七年級數(shù)學下冊專題02平行線解答題壓軸(原卷版+解析)

專題02平行線解答題壓軸1．某學習小組發(fā)現(xiàn)一個結論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥b．他們發(fā)現(xiàn)這個結論運用很廣，請你利用這個結論解決以下問題：已知直線AB∥CD，點E在AB、CD之間，點P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ．（1）如圖1，運用上述結論，探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關系．并說明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當∠PEQ＝130°時，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長線交PF于點F，當∠PEQ＝80°時，請直接寫出∠PFQ的度數(shù)．2．【問題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過點P作PM∥AB，則∠EPF＝；【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過P點作PN∥AB，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間的數(shù)量關系是，請在下方說明理由；【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，過點G作GH∥AB，則∠EGF＝．3．已知：如圖，直線PQ∥MN，點C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個動點．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請直接寫出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關系．（2）若小明把一塊三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如圖2放置，點D，E，F(xiàn)是三角板的邊與平行線的交點，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)．（3）將圖2中的三角板進行適當轉動，如圖3，直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，給出下列兩個結論：①的值不變；②∠GEN﹣∠BDF的值不變．其中只有一個是正確的，你認為哪個是正確的？并求出不變的值是多少．4．對于平面內的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補周角．（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為°（2）在平面內AB∥CD，點E是平面內一點，連接BE，DE．①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側，且滿足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．5．如圖1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求證：∠DEC+∠ECD＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長線于點F，若∠ABC＝100°，求∠F的大??；（3）如圖3，若H是BC上一動點，K是BA延長線上一點，KH交BD于點M，交AD于點O，KG平分∠BKH，交DE于點N，交BC于點G，當點H在線段BC上運動時（不與點B重合），求的值．6．已知：直線EF分別交直線AB，CD于點G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M，N分別在射線GE，HF上，點P，Q分別在射線GA，HC上，連接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分別延長MP，NQ交于點K，求證：MK⊥NK；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度數(shù)．7．在數(shù)學實踐活動課上，小亮同學利用一副三角尺探索與研究共直角頂點的兩個直角三角形中的位置關系與數(shù)量關系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）（1）將三角尺如圖1所示疊放在一起．①∠AOD與∠BOC大小關系是，依據(jù)是．②∠BOD與∠AOC的數(shù)量關系是．（2）小亮固定其中一塊三角尺△COD不動，繞點O順時針轉動另一塊三角尺，從圖2的OA與OC重合開始，到圖3的OA與OC在一條直線上時結束，探索△AOB的一邊與△COD的一邊平行的情況．①求當AB∥CD時，如圖4所示，∠AOC的大??；②直接寫出∠AOC的其余所有可能值．8．已知：直線EF分別交直線AB，CD于點G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M，N分別在射線GE，HF上，點P，Q分別在射線GA，HC上，連接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分別延長MP，NQ交于點K，求證：MK⊥NK；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接KH，若KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若∠DHG＝5∠MPG，請直接寫出∠KMN的度數(shù)．9．已知直線a∥b，直線c分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線c的左側，點P是直線c上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如圖，當點P在線段EF上運動時，試探索∠1，∠2，∠3之間的關系，并給出證明；（2）當點P在線段EF外運動時，請你在備用圖中畫出圖形，并判斷（1）中的結論是否還成立？若不成立，請你探索∠1，∠2，∠3之間的關系（不需要證明）．10．問題情境在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”為主題開展數(shù)學活動．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖（1），小明把三角尺的60°角的頂點G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關系；結論應用（3）如圖（3），小亮把三角尺的直角頂點F放在CD上，30°角的頂點E落在AB上．若∠AEG＝α，則∠CFG等于（用含α的式子表示）．11．【閱讀與思考】如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．【思考與探究】（1）①∠ABN的度數(shù)是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；③∠CBD的度數(shù)是；【猜想與探究】（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律；（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數(shù)是多少？12．課題學習：平行線的“等角轉化”功能．（1）閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，∴∠B＝，∠C＝，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．（2）方法運用：如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)；（3）深化拓展：已知AB∥CD，點C在點D的右側，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在直線AB與CD之間．①如圖3，點B在點A的左側，若∠ABC＝36°，求∠BED的度數(shù)．②如圖4，點B在點A的右側，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）13．如圖1，AM∥NC，點B位于AM，CN之間，∠BAM為鈍角，AB⊥BC，垂足為點B．（1）若∠C＝40°，則∠BAM＝；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM，交MA的延長線于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，BE平分∠DBC交AM于點E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度數(shù)．