拓展六圓錐曲線的定點定值定直線問題-

拓展六：圓錐曲線的定點、定值問題知識點1圓錐曲線的定點問題圓錐曲線中過定點問題常見有兩種解法：（1）求出圓錐曲線或直線的方程解析式，研究解析式，求出定點（2）從特殊位置入手，找出定點，在證明該點符合題意（運用斜率相等或者三點共線）。解題步驟：第一步把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零；第二步參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組；第三步方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點，或者可以通過特例探求；第四步用一般化方法證明.1、直線方程過定點技巧方法：(1)動直線l過定點問題，設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝f（k），或直接求出m的值，故而得出動直線過定點．上述動直線也可設(shè)為：x＝ty＋m.(斜率不為0).(2)直接推理、計算，找出參數(shù)之間的關(guān)系，并在計算過程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點斜式方程，從而得到定點.(3)若直線方程含多個參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過頂點坐標，并帶入直線方程進行檢驗.注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.注：(1)對于橢圓()上異于右頂點的兩動點,,以為直徑的圓經(jīng)過右頂點,則直線過定點.同理,當以為直徑的圓過左頂點時,直線過定點.(2)對于雙曲線上異于右頂點的兩動點,,以為直徑的圓經(jīng)過右頂點,則直線過定點.同理,對于左頂點,則定點為.(3)對于拋物線上異于頂點的兩動點,,若,則弦所在直線過點.同理,拋物線上異于頂點的兩動點,,若,則直線過定點.2、直線方程過已知定點技巧方法：此類問題解決較未知定點更為簡單，可采用的手法更多。常見題型：（1）已知定點在x、y軸；（2）定點完全已知。3、曲線過定點問題技巧方法：動曲線C過定點問題，引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．知識點2圓錐曲線的定值問題求定值問題常見的解題模板有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．注：在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點(非頂點)與曲線上的兩動點,滿足直線與的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補),則直線的斜率為定值.1、在橢圓中：已知橢圓,定點()在橢圓上,設(shè),是橢圓上的兩個動點,直線，的斜率分別為,,且滿足.則直線的斜率2、在雙曲線:中，定點()在雙曲線上,設(shè),是雙曲線上的兩個動點,直線,的斜率分別為，,且滿足.則直線的斜率3、在拋物線：，定點()在拋物線上,設(shè),是拋物線上的兩個動點,直線,的斜率分別為,,且滿足.則直線的斜率.類型一圓錐曲線的定點問題直線過定點問題1．（2022·河南安陽·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點，且的周長為．(1)求的方程；(2)已知點，若不過點的直線與交于、兩點，且，證明：直線過定點．【解析】（1）解：的周長為，由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為.（2）解：由可得.若直線的斜率不存在，設(shè)點、，則，其中，則，，所以，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，即，，因為，，由，得，即，則，整理得，解得.所以，直線的方程為，過定點．2．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程：(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，軸交于點，線段的中點為，直線過點且垂直于（其中為原點），證明直線過定點.【解析】（1）依題意，，又橢圓的標準方程為.（2）由（1）知右焦點坐標為，設(shè)直線方程為，由得，，直線OP的斜率，直線的斜率，令得點坐標為，直線的方程為，即，直線恒過定點.3．（2022·北京市十一學校高二期末）已知橢圓C：（）右焦點為，為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且的周長為.P是橢圓上一動點，M是直線上一點，且直線軸.(1)求橢圓C的方程：(2)記直線與橢圓另一交點為Q，直線是否過x軸上一定點？若是，求出該定點：若否，請說明理由.【解析】（1）解：因為橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，且，所以，即，又，，解得，所以橢圓方程為；（2），易知直線PQ斜率為0時，QM為x軸，則若QM過定點，則定點位于x軸上，當直線PQ斜率不為0時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，，所以直線QM的方程為，令，得，因為，所以，故直線QM過定點N.4．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學松山分校高二期末（文））在平面直角坐標系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．圓過定點問題5．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．(1)求橢圓C的方程．(2)直線與橢圓C交于A，B兩點，點M是橢圓C的右頂點．直線AM與直線BM分別與y軸交于點P，Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點？若是，求出定點坐標．若不是，說明理由．【解析】（1）解：由題意得，解得，．∴橢圓C的方程是．（2）解：以線段為直徑的圓過軸上的定點．直線代入橢圓可得．設(shè),，,，則有，．又因為點是橢圓的右頂點，所以點．由題意可知直線的方程為，故點．直線的方程為，故點．若以線段為直徑的圓過軸上的定點，，則等價于恒成立．又因為,，,，所以恒成立．又因為，，所以，解得．故以線段為直徑的圓過軸上的定點，．