2023屆北京市東城第50中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．2．關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③3．已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)相等，，則直線與平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．4．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．6．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．7．設(shè)，則（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若，則的虛部是（）A． B． C． D．10．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．11．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．12．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為14．已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且,，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．15．拋物線上到其焦點(diǎn)距離為5的點(diǎn)有_______個(gè)．16．已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.18．（12分）如圖，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點(diǎn)，求.20．（12分）2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國(guó)慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》，2018年國(guó)慶假日期間，西安共接待游客1692.56萬(wàn)人次，今年國(guó)慶有望超過(guò)2000萬(wàn)人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬(wàn)元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：分組頻數(shù)（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位：萬(wàn)元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來(lái)自甲公司的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知，函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值．22．（10分）設(shè)（1）證明:當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.2、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí)，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)?，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.3、D【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱，，取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．設(shè)平面的法向量為，則取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，，∴直線與平面所成角的正切值等于故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問(wèn)題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．再把點(diǎn)代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應(yīng)填？故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．7、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).9、D【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為：的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．11、C【解析】

過(guò)作于，連接，易知，，從而可證平面，進(jìn)而可知，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過(guò)作于，連接，顯然，則，且，又因?yàn)?，所以平面，所以，?dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上（不在左右頂點(diǎn)），其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距長(zhǎng)為8，所以的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.12、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?且α+β=1，所以A,B,C三點(diǎn)共線，因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、【解析】

設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因?yàn)?所以,,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在中,因?yàn)?所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.15、2【解析】

設(shè)符合條件的點(diǎn),由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點(diǎn),則,所以符合條件的點(diǎn)有2個(gè).故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.16、【解析】

，，分類討論即可.【詳解】由已知，，，若，則或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及到解一元二次不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由已知條件列出關(guān)于和的方程，并計(jì)算出和的值，jike得到橢圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出，分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，求解出的最小值.【詳解】（1）由己知得：，解得，所以，橢圓的方程（2）設(shè)，．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，且此時(shí)，，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，求解過(guò)程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的表達(dá)式進(jìn)行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計(jì)算量.18、（1）（2）不存在；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，，，通過(guò)，即為的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解，點(diǎn)的軌跡的方程．（2）設(shè)直線的方程為，先根據(jù)，可得，①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無(wú)解，問(wèn)題得以解決【詳解】（1）設(shè)，，則，，由題意知，所以為中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，又點(diǎn)在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，故，即①，?lián)立，消去得：，設(shè)，，，，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，故，點(diǎn)在橢圓上，故，整理得②，將①代入②，得，該方程無(wú)解，故這樣的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．19、（1），；（2）.【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標(biāo)方程；直接利用直線的傾斜角以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出直線的參數(shù)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，整理得，利用韋達(dá)定理，根據(jù)為的中點(diǎn)，解出即可.【詳解】（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)，可得，即，已知曲線的普通方程為，，，，即，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)，）.（2）設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，.將直線的參數(shù)方程代入并整理，得，，.又為的中點(diǎn)，，，，，即，，，，即，.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1），乙公司影響度高；（2）見(jiàn)解析，【解析】

（1）利用各小矩形的面積和等于1可得a，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b，再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率；（2）易得總收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)的值可能為1，2，3，再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】（1）由直方圖知，，解得，由頻數(shù)分布表中知：，解得.所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，由于，所以乙公司影響度高.（2）甲公司旅游總收入在中的有人，乙公司旅游總收入在中的有2人，故的可能取值為1，2，3，易知：，;.所以的分布列為：123P.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思