14．已知：AB∥CD，E、G是AB上的點，F(xiàn)、H是CD上的點，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過F點作FM⊥GH交GH延長線于點M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點N，EN交GH于點P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．15．已知，DE平分∠ADB交射線BC于點E，∠BDE＝∠BED．（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，點F是射線DA上一點，過點F作FG∥BD交射線BC于點G，點N是FG上一點，連接NE，求證：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DN，點P為BD延長線上一點，DM平分∠BDE交BE于點M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度數(shù)．16．將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度數(shù)；（3）若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉動三角板DCE，試探究∠BCD等于多少度時CE∥AB，并簡要說明理由．17．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)．18．【探究結論】（1）如圖1，AB∥CD，E為形內一點，連結AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、∠C的關系是（直接寫出結論，不需要證明）：【探究應用】利用（1）中結論解決下面問題：（2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點E、F，EG1和EG2為∠BEF內滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點G1和G2，求證：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則∠C的度數(shù)為．19．已知，直線EF分別與直線AB、CD相交于點G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD．（2）如圖2，點M在直線AB、CD之間，連接MG、HM，當∠AGM＝32°，∠MHC＝68°時，求∠GMH的度數(shù)．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度數(shù)不變，如圖3，GP是∠AGM的平分線，HQ是∠MHD的平分線，作HN∥PG，則∠QHN的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生改變，請求出它的度數(shù)．若發(fā)生改變，請說明理由．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）20．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）試說明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點F在AG的反向延長線上，連接CF交AD于點E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上取一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．21．如圖1，已知直線PQ∥MN，點A在直線PQ上，點C、D在直線MN上，連接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE與CE相交于E．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若將圖1中的線段AD沿MN向右平移到A1D1如圖2所示位置，此時A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E與CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度數(shù)．（3）若將圖1中的線段AD沿MN向左平移到A1D1如圖3所示位置，其他條件與（2）相同，求此時∠A1EC的度數(shù)．22．如圖1所示：點E為BC上一點，∠A＝∠D，AB∥CD．（1）直接寫出∠ACB與∠BED的數(shù)量關系；（2）如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延長線與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度數(shù)；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度數(shù)．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）23．如圖，射線CB∥OA，∠C＝∠OAB．（1）求證：AB∥OC；（2）若點E，F(xiàn)在CB上，且∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．①當∠C＝110°時，求∠EOB的度數(shù)；②如果平移AB，那么的值是否隨之發(fā)生變化？若不變，求出這個值；若變化，請說明理由．24．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．25．如圖1，G，E是直線AB上兩點，點G在點E左側，過點G的直線GP與過點E的直線EP交于點P．直線PE交直線CD于點H，滿足點E在線段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，點Q在直線AB，CD之間，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，點F，G，Q在同一直線上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若點M是直線PG上一點，直線MH交直線AB于點N，點N在點B左側，請直接寫出∠MNB和∠PHM的數(shù)量關系．（題中所有角都是大于0°且小于180°的角）26．已知AB∥CD，P是截線MN上的一點，MN與CD、AB分別交于E、F．（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度數(shù)；（2）如圖1，當點P在線段EF上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問：是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是，說明其范圍；（3）①如圖2，當點P在線段FE的延長線上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則的值為；②當點P在直線EF上運動時，∠CDP與∠ABP的n等分線交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，設∠DPB＝α，求∠Q的度數(shù)（直接用含n，α的代數(shù)式表示，不需說明理由）.27．如圖，直線CD與EF相交于點O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB的直角頂點與O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉，同時直線EF也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為t秒（0≤t≤40）．①當t為何值時，直線EF平分∠AOB；②若直線EF平分∠BOD，直接寫出t的值．28．實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝°，∠3＝°．（2）請你猜想：當射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請求出∠3，若不是定值，請說明理由．（3）如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進入光線與離開光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關系，并說明理由．29．