6．（2022·江蘇南通·高二階段練習）已知點分別是橢圓的左、右頂點，過的右焦點作直線交于兩點，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求和的值；(2)若直線分別交橢圓的右準線于兩點，證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點.【解析】（1）由已知，，，直線的斜率不存在時，方程為，不妨設(shè)，，，同理，，，，直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)，由，得，，，，，，，因為，所以，所以，綜上，，；（2）由已知，，，右準線方程為，由（1）知直線方程為，令得，同理，由橢圓的對稱性知，以為直徑的圓有一個圓心軸上方的圓，則必定也有一個與之關(guān)于軸對稱的圓，這兩個圓的交點在軸上，以為直徑的圓經(jīng)過定點，這個定點必在軸上，設(shè)定點為，則，由（1）得，或，所以以為直徑的圓經(jīng)過定點，．7．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓，點，C分別是橢圓M的左焦點、左頂點，過點的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點．(1)求M的離心率及短軸長；(2)是否存在直線l，使得點B在以線段AC為直徑的圓上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【解析】（1）由橢圓方程，得，．∴橢圓M的短軸長為．∵，∴，即M的離心率為；（2）解法1：由題意知，點C的坐標為，點的坐標為．設(shè)點B，則．∵，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，∴，∴點B不在以AC為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點B在以AC為直徑的圓上．解法2：設(shè)直線l的方程為，．由，可得．∴，．∴，∵，∴．∴．∴點B不在以AC為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點B在以AC為直徑的圓上．橢圓過定點問題8．（2022·全國·高二專題練習）已知直線l：y＝x﹣1與橢圓C：1（a＞1，b＞0）相交于P，Q兩點M，．(1)證明橢圓過定點T（x0，y0），并求出的值；(2)求弦長|PQ|的取值范圍．【解析】(1)設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，整理得．當時，，，∵，∴∴，得．∴，即橢圓過定點，，；(2)．①由2a2+b2＝a2b2，得0，∴，代入①，得，∵a2＞1，，，，∴|PQ|的取值范圍是．確定定點使某個式子為定值9．（2022·江西南昌·高二階段練習（理））如圖，長軸長為4的橢圓的左頂點為A，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于，兩點，直線，與軸分別交于，兩點，當直線的斜率為時，.(1)求橢圓的方程.(2)試問是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意可知，則橢圓方程即，當直線的斜率為時，，故設(shè)，，解得，將代入得，即，故，所以橢圓的標準方程為；（2）設(shè)，則，則，由橢圓方程可得，∴直線方程為︰，令可得，直線方程為：，令得，假設(shè)存在定點，使得，則定點必在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為,即，∵，即∴，令，則，解得，∴以為直徑的圓過定點，即存在定點，使得．10．（2022·河南安陽·高二階段練習）已知橢圓的長軸長為6，橢圓短軸的端點是，，且以為直徑的圓經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于兩點．試問x軸上是否存在定點P，使PM平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為橢圓的長軸長為6，故，橢圓短軸的端點是，，且以為直徑的圓經(jīng)過點，則，所以橢圓C的方程是；（2）設(shè)，直線的方程為，將直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得，因為M點在橢圓內(nèi)，則必有，所以，，假設(shè)x軸上存在定點P，使平分，則直線的傾斜角互補，所以，設(shè)，則有，將代入上式，整理得，所以，將，代入上式，整理得，由于上式對任意實數(shù)m都成立，所以，綜上，存在定點，使平分．11．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M．(1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）．(2)設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N．問：y軸上是否存在點Q，使得？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．【解析】（1）由題意知，代入點，得，∴．由離心率為，知，則．由，得．∴橢圓C的方程是．由點和的坐標，得出直線PA的方程為．令，得，∴點M的坐標為．（2）點在橢圓上，有．點B的坐標為，直線PB的方程為．令，得，∴點N的坐標為．設(shè)點Q的坐標是，則，．∵，∴，即．∴．∴，點Q的坐標為，∴在y軸上存在點，使得．12．（2022·四川·成都七中高二階段練習（理））已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）解：由題意得a＝3b，故橢圓C為，又點在C上，所以，得，，故橢圓C的方程即為；（2）解：由已知知直線l過，設(shè)l的方程為x＝my＋1，聯(lián)立兩個方程得，消去x得：，得，設(shè)，，則（*），，將（*）代入上式，可得：，要使為定值，則有，又∵，∴t＝3，此時，∴存在點，使得直線TM與TN斜率之積為定值，此時t＝3.13．（2022·全國·高二專題練習）已知△ABC的頂點，，滿足：．(1)記點C的軌跡為曲線，求的軌跡方程；(2)過點且斜率為k的直線l與相交于P，Q兩點，是否存在與M不同的定點N，使得恒成立？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，則，整理得，故的軌跡方程為；（2）設(shè)直線l為，當時，可得點P，Q關(guān)于y軸對稱，可得，要使恒成立，即成立，即點N在y軸上，可設(shè)為.