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關系的判斷以及線面角、二面角的計算，判斷時要從空間中有關線線、線面、面面關系的平行或垂直的判定或性質定理出發(fā)進行推導，在計算空間角時，則應利用空間角的定義來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.14、13【解析】(解法1)由分層抽樣得，解得n＝13.(解法2)從甲乙丙三個車間依次抽取a，b，c個樣本，則120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.15、②③④【解析】

首先化簡函數解析式，逐一分析選項，得到答案.【詳解】①當時，函數的周期為，，或，所以①不正確；②時，，所以是增函數，②正確；③函數還可以化簡為，所以與關于軸對稱，正確；④，當時，，，④正確故選②③④【點睛】本題考查了三角函數的化簡和三角函數的性質，屬于中檔題型.16、【解析】

根據模的計算公式可直接求解.【詳解】故填：.【點睛】本題考查了平面向量模的求法，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）①；②3.385萬元．【解析】

（1）由已知條件利用公式，求得的值，再與比較大小即可得結果；（2）根據所給的數據，做出變量的平均數，根據樣本中心點一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程；將代入所求線性回歸方程求出對應的的值即可.【詳解】（1）由已知條件得：，這說明與正相關，且相關性很強．（2）①由已知求得，所以所求回歸直線方程為．②當時，（萬元），此時產品的總成本為3.385萬元．【點睛】本題主要考查線性回歸方程的求解與應用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：①依據樣本數據確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.18、（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性質定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．19、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點.【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數量積運算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標，進而求出||，即得答案.【詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因為＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設＝（x，y，z）為平面EA1D的一個法向量，則即，取＝（2，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設＝（x，y，z）為平面A1DB的一個法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個法向量＝（1，﹣1，2），根據點E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個法向量，設F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．存在F點為AC中點.【點睛】本題考查重點考查直線與平面垂直的性質、二面角的平面角及其求法、空間點、線、面間距離計算，考查學生空間想象能力、推理論證能力．20、（1）見解析；（2）；（3）【解析】

（1）由BB1⊥面ABC及線面垂直的性質可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中點，及等腰三角形三線合一，可得AE⊥BC，結合線面垂直的判定定理可證得AE⊥面BB1C1C，進而由線面垂直的性質得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中點E1，連A1E1，E1C，根據異面直線夾角定義可得，∠E1A1C是異面直線A與A1C所成的角，設AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．（3）連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連EP，E