（1）如圖1，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別交于A，B兩點，點P在線段AB上，則∠1，∠2，∠3之間的等量關系是；如圖2，點A在B處北偏東40°方向，在C處的北偏西45°方向，則∠BAC＝°．（2）如圖3，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2＝90°，試說明：AB∥CD；并探究∠2與∠3的數(shù)量關系．30．如圖，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點P，滿足0°＜∠EPF＜180°．（1）試問∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關系？解：由于點P是平行線AB，CD之間有一動點，因此需要對點P的位置進行分類討論：如圖1，當P點在EF的左側時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關系為，如圖2，當P點在EF的右側時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關系為．（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點P在EF左側．①若∠EPF＝60°，則∠EQF＝．②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關系，并說明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點Q2，∠BEQ2，與∠DFQ2的角平分線交于點Q3；此次類推，則∠EPF與∠EQ2018F滿足怎樣的數(shù)量關系？（直接寫出結果）31．如圖1，BC⊥AF于點C，∠A+∠1＝90°．（1）求證：AB∥DE；（2）如圖2，點P從點A出發(fā)，沿線段AF運動到點F停止，連接PB，PE．則∠ABP，∠DEP，∠BPE三個角之間具有怎樣的數(shù)量關系（不考慮點P與點A，D，C重合的情況）？并說明理由．32．如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F（1）當△PMN所放位置如圖①所示時，則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關系為；（2）當△PMN所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度數(shù)．33．【探究】（1）如圖1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點F，則∠AFB＝°；（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點F，則∠AFB＝；（用α、β表示）（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時，α、β應該滿足怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論．【挑戰(zhàn)】如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，你又可以找到怎樣的數(shù)量關系？畫出圖形并直接寫出結論．34．如圖，AD，BC相交于點O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度數(shù)；（用含α的式子表示）（3）若點E在AB上，連接OE，EP平分∠OEB交CM于點P，如備用圖所示，求證：∠COE＝2∠EPC+∠B．35．已知AB∥CD，點M、N分別是AB、CD上兩點，點G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點P是CD下方一點，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，若點E是AB上方一點，連接EM、EN，且GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度數(shù)．（直接寫出結果）36．（1）如圖1，AB∥CD，點E是在AB、CD之間，且在BD的左側平面區(qū)域內一點，連接BE、DE．求證：∠E＝∠ABE+∠CDE．（2）如圖2，在（1）的條件下，作出∠EBD和∠EDB的平分線，兩線交于點F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之間的關系，并證明你的猜想．（3）如圖3，在（1）的條件下，作出∠EBD的平分線和△EDB的外角平分線，兩線交于點G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之間的關系，并證明你的猜想．37．如圖，已知直線AB∥CD．（1）在圖1中，點E在直線AB上，點F在直線CD上，點G在AB、CD之間，若∠1＝30°，∠3＝75°，則∠2＝；（2）如圖2，若FN平分∠CFG，延長GE交FN于點M，EM平分∠AEN，當∠N+∠FGE＝54°時，求∠AEN的度數(shù)；（3）如圖3，直線MF平分∠CFG，直線NE平分∠AEG相交于點H，試猜想∠G與∠H的數(shù)量關系，并說明理由．專題02平行線解答題壓軸1．某學習小組發(fā)現(xiàn)一個結論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥b．他們發(fā)現(xiàn)這個結論運用很廣，請你利用這個結論解決以下問題：已知直線AB∥CD，點E在AB、CD之間，點P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ．（1）如圖1，運用上述結論，探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關系．并說明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當∠PEQ＝130°時，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長線交PF于點F，當∠PEQ＝80°時，請直接寫出∠PFQ的度數(shù)．【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE；（2）115°；（3）140°．【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，如圖1，過點E作EH∥AB，則EH∥AB∥CD，∵AB∥EH，∴∠APE＝∠PEH，又∵CD∥EH，∴∠CQE＝∠HEQ，∵∠PEQ＝∠PEH+HEQ，∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；（2）如圖2，由（1）得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°；∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°，∴∠BPE+∠DQE＝360°﹣130°＝230°，又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝（∠BPE+∠DQE）＝×230°＝115°，在四邊形PEQF中，∠PFQ＝360°﹣（∠1+∠2+∠PEQ）＝360°﹣（115°+130°）＝115°；（3）140°，如圖3，延長PF交CD與點M，∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠BPE＝∠DNE，∠2＝∠PMC＝∠1，又∵∠DQE＝∠DNE+∠E，即2∠4＝2∠1+80°，∴∠4﹣∠1＝40°，∴∠PFQ＝∠FQD+∠PMC＝180°﹣∠4+∠1＝180°﹣（∠4﹣∠1）＝180°﹣40°＝140°．2．【問題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過點P作PM∥AB，則∠EPF＝105°；【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過P點作PN∥AB，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間的數(shù)量關系是∠PFC＝∠PEA+∠FPE，請在下方說明理由；【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，過點G作GH∥AB，則∠EGF＝18°．【答案】（1）105°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE；（3）18°．