當時，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，要使恒成立，即成立，由角平分線定理則只需使得y軸為的平分線，即只需，即，即，解得，綜上可得，存在與M不同的定點，使得恒成立14．（2022·全國·高二專題練習（文））已知橢圓過點，且離心率為．(1)求該橢圓的方程；(2)在x軸上是否存在定點M，過該點的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，使得為定值？如果存在，求出點M坐標；如果不存在，請說明理由.【解析】（1），，橢圓，將代入可得，故，橢圓方程為：；（2）當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程可得：，，，為常數(shù)，代入韋達定理可知，即為常數(shù)，，故且，直線l過定點當直線l斜率為0時，可檢驗也成立，故存在定點.15．（2022·山西大附中高二階段練習）如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點，是橢圓的左頂點，是橢圓的上頂點，且，點是長軸上的任一定點，過點的任一直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點，使得為定值，若存在，試求出定點的坐標，并求出此定值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由已知知，解得，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足題意，設(shè)，，，①當直線與軸不垂直時，設(shè)：，代入并整理得∴，（*）（*）式是與無關(guān)的常數(shù)，則解得，此時為定值；②當直線與垂直時，，，，也成立，所以存在定點，使得為定值．類型二圓錐曲線的定值問題圓錐曲線面積為定值問題16．（2023·全國·高二專題練習）平面直角坐標系中，已知橢圓，點，是橢圓上兩個動點，直線，的斜率分別為，，若，，.(1)求證：；(2)試探求的面積是否為定值，并說明理由．【解析】（1）證明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，∴k1·k2＝.（2）①當直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時，由，得.又∵點P(x1，y1)在橢圓上，∴，∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.②當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b.聯(lián)立得方程組，消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，其中＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(滿足>0).∴S△POQ.綜合①②知△POQ的面積S為定值1.17．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：的左焦點為，上、下頂點分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）解：依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點或右頂點重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.18．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，且焦距長為2，過且斜率為的直線與橢圓的一個交點在軸上的射影恰好為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，下頂點為，過點作一條與軸不重合的直線，該直線交橢圓于兩點，直線分別交軸于，兩點，為坐標原點.求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.【解析】（1）由題意，，，故過且斜率為的直線的方程為，令，得，由題意可得，解得，．求橢圓的方程為；（2）證明：由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，得．，，由，得，，，直線的方程為，令，解得，則，，同理可得，，19．（山西省臨汾市等聯(lián)考2023屆高二上學期期中數(shù)學試題）已知橢圓的長軸長為，，為的左、右焦點，點在上運動，且的最小值為.連接，并延長分別交橢圓于，兩點.(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得，設(shè)，的長分別為，，則，當且僅當時取等號，從而，得，，則橢圓的標準方程為；（2）由（1）得，，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由，得，則，，同理可得，所以.所以為定值.20．（2022·湖北·武漢市第一中學高二階段練習）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.【解析】（1）由已知設(shè)橢圓方程為：，代入，得，故橢圓方程為.（2）設(shè)直線，由得，，，又，故，由，得，故或，①當時，直線，過定點，與已知不符，舍去；②當時，直線，過定點，即直線過左焦點，此時，符合題意.所以的周長為定值.圓錐曲線中斜率為定值問題21．（2022·重慶巴蜀中學高二階段練習）已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上異于點的兩動點，當?shù)慕瞧椒志€垂直于橢圓長軸時，試問直線的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）依題意得，解得，所以橢圓方程為.（2）依題意可知直線和直線的斜率存在且互為相反數(shù)，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，由消去并化簡得，，則，根據(jù)直線、直線的對稱性可知.設(shè)，則，，則，故，以替換，得，所以，所以直線的斜率為定值.22．