吉林省長春市第十一高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

吉林省長春市第十一高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若角的終邊過點(diǎn)，則()A． B． C． D．2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則關(guān)于數(shù)列、的極限，下面判斷正確的是（）A．?dāng)?shù)列的極限不存在，的極限存在B．?dāng)?shù)列的極限存在，的極限不存在C．?dāng)?shù)列、的極限均存在，但極限值不相等D．?dāng)?shù)列、的極限均存在，且極限值相等3．七巧板是我國古代勞動人民發(fā)明的一種智力玩具，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．4．如圖，各棱長均為的正三棱柱，、分別為線段、上的動點(diǎn)，且平面，，中點(diǎn)軌跡長度為，則正三棱柱的體積為（）A． B． C．3 D．5．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是對角線AC上一點(diǎn)，，過點(diǎn)P的直線分別交DA的延長線，AB，DC于點(diǎn)M，E，N.若(m>0，n>0)，則2m＋3n的最小值是()A． B．C． D．6．某學(xué)生用隨機(jī)模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發(fā)現(xiàn)有粒芝麻落入圓內(nèi)，則該學(xué)生得到圓周率的近似值為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)是()A． B．C． D．8．已知三棱錐，若平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．在中，，，，則B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不對10．如圖，在正四棱錐中，，側(cè)面積為，則它的體積為（）A．4 B．8 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若一個(gè)圓錐的高和底面直徑相等且它的體積為，則此圓錐的側(cè)面積為______.12．過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為．13．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，當(dāng)取到最大值時(shí)，___________.14．若集合，，則集合________.15．若點(diǎn)，是圓C：上不同的兩點(diǎn)，且，則的值為______.16．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，，（1）求的最小正周期；（2）若，求的最大值和最小值，并寫出相應(yīng)的x的值.18．某算法框圖如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式及的值；(2)若在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)輸入一個(gè)值，求輸出的值小于0的概率.19．已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求直線：被圓截得的弦長.20．如圖，是正方形，是正方形的中心，底面是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若,求三棱錐的體積.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

解法一：利用三角函數(shù)的定義求出、的值，再利用二倍角公式可得出的值；解法二：利用三角函數(shù)的定義求出，再利用二倍角公式以及弦化切的思想求出的值．【詳解】解法一：由三角函數(shù)的定義可得，，，故選D．解法二：由三角函數(shù)定義可得，所以，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義與二倍角公式，考查同角三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)的定義求值是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了同角三角函數(shù)基本思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

分別考慮與的極限，然后作比較.【詳解】因?yàn)?，又，所以?shù)列、的極限均存在，且極限值相等，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的極限的是否存在的判斷以及計(jì)算，難度一般.注意求解的極限時(shí)，若是分段數(shù)列求和的形式，一定要將多段數(shù)列均考慮到.3、B【解析】

設(shè)正方形的邊長為，計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，則陰影部分由三個(gè)小等腰直角三角形構(gòu)成，則正方形的對角線長為，則等腰直角三角形的邊長為，對應(yīng)每個(gè)小等腰三角形的面積，則陰影部分的面積之和為，正方形的面積為，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵在于計(jì)算出所求事件對應(yīng)區(qū)域的面積和總區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4、D【解析】

設(shè)的中點(diǎn)分別為，判斷出中點(diǎn)的軌跡是等邊三角形的高，由此計(jì)算出正三棱柱的邊長，進(jìn)而計(jì)算出正三棱柱的體積.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接.由于平面，所以.當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)為平面的中心，即的中點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)）處.當(dāng)時(shí)，此時(shí)的中點(diǎn)為的中點(diǎn).所以點(diǎn)的軌跡是三角形的高.由于三角形是等邊三角形，而，所以.故正三棱柱的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的有關(guān)性質(zhì)，考查棱柱的體積計(jì)算，考查空間想象能力，考查分析與解決問題的能力，屬于中檔題.5、C【解析】設(shè)，則又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值的時(shí)候，要特別注意“拆，拼，湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)），“定”（不等式的另一邊必須為定值），“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．6、B【解析】