【解答】解：（1）∵AB∥PM，∴∠1＝∠AEP＝45°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝120°，∴∠2＝180°﹣120°＝60°，∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．即∠EPF＝105°，故答案為：105°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥AB，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，故答案為：∠PFC＝∠PEA+∠FPE．（3）∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，∴，由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．故答案為：18°．3．已知：如圖，直線PQ∥MN，點C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個動點．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請直接寫出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關系．（2）若小明把一塊三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如圖2放置，點D，E，F(xiàn)是三角板的邊與平行線的交點，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)．（3）將圖2中的三角板進行適當轉動，如圖3，直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，給出下列兩個結論：①的值不變；②∠GEN﹣∠BDF的值不變．其中只有一個是正確的，你認為哪個是正確的？并求出不變的值是多少．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如圖1，過C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）結論①的值不變是正確的，設∠CEG＝∠CEM＝x，則∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2（定值），即的值不變，值為2．4．對于平面內的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補周角．（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為60°（2）在平面內AB∥CD，點E是平面內一點，連接BE，DE．①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側，且滿足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．【答案】（1）60°；（2）①∠B＝75°；②當BG上的動點P為∠CDG的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k＝2n．【解答】解：（1）設∠H的4系補周角的度數(shù)為x°，根據(jù)新定義得，120+4x＝360，解得，x＝60，∠H的4系補周角的度數(shù)為60°，故答案為60；（2）①過E作EF∥AB，如圖1，∴∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D＝60°，∴∠D＝∠DEF＝60°，∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，即∠B+60°＝∠BED，∵∠B是∠BED的3系補周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，∴∠B＝75°；②當BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k＝2n．5．如圖1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求證：∠DEC+∠ECD＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長線于點F，若∠ABC＝100°，求∠F的大?。唬?）如圖3，若H是BC上一動點，K是BA延長線上一點，KH交BD于點M，交AD于點O，KG平分∠BKH，交DE于點N，交BC于點G，當點H在線段BC上運動時（不與點B重合），求的值．【答案】（1）證明見解答；（2）∠F＝40°；（3）2．【解答】（1）證明：如圖1，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，即∠BCD+∠BDC+∠ADB＝180°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠EDB，∵∠BDC＝∠BCD，∴2（∠BDC+∠EDB）＝180°，∴∠BDC+∠EDB＝90°，即∠CDE＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°；（2）解：如圖2，∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠DBF，設∠ABF＝∠DBF＝α，∵∠ABC＝100°，∴∠CBD＝100°﹣2α，∵∠BDC＝∠BCD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD）＝40°+α，∵∠BDC＝∠F+∠DBF，∴∠F＝∠BDC﹣∠DBF＝40°+α﹣α＝40°；（3）解：在△BMK中，∠BMK＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BKH，又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BKH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BKH﹣2∠ABD﹣∠ADB＝2[180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD]，∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，∴∠BKG＝∠BKH，∠BDE＝∠ADB，∴∠DNG＝∠KNE＝180°﹣∠BKG﹣∠AED＝180°﹣∠BKH﹣∠ABD﹣∠BDE＝180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD，∴＝＝2．6．已知：直線EF分別交直線AB，CD于點G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M，N分別在射線GE，HF上，點P，Q分別在射線GA，HC上，連接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分別延長MP，NQ交于點K，求證：MK⊥NK；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）50°．【解答】（1）證明：∵∠CHG＝∠DHF，∠AGH+∠DHF＝180°，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：過K作KR∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴RK∥AB∥CD，∴∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，∵∠MPG+∠NQH＝90°，∴∠MKR+∠NKR＝90°∴∠MKN＝90°，∴MK⊥NK；（3）解：如圖，過M作MT∥AB，過K作KR∥AB，∵AB∥CD，∴MT∥AB∥CD∥KR，∵KH平分∠MKN，∴∠MKH＝∠NKH＝45°∵，∴設∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，∵HE平分∠KHD，∴∠KHM＝∠DHG＝17x，∴∠KHD＝34x∴∠KHQ＝180°﹣34x，∵CD∥KR，∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣34x，∵MT∥AB∥KR∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝7x，∠TMH＝∠MHD＝17x，∵∠MKH＝45°，∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣34x+7x＝45°，∴x＝5°，∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，∴∠KMN＝17x﹣7x＝10x＝50°．7．