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）設(shè)橢圓：的離心率為，焦距為2，過右焦點的直線與橢圓交于A，兩點，點，設(shè)直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請說明理由.【解析】（1）因為焦距，所以，因為離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）當直線l斜率為0，即為x軸時，則，所以；當直線l斜率不為0時，設(shè)直線的方程為：，，，將直線l與橢圓聯(lián)立，消x整理得，所以，，所以，，所以.綜上所述：為定值0.23．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，為橢圓上的動點．當點與橢圓的上頂點重合時，．(1)求的方程；(2)當點為橢圓的左頂點時，過點的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個交點為，的中點為，過點且平行于的直線與直線交于點．試問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，點，而，則，即有，解得，又離心率，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，顯然直線不垂直于坐標軸，設(shè)直線：，，由消去x并整理得：，解得點，則點，直線，則直線方程為：，點，直線的斜率，直線的斜率，因此，，所以是定值.24．（2022·河南濮陽·高二階段練習（理））已知橢圓：的右焦點為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.(1)求的方程；(2)過圓上一點（不在坐標軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長分別為，則；過且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長分別為，則，又，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，則.①設(shè)過點與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得.又因為，所以，所以為定值．25．（2022·湖南衡陽·高二期末）已知A，B分別是橢圓E：的左、右頂點，P是直線上的一動點(P的縱坐標不為零且P不在橢圓E上)，直線AP與橢圓E的另一交點為M，直線BP與橢圓E的另一交點為N，直線MN與x軸的交點為Q，且△AMB面積的最大值為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線PQ的斜率為，直線BP的斜率為，證明為定值.【解析】（1）解：當M為橢圓的上(下)頂點時，△AMB的面積最大，則，解得，所以橢圓E的方程為..（2）證明：設(shè)P(－1，t)(且)，，，則直線AP的方程為，直線BP的方程為，設(shè)點M(，)，N(，)，聯(lián)立方程組消去y，整理得.則，因為，所以，.同理可得.因為且，所以，則直線MN的方程為，令，得.則.26．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右頂點分別是，過點的直線交于兩點（異于）.當直線過點）時，恰好為的中點.(1)求的離心率；(2)若，直線與交于點，直線的斜率分別為，證明：是定值.【解析】（1）設(shè).因為為的中點，所以.由題意知，則，即，則.又，所以，故離心率.（2）證明：由題意知，所以，故的方程為.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得關(guān)于的一元二次方程，整理得：.因為與交于兩點，所以，即，解得或，故.設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，兩式聯(lián)立，得（*）.又，代入式，得，則，故即為定值2.圓錐曲線中線段為定值問題27．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的C的方程：．(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點上任一點，直線的斜率為，直線的斜率為，試證明為定值．(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點軌跡方程．(3)設(shè)橢圓上一點，且點M，N在C上，且，D為垂足．證明：存在定點Q，使得為定值．【解析】（1）設(shè)，因為P為橢圓C上一點，所以，所以，所以，所以.故為定值.（2）設(shè)弦的兩個端點分別為，的中點為.則，①，②①減②得：，.又，.由于弦中點軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立故斜率為的平行弦中點的軌跡方程：（3）設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據(jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.28．（2022·全國·高二專題練習）設(shè)分別是圓的左?右焦點，M是C上一點，與x軸垂直.直線與C的另一個交點為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)是橢圓C的上頂點，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點，過點D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.【解析】（1）由題意知，點在第一象限.是上一點且與軸垂直，的橫坐標為.當時，，即.又直線的斜率為，所以，即，即，則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點，則，橢圓的方程為，易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線的方程為，由可得所以，又，.，化簡整理有，得或.當時，直線經(jīng)過點，不滿足題意；當時滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點.又為過點作線段的垂線的垂足，故在以為直徑的圓上，取的中點為，則為定值，且29．