由落入圓內(nèi)的芝麻數(shù)占落入正方形區(qū)域內(nèi)的芝麻數(shù)的比例等于圓的面積與正方形的面積比相等，列等式求出的近似值.【詳解】邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，正方形的面積為，由幾何概型的概率公式可得，得，因此，該學(xué)生得到圓周率的近似值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬思想求圓周率的近似值，解題的關(guān)鍵就是利用概率相等結(jié)合幾何概型的概率公式列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A,B,C,D的周期依次為又當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A,B,C,D的值依次為所以只有選項(xiàng)A,B關(guān)于直線對稱，因此選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)8、B【解析】

根據(jù)題意畫出三棱錐的圖形，將其放入一個(gè)長方體中，容易知道三棱錐的外接球半徑，利用球的表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意畫出三棱錐如圖所示，把三棱錐放入一個(gè)長方體中，三棱錐的外接球即這個(gè)長方體的外接球，長方體的外接球半徑等于體對角線的一半，所以三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球問題，對于三棱錐三條棱有兩兩垂直的情況，可以考慮將其放入一個(gè)長方體中求解外接球半徑，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】試題分析：由正弦定理得，得，結(jié)合得，故選C．考點(diǎn)：正弦定理.10、A【解析】

連交于，連，根據(jù)正四棱錐的定義可得平面，取中點(diǎn)，連，則由側(cè)面積和底面邊長，求出側(cè)面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【詳解】連交于，連，取中點(diǎn)，連因?yàn)檎睦忮F，則平面，，側(cè)面積，在中，，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正四棱錐結(jié)構(gòu)特征、體積和表面積，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由圓錐的體積公式求出圓錐的底面半徑，再結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，母線長為，由圓錐的體積為，則，即，則此圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點(diǎn)考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】

直線垂直表示斜率乘積為-1，所以可得新直線斜率，代入點(diǎn)即可．【詳解】直線的斜率等于-1，所以與之垂直直線斜率，再通過點(diǎn)斜式直線方程：，即．【點(diǎn)睛】此題考查直線垂直，直線垂直表示兩直線斜率之積為-1，屬于簡單題目．13、【解析】

由三角形的面積公式得出，設(shè)，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設(shè)，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，需要結(jié)合已知條件得出定值條件，同時(shí)要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、【解析】由題意，得，，則.15、【解析】

由，再結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，是圓C：上不同的兩點(diǎn)，則，，又所以，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對遞推式化簡變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）時(shí)最大值為2，時(shí)最小值【解析】

（1）由二倍角公式和輔助角公式可得，再由周期公式，可得所求值（2）由的范圍，可得的范圍，由于余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得所求最值．【詳解】（1）函數(shù)，可得的最小正周期為；（2），，可得，，可得當(dāng)即時(shí)，可得取得最大值2；當(dāng)，即時(shí)，可得取得最小值．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式和兩角差的余弦函數(shù)，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）【解析】

(1)從程序框圖可提煉出分段函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，從而計(jì)算得到的值;(2)此題為幾何概型，分類討論得到滿足條件下的函數(shù)x值，從而求得結(jié)果.【詳解】(1)由算法框圖得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得故所求概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，算法框圖的理解,意在考查學(xué)生分析問題的能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)出圓心坐標(biāo)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)帶入求出結(jié)果即可；（Ⅱ）利用圓心到直線的距離和圓的半徑解直角三角形求得弦長.【詳解】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴解得故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）圓心到直線的距離，∴直線被圓截得的弦長為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，以及直線與圓相交求弦長的知識，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面得出，由底面為正方形得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可證明平面；（2）由勾股定理計(jì)算出，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)得知點(diǎn)到平面的距離等于，并計(jì)算出的面積，最后利用錐體的體積公式可計(jì)算出三棱錐的體積．【詳解】（1）平面，平面，，又為正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由題意知：，又，，，點(diǎn)到面的距離為，.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計(jì)算，在計(jì)算三棱錐的體積時(shí)，充分利用題中的線面垂直關(guān)系和平面與平面垂直的關(guān)系，尋找合適的底面和高來進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．21、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得