在數(shù)學實踐活動課上，小亮同學利用一副三角尺探索與研究共直角頂點的兩個直角三角形中的位置關系與數(shù)量關系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）（1）將三角尺如圖1所示疊放在一起．①∠AOD與∠BOC大小關系是相等，依據(jù)是同角的余角相等．②∠BOD與∠AOC的數(shù)量關系是互補．（2）小亮固定其中一塊三角尺△COD不動，繞點O順時針轉動另一塊三角尺，從圖2的OA與OC重合開始，到圖3的OA與OC在一條直線上時結束，探索△AOB的一邊與△COD的一邊平行的情況．①求當AB∥CD時，如圖4所示，∠AOC的大??；②直接寫出∠AOC的其余所有可能值．【答案】（1）①相等，同角的余角相等；②互補；（2）①75°；②30°，45°，120°，135°．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠AOD＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOC，（同角的余角相等），故答案為：相等，同角的余角相等；②∠AOC與∠BOD互補．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC與∠BOD互補，故答案為：互補；（2）①如圖，過點O作OE∥AB，則OE∥AB∥CD，∵OE∥AB∥CD，∴∠A＝∠AOE＝30°，∠C＝∠COE＝45°，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝30°+45°＝75°；②當AB∥OC時，如圖，此時∠AOC＝∠A＝30°；當OA∥CD時，如圖，此時，∠AOC＝∠C＝45°；當AB∥CD時，由①得，∠AOC＝75°；當AB∥OD時，如圖，此時，∠BOD＝∠B＝60°，∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；當OB∥CD時，如圖，此時，∠BOD＝∠D＝45°，∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；綜上，∠AOC的其余所有可能值為30°，45°，120°，135°．8．已知：直線EF分別交直線AB，CD于點G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M，N分別在射線GE，HF上，點P，Q分別在射線GA，HC上，連接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分別延長MP，NQ交于點K，求證：MK⊥NK；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接KH，若KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若∠DHG＝5∠MPG，請直接寫出∠KMN的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠KMN的度數(shù)為60°．【解答】（1）證明：∵∠AGH+∠DHF＝180°，又∵∠DHF＝∠EHC，∴∠AGH+∠EHC＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖，由（1）知，AB∥CD，過K作KO∥AB，∵AB∥CD，∴KO∥CD∵KO∥AB∴∠MPG＝∠MKO，∵KO∥CD，∴∠NQH＝∠NKO，∵∠MPG+∠NQH＝90°，∴∠MKO+∠NKO＝90°，則∠MKN＝90°，即MK⊥NK．（3）解：如圖，過M作MT∥AB，過K作KR∥AB，∵AB∥CD，∴MT∥AB∥CD∥KR，∵KH平分∠MKN，∴∠MKH＝∠NKH＝45°，∵∠DHG＝5∠MPG，∴設∠DHG＝5x，∠MPG＝x，∵HE平分∠KHD，∴∠KHM＝∠DHG＝5x，∴∠KHD＝10x，∴∠KHQ＝180°﹣10x，∵CD∥KR．∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣10x，∵MT∥AB∥KR，∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝x，∠TMH＝∠MHD＝5x，∵∠MKH＝45°，∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣10x+x＝45°，∴x＝15°，∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，∴∠KMN＝5x﹣x＝4x＝60°．9．已知直線a∥b，直線c分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線c的左側，點P是直線c上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如圖，當點P在線段EF上運動時，試探索∠1，∠2，∠3之間的關系，并給出證明；（2）當點P在線段EF外運動時，請你在備用圖中畫出圖形，并判斷（1）中的結論是否還成立？若不成立，請你探索∠1，∠2，∠3之間的關系（不需要證明）．【答案】見試題解答內容【解答】（1）∠1+∠3＝∠2，證明：過P作PM∥a，∵a∥b，∴a∥b∥PM，∴∠1＝∠APM，∠3＝∠BPM，∴∠1+∠3＝∠APM+∠BPM，即∠1+∠3＝∠2；（2）不成立，有兩種情況：①如圖2，此時∠1+∠2＝∠3，理由是：∵a∥b，∴∠3＝∠PQE，∵∠1+∠2＝∠PQE，∴∠1+∠2＝∠3；②如圖3，此時∠2+∠3＝∠1，理由是：∵a∥b，∴∠1＝∠PQF，∵∠2+∠3＝∠PQF，∴∠2+∠3＝∠1．10．問題情境在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”為主題開展數(shù)學活動．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖（1），小明把三角尺的60°角的頂點G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關系；結論應用（3）如圖（3），小亮把三角尺的直角頂點F放在CD上，30°角的頂點E落在AB上．若∠AEG＝α，則∠CFG等于60°﹣α（用含α的式子表示）．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如圖2，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°；（3）如圖3，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．故答案為：60°﹣α．11．【閱讀與思考】如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．【思考與探究】（1）①∠ABN的度數(shù)是116°；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN；③∠CBD的度數(shù)是58°；【猜想與探究】（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律；（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數(shù)是多少？【答案】（1）①116°；②CBN；③58°；（2）不變，2：1；（3）29°．【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案為：116°；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，故答案為：CBN；③∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（2）不變，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，當∠ACB＝∠ABD時，則有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∴∠CBD＝58°，∴∠ABC+∠DBN＝58°，∴∠ABC＝29°，故答案為：29°．12．課題學習：平行線的“等角轉化”功能．（1）閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．（2）方法運用：如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)；（3）深化拓展：已知AB∥CD，點C在點D的右側，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在直線AB與CD之間．①如圖3，點B在點A的左側，若∠ABC＝36°，求∠BED的度數(shù)．②如圖4，點B在點A的右側，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）∠EAB；∠DAC；（2）360°；（3）①43°；②．