（2023·全國·高二專題練習）動點與定點的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)是曲線上的一動點，由原點向圓引兩條切線，分別交曲線于點，若直線的斜率均存在，并分別記為，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.【解析】(1)由題意，點與定點的距離，點到直線的距離，所以，即，化簡得，故曲線的方程為；(2)由題意可得，直線的方程分別為，設(shè).由直線與圓相切可得.，同理，所以是方程的兩個根，所以，所以，，因為是曲線上的一動點，所以，則有，聯(lián)立方程，所以，所以，同理所以，因為，所以，所以.30．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關(guān)于x軸的對稱點S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點Q．(1)當時，求；(2)當時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．【解析】（1）設(shè)，線段的中點M坐標為，聯(lián)立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因為Q為三條中垂線的交點，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點，故．（2）設(shè)，中點M坐標為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當t變化時，為定值．31．（2022·北京房山·高二開學考試）已知橢圓的長軸的兩個端點分別為離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點，直線交直線于點N，點O為坐標原點，過點O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點P，交直線l于點Q，求證：為定值．【解析】（1）由已知，又，，所以，橢圓標準方程為；（2）設(shè)，，則，，直線的方程為，令得，即，,,，直線的方程是，直線的方程為，令得，即，由，因為，故解得，即，所以，32．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點，且圓E在內(nèi)的弧長為．(1)求的值；(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，圓E在內(nèi)的弧長為，可得，即有，設(shè)在第一象限，可得，，即為，將代入橢圓方程可得，聯(lián)立解得，（2）由（1）可得橢圓的方程為，，上焦點為，①當直線（或）與軸平行時，可得，將代入橢圓得，則，則；②當直線（或）與軸不平行時，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，消去y并化簡得，設(shè)點，，∴，，即有，將k換為，可得，則，綜上所述，為定值．圓錐曲線中角度為定值問題33．（2022·貴州·黔西南州金成實驗學校高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點和上頂點，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：為定值．【解析】（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點，而，且，，當時，直線AP：，點，，直線BP：，點，，，當時，，，，所以所以是定值.34．（2022·北京平谷·高二期末）已知橢圓過點，且點到其兩個焦點距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點，點為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于兩點，且直線與軸不重合，直線分別與軸交于兩點.求證：為定值.【解析】（1）解：依題意，解得，所以橢圓方程為；（2）解：由（1）可知，當直線斜率不存在時，直線的方程為，代入橢圓方程得，解得，不妨設(shè)此時，，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，所以；當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，依題意，，設(shè)，，則，，又直線的方程為，令，得點的縱坐標為，即，同理，得，所以，綜上可得，為定值，定值為．35．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓與直線相切于點，且點在第一象限，若直線與軸、軸分別交于點、．若過原點O的直線與垂直交與點，證明：定值．【解析】依題意點在第一象限，由于過點的切線方程為，斜率為，直線與軸、軸分別交于點，所以，則．由于直線l1過原點O且與l垂直，故直線l1的方程為x＋ky＝0，其中，所以點P到直線l1的距離，即，為定值（為橢圓的半焦距）．36．（2021·北京·清華附中朝陽學校高二期中）動點與定點的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)．(1)求動點的軌跡的方程；(2)設(shè)為原點，點，過點的直線與的軌跡交于、兩點，且直線與軸不重合，直線、分別與軸交于、兩點，求證：為定值．【解析】（1）解：設(shè)點，由題意可得，化簡可得.因此，動點的軌跡的方程為.（2）解：因為直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，同理，所以，.37．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知橢圓的右頂點坐標為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點M和N．(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過點A，求直線l的方程；(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點F1、F2到直線l的距離之積為定值．