新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講

精選新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必

修五典題精講（3

新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講(3.4根本不等式)

典題精講

例1(1)0<x<|,求函數(shù)y=x(L3x)的最大值；

(2)求函數(shù)y=x+：的值域.

思路分析：口)由極值定理,可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮

把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；(2)中，未指出x>0,

因而不能直接使用根本不等式，需分x>0與xVO討論.

(1)解法一:V0<x<l,Al-3x>0.

2

/.y=x(l-3x)=1*3x(l-3x)<|[3%+(I-3X)j=_L,當(dāng)且僅當(dāng)3x=l-3x,

即X丹時(shí)，等號(hào)成立????xW時(shí)，函數(shù)取得最大值》

0612

解法二：VO<x<1,Ai-x>O.

1

Y-I------------Y

y=x(l-3x)=3x(1-x)<3[—]2=-^,當(dāng)且僅當(dāng)x=；-x,即x=：時(shí),

32123o

等號(hào)成立.

???x=：時(shí)，函數(shù)取得最大值、

612

(2)解：當(dāng)x>0時(shí)，由根本不等式，得丫=乂+>2”=2,當(dāng)

XV.V

且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)xVO時(shí)，y=x+l=-[(-x)+」一].

X(-X)

?.?出>0,??.(出)+222,當(dāng)且僅當(dāng)出=」即x=-l時(shí)，等號(hào)成立.

(-X)-X

?*.y=x+i<-2.

綜上，可知函數(shù)y=x+：的值域?yàn)??叫-2]U[2,+s).

綠色通道：利用根本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定

值，為使根本不等式成立創(chuàng)造條件，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條

件是否具備.

變式訓(xùn)練1當(dāng)x>-l時(shí)，求f(x)=x+-!-的最小值.

元+1

思路分析：x>-l=>x+l>0,$x=x+l-l時(shí)x+1與，;的積為常數(shù).

解:Vx>-l,.\x+l>0.

/.f(x)=x+_L=x+l+—-1>2L+i).—!—-1=1.

x+lx+1\(x+1)

當(dāng)且僅當(dāng)x+仁2,即x=0時(shí)，取得等號(hào).

x+1

??f(x)min=l?

變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=/手的最小值.

思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與根本不等式結(jié)構(gòu)相

差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實(shí)上，我們

可以把分母視作一個(gè)整體，用它來表示分子，原式即可展開.

解：令t=X?+L那么侖1且x2=t-l.

?一一+3尸+3一(r—1)-+3(/—1)+3t~+/+11

Jx2+lttt

???Gl,???t+合2值=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=l,BPt=l時(shí)，等號(hào)成立.

???當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值3.

例2x>0,y>0,且求x+y的最小值.

思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積

為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，

請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).

解法一：利用“1的代換〃，

V1+^=1,

xy

.*.x+y=(x+y)*(-+-)=10+-+—.

xyxy

e

Vx>0,y>0,..2+2￡>2乒=6.

當(dāng)且僅當(dāng)以史，即y=3x時(shí)，取等號(hào).

1y

又L+2=l,...x=4,y=12.

當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.

解法二：由；2二1,得x=七.

xyy-9

Vx>0,y>0,Ay>9.

一

x+y=—-^+yJ=yJ+ty-9=Jy+y--^9-+l=(y-9')+y'-9+10.

???y>9,???y-9>0.

.\y^>2l(y-9).^-=6,

y-9V'y-9

當(dāng)且僅當(dāng)y-9=^,即y=12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x=4.，當(dāng)

y—9

x=4,y=12時(shí),x+y取得最小值16.解法三：由,\=1,得y+9x=xy,

.?.(x-l)(y-9)=9.

x+y=X0+(x-l)+(y-9)>10+2V(^ijo^9)=16,

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=y-9時(shí)取得等號(hào).又產(chǎn)卜1,

x=4,y=12.

當(dāng)x=4,y=12時(shí),x+y取得最小值16.

綠色通道：此題給出了三種解法，都用到了根本不等式，且都

對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出根本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常

需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過消

元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)

另外一個(gè)變量的范圍的影響.

黑色陷阱：此題容易犯這樣的錯(cuò)誤：

，+眨2戶①，即名q,???而淮

工y1孫g

：.x+y>2^>2x6=12?.Ax+y的最小值是12.

產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式①等號(hào)成立的條件是人3不等

式②等號(hào)成立的條件是x=y.在同一個(gè)題目中連續(xù)運(yùn)用了兩次根

本不等式，但是兩個(gè)根本不等式等號(hào)成立的條件不同，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)

誤結(jié)論.

變式訓(xùn)練正數(shù)a,b,x,y滿足a+b=10,-+-=l,x+y的最小值為18,

xy

求a,b的值.

思路分析：此題屬于“1〃的代換問題.

解：x+y=(x+y)(-+-)=a+—+^+b=10+—+^.

xyyxyx

*.*x,y>0,a,b>0,

??x+yN10+2=18,即

又a+b=10,

Ji=2,Ja=8,

[b=S[b=2.