【解答】解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（兩直線平行，內錯角相等）；故答案為：∠EAB；∠DAC；（2）過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D+∠FCD＝180°，∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）①過E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥CD，∴∠GED＝∠EDC，∵DE平分∠ADC，∴，∴∠GED＝25°，∵BE平分∠ABC，∴，∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝18°，∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；②過E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠PED＝∠EDC＝25°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴，∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB＝180°，∴，∴．13．如圖1，AM∥NC，點B位于AM，CN之間，∠BAM為鈍角，AB⊥BC，垂足為點B．（1）若∠C＝40°，則∠BAM＝130°；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM，交MA的延長線于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，BE平分∠DBC交AM于點E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】（1）解：過點B作BE∥AM，則AM∥BE∥NC，∵BE∥NC，∠C＝40°，∴∠CBE＝∠C＝40°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．∵AM∥BE，∴∠BAM+∠ABE＝18°，∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130°；（2）證明：如圖2，過點B作BF∥DM，則∠ADB+∠DBF＝180°．∵BD⊥AM，∴∠ADB＝90°．∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．又∵AB⊥BC，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∴∠ABD＝∠CBF．∵AM∥CN，∴BF∥CN，∴∠C＝∠CBF．∴∠ABD＝∠C．（3）解：設∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠DEB，∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°．過點B作BF∥DM，如圖3，∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x°．∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°．∵BE平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，即4x＝90+x，解得x＝30．∴∠DEB的度數(shù)為30°．14．已知：AB∥CD，E、G是AB上的點，F(xiàn)、H是CD上的點，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過F點作FM⊥GH交GH延長線于點M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點N，EN交GH于點P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如圖2，過點N作NK∥CD，∴KN∥CD∥AB，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，設∠4＝x，∠7＝y(tǒng)，∵EN、FN分別平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y(tǒng)，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x＝，∴x﹣y＝﹣y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分線，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴，故答案為．15．已知，DE平分∠ADB交射線BC于點E，∠BDE＝∠BED．（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，點F是射線DA上一點，過點F作FG∥BD交射線BC于點G，點N是FG上一點，連接NE，求證：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DN，點P為BD延長線上一點，DM平分∠BDE交BE于點M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度數(shù)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）∠EDN的度數(shù)為45°．【解答】（1）證明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠BDE＝∠BED，∴∠ADE＝∠BED，∴AD∥BE；（2）證明：過點E作EH∥BD，∴∠DEH＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DEH，∵BD∥FG，∴EH∥FG，∴∠HEN＝∠ENG，∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）解：設∠BDM＝2x，∵DM平分∠BDE，∴∠BDM＝∠MDE＝2x，∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，∵DE⊥EN，∴∠DEN＝90°，由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，∵DN平分∠PDM，∴∠MDN＝∠PDM＝（180°﹣∠BDM）＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，解得：x＝15°，∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，∴∠EDN的度數(shù)為45°．16．將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度數(shù)；（3）若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉動三角板DCE，試探究∠BCD等于多少度時CE∥AB，并簡要說明理由．【答案】（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由見解析；（2）144°；（3）∠BCD等于150°或30°時，CE∥AB．【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；（2）如圖①，設∠ACE＝α，則∠BCD＝4α，由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，∴4α+α＝180°，∴α＝36°，∴∠BCD＝4α＝144°；（3）分兩種情況：①如圖1所示，當∠BCD＝150°時，AB∥CE．∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝30°，∴∠A＝∠ACE＝30°，∴AB∥CE．②如圖2所示，當∠BCD＝30°時，AB∥CE．∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠B＝60°，∴AB∥CE．綜上所述，∠BCD等于150°或30°時，CE∥AB．17．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：如圖1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，過點M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，過點H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．