【解析】（1）因為|F1F2|＝2c＝2，則c＝1，因為a＝2，，所以橢圓Γ的方程；（2）因為直線l的斜率為1，故設(shè)直線l的方程為y＝x+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，則，，因為以MN為直徑的圓經(jīng)過右頂點A，則，所以，即整理得∴整理得，解得或，因為，顯然當或時，成立所以直線l的方程為或；（3）證明：橢圓Γ的左、右焦點分別為，①當直線l平行于y軸時，因為直線l與橢圓Γ相切，所以直線l的方程為x＝±2，此時點F1、F2到直線l的距離分別為d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，②當直線l不平行與y軸時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+b，聯(lián)立，消去y整理得，所以，因為直線l與橢圓Γ相切，則Δ＝0，所以，因為到直線l的距離為，到直線l的距離為，所以，所以點F1、F2到直線l的距離之積為定值，且定值為3．圓錐曲線數(shù)量積為定值問題38．（2022·北京平谷·高二期末）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點，點為橢圓上異于的任意一點，過原點且與直線平行的直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：為定值.【解析】（1）解：由題意可得，，，解得，所以橢圓的方程為：；（2）解：設(shè)直線的方程為：，則過原點的直線且與直線平行的直線為，因為是直線與的交點，所以，因為直線的方程與橢圓方程聯(lián)立：，整理可得：，可得，，即，因為，直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由題意可得，所以，，所以，即，所以，即為定值；39．（2022·湖南·郴州一中高二階段練習）已知橢圓的離心率為，過坐標原點的直線交橢圓于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接.當為橢圓的右焦點時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長線與橢圓的交點，試問：是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，說明理由.【解析】（1）橢圓離心率，，則，當為橢圓右焦點時，；，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線，，，則，，，直線；由得：，，則，，；，又，，則，為定值.圓錐曲線距離積為定值問題40．（2022·全國·高二專題練習）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線于兩點，試問在軸上是否存在點，使為定值？若存在，求出點的坐標及該定值；若不存在，試說明理由.【解析】(1)設(shè)，易得，直線的斜率為，直線的斜率為，則，整理得，則曲線E方程為；(2)當直線的斜率為不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)定點聯(lián)立方程組，消可得，設(shè)，，可得，，所以.要使上式為定值，則，解得，此時當直線的斜率為0時，，，此時，也符合.所以，存在點，使得為定值.41．（2022·江蘇省灌南高級中學高二階段練習）已知橢圓中有兩頂點為，，一個焦點為.(1)若直線過點且與橢圓交于，兩點，當時，求直線的方程；(2)若直線過點且與橢圓交于，兩點，并與軸交于點，直線與直線交于點，當點異，兩點時，試問是否是定值？若是，請求出此定值，若不是，請說明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的標準方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當直線與軸垂直時與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡得，則，，∴，解得.∴直線的方程為；（2）當軸時，，不符合題意，當與軸不垂直時，設(shè)：，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線：，直線：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點坐標為，∴，所以為定值.42．（2022·河北·大名縣第一中學高二階段練習）己知橢圓的左、右焦點分別為，左頂點為，離心率為．(1)求的方程；(2)若直線與交于點，線段的中點分別為．設(shè)過點且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：為定值．【解析】（1）橢圓左頂點為，，又離心率，，，的方程為：.（2）設(shè)，，則，，由得：，則，，；直線方程為：，，；同理可得：，又，，，，為定值.43．（2022·江蘇·南京市燕子磯中學高二開學考試）已知點在圓上運動，點在軸上的投影為，動點滿足(1)求動點的軌跡方程(2)過點的動直線與曲線交于兩點，問：是否存在定點，使得的值是定值？若存在，求出點的坐標及該定值；若不存在，請說明理由【解析】（1）解：設(shè)點，因為，可得，所以，所以，即動點的軌跡的方程為.（2）解：①當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，則恒成立，且，因為，設(shè)，可得，，要使得上式為定值，即與無關(guān)，則滿足且，所以，即點，此時；②當直線的斜率不存在時，則直線為，可得，所以，綜上可得，存在定點，使得圓錐曲線點的坐標為定值問題44．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設(shè)，試判斷是否為定值？請說明理由.【解析】（1）由題可得,，又，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由題可得直線斜率存在，由（1）知設(shè)直線的方程為，則,消去，整理得：，設(shè)，則，，又，則，由可得，所以.同理可得，.所以所以，為定值.45．（河南省洛平許濟聯(lián)考2022-2023學年高二上學期第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試題）已知橢圓的右焦點為F，離心率為，上頂點為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點M，若，，判斷是否為定值？并說明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的方程.（2）為定值，理由如下：由（1）可得，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，則，聯(lián)立方程，消去y得，則，，∵，，則，可得，（定值）.46．（202