例3求f(x)=3+lgx+3的最小值(0<x<l).

1gX

思路分析：VO<x<l,

.-.lgx<0,X<0不滿足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)

1gX

用根本不等式，正確的處理方法是加上負(fù)號(hào)變正數(shù).

解:V0<x<l,Algx<0A<0.A-^>0.

“1gXIgx

(-lgx)+(-&)>2^(-igx)(-I±)=4.

lgx+A<-4.Af(x)=3+lgx+A<3-4=-l.

lgX1gX

當(dāng)且僅當(dāng)g二卻即X=^時(shí)取得等號(hào).

那么有f(x)=3+lgx+A(OVxVl)的最小值為?L

Igx

黑色陷阱：此題容易忽略O(shè)VxVl這一個(gè)條件.

變式訓(xùn)練IxV/求函數(shù)y=4x-2+上的最大值.

思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值.要注意條件xV"那

4

么4x-5<0.

解:Vx<|,.\4x-5<0.

y=4x-5+—!—+3=-[(5-4x)+—!—]+3

4x-55-4x

<-2j(54x)?~i-Z+3=-2+3=l.

V5-4x

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x=，，即x=l時(shí)等號(hào)成立.

5-4x

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)的最大值是L

變式訓(xùn)練2當(dāng)xV/時(shí)，求函數(shù)y=x+3的最大值.

22%-3

思路分析：此題是求兩個(gè)式子和的最大值，但是x?3并不是定

2x-3

值，也不能保證是正值，所以，必須使用一些技巧對(duì)原式變形.可以

變?yōu)閥4(2x-3)+4+產(chǎn)?(寧+仁)+為再求最值.

22%-3223-2%2

解：y=l(2x-3)+上+3=上)+2,

J22x-3223-2x2

???當(dāng)xV3時(shí)，3-2x>0,

2

工寧+白壬耳m二%當(dāng)且僅當(dāng)十二出，即x=1時(shí)取等

乙JN人V乙DN人乙乙人乙

號(hào).

于是y￡4+W，故函數(shù)有最大值j

例4如圖3-4，，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可

利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.

圖3-4-1

(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為

多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

(2)假設(shè)使每間虎籠面積為24m2,那么每間虎籠的長(zhǎng)、寬各

設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長(zhǎng)度最?。?/p>

思路分析：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為xm,寬為ym,那么(1)是在

4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而⑵那么是在xy=24的前

提下來求4x+6y的最小值.

解：（1）設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為xm,寬為ym,那么由條件，知

4x+6y=36,即2x+3y=18.

設(shè)每間虎籠的面積為S,那么S=xy.

方法一：由于2x+3yN2聲百=2同，

???2廊018,得xyg§,即

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立.

由產(chǎn)=2、解得卜=4.5,

2x+3y=18,［），=3.

故每間虎籠長(zhǎng)為4.5m,寬為3m時(shí)，可使面積最大.

方法二油2x+3y=18,得x=9-1y.

Vx>0,A0<y<6.

S=xy=（9-|y）y=|（6-y）y.

V0<y<6,A6-y>0.

/.s<-［（6-y）+y］2=az.

~222

當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y，即y=3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=4.5.故每間虎籠

長(zhǎng)4.5m,寬3m時(shí)，可使面積最大.

⑵由條件知S=xy=24.

設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為1,那么l=4x+6y.

方法~,**2x~^~3y^2y[2x^3y=2yl6xy=24j

.??l=4x+6y=2(2x+3y巨48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.

由「著解得｛設(shè)

故每間虎籠長(zhǎng)6m,寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.

方法二:由xy=24,得x=9.

l=4x+6y=—+6y=6(—+y)>6><22^=48,當(dāng)且僅當(dāng)過=y,y=4

時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=6.

故每間虎籠長(zhǎng)6m,寬4m時(shí)，可使鋼筋總長(zhǎng)最小.

綠色通道：在使用根本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，要

注意：

(1)x,y都是正數(shù)；

（2）積xy（或x+y）為定值；

（3）x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿

足上述三個(gè)條件的結(jié)論.

變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米

的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖3-4-2所示），由于地形限制，長(zhǎng)、

寬都不能超過16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間

兩道隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80

元，池壁的厚度忽略不計(jì),試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)

最低，并求出最低造價(jià).

圖3-4-2

思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí)，必須考慮等號(hào)成立的條

件，假設(shè)等號(hào)不能成立，通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米,那么寬為剪米（0VxS16,0V

X

^<16),/.12.5<x<16.

X

于是總造價(jià)Q(x)=400(2x+2x200)+248x2x222+80x200.

XX

當(dāng)且僅當(dāng)x=—(x>0),即x=18時(shí)等號(hào)成立，而18《

X

[12.5,16],.\Q(x)>44800.

下面研究Q(x)在[12.5,16]上的單調(diào)性.

2

對(duì)任意12.5WXIVX2S16,那么x2-xi>0,xiX2<16