18．【探究結論】（1）如圖1，AB∥CD，E為形內一點，連結AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、∠C的關系是∠AEC＝∠A+∠C（直接寫出結論，不需要證明）：【探究應用】利用（1）中結論解決下面問題：（2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點E、F，EG1和EG2為∠BEF內滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點G1和G2，求證：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則∠C的度數(shù)為42°或41°．【答案】（1）∠AEC＝∠A+∠C；（2）證明過程見解答；（3）42°或41°．【解答】（1）解：過點E作EF∥AB，∴∠A＝∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換），故答案為：∠AEC＝∠A+∠C；（2）證明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，∵FG2平分∠MFD，∴∠EFG2＝∠DFG2，∵∠1＝∠2，∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2，∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，∴∠FG1E+∠G2＝180°；（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，設∠CEF＝x，則∠AEC＝3x，∵∠EFD＝60°，∴x+3x＝∠BAE+60°，∴∠BAE＝4x﹣60°，又∵8°＜∠BAE＜20°，∴8°＜4x﹣60°＜20°，解得17°＜x＜20°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，∵∠C的度數(shù)為整數(shù)，∴x＝18°或19°，∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，故答案為：42°或41°．19．已知，直線EF分別與直線AB、CD相交于點G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD．（2）如圖2，點M在直線AB、CD之間，連接MG、HM，當∠AGM＝32°，∠MHC＝68°時，求∠GMH的度數(shù)．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度數(shù)不變，如圖3，GP是∠AGM的平分線，HQ是∠MHD的平分線，作HN∥PG，則∠QHN的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生改變，請求出它的度數(shù)．若發(fā)生改變，請說明理由．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）【答案】（1）證明過程見解析；（2）∠GMH＝100°；（3）∠QHN＝40°．【解答】（1）證明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，∴∠BGE＝∠DHE，∴AB∥CD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，∴∠GMH＝100°．（3）解：∠QHN的度數(shù)不發(fā)生改變，理由如下，由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∴∠MGH+∠MHG＝80°，∵GP、HQ分別平分∠MGA和∠MHD，∴∠MGP＝∠MGA，∠MHQ＝∠MHD＝（180°﹣∠MHC）＝90°﹣∠MHC，∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH＝∠MGA+∠MGH，∵HN∥PG，∴∠GHN＝∠PGH＝∠MGA+∠MGH，∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）＝∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG＝∠MGA+80°﹣∠MHQ，∴∠QHN＝∠MGA+80°﹣（90°﹣∠MHC）＝﹣10°+（∠MGA+∠MHC）＝﹣10°+×100°＝40°．20．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）試說明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點F在AG的反向延長線上，連接CF交AD于點E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上取一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）5或．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有兩種情況：①當M在BP的下方時，如圖5，設∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當M在BP的上方時，如圖6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．21．如圖1，已知直線PQ∥MN，點A在直線PQ上，點C、D在直線MN上，連接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE與CE相交于E．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若將圖1中的線段AD沿MN向右平移到A1D1如圖2所示位置，此時A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E與CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度數(shù)．（3）若將圖1中的線段AD沿MN向左平移到A1D1如圖3所示位置，其他條件與（2）相同，求此時∠A1EC的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1所示：∵直線PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）如圖2所示：∵∠A1D1C＝30°，線段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；（3）如圖3所示：過點E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，線段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．22．如圖1所示：點E為BC上一點，∠A＝∠D，AB∥CD．（1）直接寫出∠ACB與∠BED的數(shù)量關系；（2）如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延長線與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度數(shù)；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度數(shù)．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）【答案】（1）∠ACB+∠BED＝180°；（2）100°；（3）40°．【解答】解：（1）如答圖1所示，延長DE交AB于點F．∵AB∥CD，∴∠D＝∠EFB，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠EFB，∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠CED．∵∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB+∠BED＝180°．（2）如答圖2所示，過點E作ES∥AB，過點H作HT∥AB．設∠ABG＝∠EBG＝α，∠FDH＝∠EDH＝β，∵AB∥CD，AB∥ES，∴∠ABE＝∠BES，∠SED＝∠CED，∴∠BED＝∠BES+∠SED＝∠ABE+∠CDE＝2α+180°﹣2β，∵AB∥TH，AB∥CD，∴∠ABG＝∠THB，∠FDH＝∠DHT，∴∠GHD＝∠THD﹣∠THB＝β﹣α，∵∠BED比∠BHD大60°，∴2α+180°﹣2β﹣（β﹣α）＝60°，∴β﹣α＝40°，∴∠BHD＝40°，∴∠BED＝100°；（3）如答圖3所示，過點E作EQ∥DN．