2024年新高考數(shù)學一輪復習知識梳理與題型歸納第58講隨機事件的概率與古典概型教師版

第58講隨機事務(wù)的概率與古典概型思維導圖學問梳理1．事務(wù)的相關(guān)概念2．頻數(shù)、頻率和概率(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對于給定的隨機事務(wù)A，假如隨著試驗次數(shù)的增加，事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事務(wù)A的概率．3．事務(wù)的關(guān)系與運算名稱條件結(jié)論符號表示包含關(guān)系若A發(fā)生，則B確定發(fā)生事務(wù)B包含事務(wù)A(事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B事務(wù)A與事務(wù)B相等A＝B并(和)事務(wù)A發(fā)生或B發(fā)生事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交(積)事務(wù)A發(fā)生且B發(fā)生事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)互斥事務(wù)A∩B為不行能事務(wù)事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對立事務(wù)A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?，P(A∪B)＝14．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務(wù)的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不行能事務(wù)的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事務(wù)的概率：若事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．5．古典概型(1)特點：①有限性：在一次試驗中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件．②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是均等的．(2)計算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))題型歸納題型1隨機事務(wù)的關(guān)系【例1-1】把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個人分得一張，事務(wù)“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對立事務(wù) B．是不行能事務(wù)C．是互斥但不對立事務(wù) D．不是互斥事務(wù)【解析】選C明顯兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，但兩者可能同時不發(fā)生，因為紅牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個事務(wù)為互斥不對立事務(wù)，故選C.【例1-2】從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事務(wù)中，是對立事務(wù)的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】選C“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個都是奇數(shù)或一奇一偶”，而從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，依據(jù)取到數(shù)的奇偶性知共有三種狀況：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事務(wù)，易知其余都不是對立事務(wù)．故選C.【跟蹤訓練1-1】在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事務(wù)“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事務(wù)是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡【解析】選A至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事務(wù)，它是“2張全是移動卡”的對立事務(wù)，故選A.【跟蹤訓練1-2】對飛機連續(xù)射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事務(wù)是________________________，互為對立事務(wù)的是________．【解析】設(shè)I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的全部狀況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事務(wù)．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事務(wù)．【答案】A與B，A與C，B與C，B與DB與D【名師指導】推斷互斥、對立事務(wù)的2種方法定義法推斷互斥事務(wù)、對立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個事務(wù)，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事務(wù)為對立事務(wù)，對立事務(wù)確定是互斥事務(wù)集合法①由各個事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事務(wù)互斥．②事務(wù)A的對立事務(wù)eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補集題型2隨機事務(wù)的頻率與概率【例2-1】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的運用狀況，從全校全部的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運用的有5人，樣本中僅運用A和僅運用B的學生的支付金額分布狀況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅運用A27人3人僅運用B24人1人(1)估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都運用的人數(shù)；(2)從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變更．現(xiàn)從樣本僅運用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認為樣本僅運用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變更？說明理由．[解](1)由題知，樣本中僅運用A的學生有27＋3＝30(人)，僅運用B的學生有24＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不運用的學生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都運用的學生有100－30－25－5＝40(人)．估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都運用的人數(shù)為eq\f(40,100)×1000＝400.(2)記事務(wù)C為“從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于2000元”，則P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.(3)記事務(wù)E為“從樣本僅運用B的學生中隨機抽查1人，該學生本月的支付金額大于2000元”．假設(shè)樣本僅運用B的學生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變更，則由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以認為有變更．理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事務(wù)一般不簡潔發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變更．所以可以認為有變更．答案示例2：無法確定有沒有變更．理由如下：事務(wù)E是隨機事務(wù)，P(E)比較小，一般不簡潔發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的．所以無法確定有沒有變更．【跟蹤訓練2-1】我國高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為________．【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為0.98.【答案】0.98【跟蹤訓練2-2】某超市支配按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購支配，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．【解】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25℃，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20℃，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y的全部可能值為900,300，－100，Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.【名師指導】1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事務(wù)概率的估計值．2．隨機事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事務(wù)的概率，即通過大量的重復試驗，事務(wù)發(fā)生的頻率會慢慢趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．題型3互斥事務(wù)、對立事務(wù)概率公式的應(yīng)用【例3-1】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務(wù)分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[解](1)易知P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事務(wù)為M，則M＝A∪B∪C.因為A，B，C兩兩互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務(wù)N，則事務(wù)N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務(wù)，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).【跟蹤訓練3-1】某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，支配一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡潔隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事務(wù)“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事務(wù)“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).則P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).【跟蹤訓練3-2】A，B，C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育熬煉狀況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的熬煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)全部學生的熬煉時間相互獨立，求該周甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的概率．【解】(1)由題意，得三個班共抽20個學生，其中C班抽8個，故抽樣比k＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，故C班有學生8÷eq\f(1,5)＝40人．(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，共有5×8＝40種狀況，而且這些狀況是等可能的．當甲的熬煉時間為6小時時，甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的有2種狀況；當甲的熬煉時間為6.5小時時，甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的有3種狀況；當甲的熬煉時間為7小時時，甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的有3種狀況；當甲的熬煉時間為7.5小時時，甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的有3種狀況；當甲的熬煉時間為8小時時，甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的有4種狀況．故該周甲的熬煉時間比乙的熬煉時間長的概率P＝eq\f(2＋3＋3＋3＋4,40)＝eq\f(3,8).【名師指導】求互斥事務(wù)的概率的方法(1)干脆法(2)間接法(正難則反)題型4古典概型【例4-1】(1)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變更．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，右圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(11,16)(2)某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標號分別為1,2,3,4,5的五個小球，每次摸獎須要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行其次次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則中獎．依據(jù)這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50) D.eq\f(41,100)[解析](1)重卦是由從下到上排列的6個爻組成，而爻有“陽爻”和“陰爻”兩種，故全部的重卦共有26＝64種．重卦中恰有3個“陽爻”的共有Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(3,3)＝20種．故所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16)，故選A.(2)分為兩個互斥事務(wù)：記“第一次取出的兩球號碼連號中獎”為事務(wù)A，記“其次次取出的兩球與第一次取出的未中獎的兩球號碼相同中獎”為事務(wù)B，則由題意得P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5)C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，則每位顧客摸球中獎的概率為P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故選C.[答案](1)A(2)C【跟蹤訓練4-1】我國歷法中將一年分春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)六個節(jié)氣，如春季包含立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨．某書畫院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的6幅彩繪，在制簽抽簽公允的前提下，甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)【解析】選B甲從春、夏、秋、冬四個季節(jié)的各6幅彩繪繪制的任務(wù)中選一個季節(jié)的6幅彩繪繪制，故甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率為eq\f(1,4)，選B.【跟蹤訓練4-2】某區(qū)要從參加扶貧攻堅任務(wù)的5名干部A，B，C，D，E中隨機選取2人，赴區(qū)屬的某貧困村進行駐村扶貧工