設∠CDN＝∠EDN＝α，∠EBM＝∠KBM＝β，由（2）易知∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∴2α+180°﹣2β＝100°，∴β﹣α＝40°，∴∠DEB＝∠CDE+∠EDN+180°﹣（∠EBM+∠PBM）＝α+180°﹣β﹣∠PBM，∴∠PBM＝80°﹣（β﹣α）＝40°．23．如圖，射線CB∥OA，∠C＝∠OAB．（1）求證：AB∥OC；（2）若點E，F(xiàn)在CB上，且∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．①當∠C＝110°時，求∠EOB的度數(shù)；②如果平移AB，那么的值是否隨之發(fā)生變化？若不變，求出這個值；若變化，請說明理由．【答案】（1）見解答；（2）①35°；②∠OBC：∠OFC的值不發(fā)生變化，∠OBC：∠OFC＝1：2．【解答】（1）證明：∵CB∥OA，∴∠C+∠COA＝180°，∵∠C＝∠OAB，∴∠OAB+∠COA＝180°，∴AB∥OC．（2）①∠COA＝180°﹣∠C＝70°，∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，∴∠FOB+∠EOF＝（∠AOF+∠COF）＝∠COA＝35°．②∠OBC：∠OFC的值不發(fā)生變化，∵CB∥OA，∴∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOA＝2∠BOA，∴∠OFC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2．24．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．【答案】（1）見解答過程；（2）∠ABC﹣∠F＝90°；（3）45°．【解答】（1）證明：過點C作CM∥AB，如圖1，∴∠ABC＝∠BCM，∵AB∥ED，∴∠CDE＝∠DCM，∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：過點C作CN∥AB，如圖2，∴∠ABC＝∠BCN，∵AB∥ED，∴CN∥EF，∴∠F＝∠FCN，∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，∴∠ABC＝∠BCF+∠F，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ABC＝90°+∠F，即∠ABC﹣∠F＝90°；（3）延長HG交EF于點Q，過點G作GP∥EF，如圖3，∴∠BGD＝∠CGQ，∵AB∥DE，∴∠ABH＝∠EQG，∵GP∥EF，∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，∴∠PGQ＝∠ABH，∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，∵BH平分∠ABC，F(xiàn)G平分∠CFD，∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，∴∠FGQ＝∠ABC﹣∠CFD＝（∠ABC﹣∠CFD），由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，∴∠FGQ＝×90°＝45°，即∠BGD﹣∠CGF＝45°．25．如圖1，G，E是直線AB上兩點，點G在點E左側，過點G的直線GP與過點E的直線EP交于點P．直線PE交直線CD于點H，滿足點E在線段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，點Q在直線AB，CD之間，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，點F，G，Q在同一直線上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若點M是直線PG上一點，直線MH交直線AB于點N，點N在點B左側，請直接寫出∠MNB和∠PHM的數(shù)量關系．（題中所有角都是大于0°且小于180°的角）【答案】（1）證明過程詳見解答部分；（2）160°；（3）點N在點B左側，∠MNB和∠PHM的數(shù)量關系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．【解答】（1）證明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PHD，∴AB∥CD；（2）解：過點Q作QK∥AB，如圖，則∠GQK＝∠EGF，由（1）知：AB∥CD，∴QK∥CD，∴∠HQK＝∠CHQ，∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK＝∠EGF+∠CHQ，∵GF平分∠PGB，∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，∵PH平分∠QHD，∴∠QHD＝2∠PHD，∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，∵2∠GQH+∠P＝120°，∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），解得∠QHD＝160°；即∠QHD的度數(shù)為160°；（3）在（2）的條件下，若點M是直線PG上一點，直線MH交直線AB于點N，點N在點B左側，∠MNB和∠PHM的數(shù)量關系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：在（2）的條件下，∠PHD＝∠QHD＝80°，若點M在PG的延長線上，或∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∠HEN＝∠CHP＝100°，∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°或∠MNB+∠PHM＝∠CHN+∠PHM＝180°+∠CHP＝280°．若點M在PG上，∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；若點M在GP的延長線上，∵AB∥CD，∴∠HEN+∠PHD＝180°，∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．綜上所述，點N在點B左側，∠MNB和∠PHM的數(shù)量關系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．26．已知AB∥CD，P是截線MN上的一點，MN與CD、AB分別交于E、F．（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度數(shù)；（2）如圖1，當點P在線段EF上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問：是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是，說明其范圍；（3）①如圖2，當點P在線段FE的延長線上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則的值為；②當點P在直線EF上運動時，∠CDP與∠ABP的n等分線交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，設∠DPB＝α，求∠Q的度數(shù)（直接用含n，α的代數(shù)式表示，不需說明理由）.【答案】（1）15°；（2）；（3）．【解答】解：（1）如圖，當點P在線段AB，CD之間時，過點P作PG∥AB．∵AB∥CD，∴PG∥CD．∵∠EFB＝50°，∠EDP＝35°∴∠EPG＝∠EFB＝50°，∠DPG＝∠EPD＝35°．∴∠MPD＝∠EPG﹣∠DPG＝50°﹣35°＝15°．當點P在CD的上方時，可得∠MPD＝85°，綜上所述，∠MPD為15°或85°；（2）．由（1）可知PG∥CD．∴∠DPG＝∠CDP，∠BPG＝∠ABP．∴∠DPB＝∠DPG+∠BPG＝∠CDP+∠ABP．同理可得∠Q＝∠CDQ+∠ABQ．又∵DQ，BQ分別平分∠CDP與∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP．∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝（∠CDP+∠ABP）＝∠DPB．∴．（3）①．如圖，過點P作PG∥AB．過點Q作QH∥AB．∵AB∥CD，∴PG∥CD，QH∥CD．∴∠DPG＝∠CDP，∠BPG＝∠ABP．∴∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG＝∠ABP﹣∠CDP．同理可得∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．又∵DQ