人教版高中數(shù)學(xué)必修一《集合與函數(shù)概念》之《函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值》教學(xué)案

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值學(xué)案

(第一課時)

學(xué)習(xí)目標

1.通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義;

2.學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

3.能夠熟練應(yīng)用定義判斷與證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性.

重點與難點

重點：函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.

難點：利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性.

自學(xué)內(nèi)容：通讀教材27頁至30頁，約用5分鐘

思考并回答以下問題：

(-)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律:

①隨x的增大，y的值有什么變化？

②能否看出函數(shù)的最大、最小值？

③函數(shù)圖象是否具有某種對稱性？

2.畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

(1)f(x)=x

①從左至右圖象上升還是下降?

②在區(qū)間上，隨著X的增

大,f(x)的值隨著.

(2)f(x)=-x+2

①從左至右圖象上升還是下降?

②在區(qū)間上，隨著X的增

大，f(x)的值隨著.

(3)f(x)=x23

①在區(qū)間上，

f(x)的值隨著x的增大而.

②在區(qū)間上，f(x)的值隨

著X的增大而.

3、從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？

(二)研探新知

1、y=X?的圖象在y軸右側(cè)是上升的，如何用數(shù)學(xué)符號語言來描述這種“上升”呢？

學(xué)生通過觀察、思考、討論，歸納得出：

函數(shù)y=x?在(0,+8)上圖象是上升的，用函數(shù)解析式來描述就是：對于(0,+8)上的任意的xi,

X2,當Xi<X2時，都有x「<x/.即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫增函數(shù)。

2.增函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,

如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量Xi，X2,當時，都有,

那么就說f(x)在區(qū)間D上是(increasingfunction).

3、從函數(shù)圖象上可以看到，y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，類比增函數(shù)的定義，你能概括出減函數(shù)

的定義嗎？

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量Xl，X2；當X1<X2時，總有f(Xl)<f(X2).

4.函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)

單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：

(三)質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維。

根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.

例1如圖是定義在區(qū)間［—5,5］上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

解:

例2物理學(xué)中的玻意耳定律P=K(k為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時,

V

壓強P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。

k

分析：按題意，只要證明函數(shù)P=—在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù)即可。

V

證明:

3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:

①__________________________________

②_______________________________

③__________________________________

④;

⑤.

鞏固練習(xí)：

①課本P38練習(xí)第1>2、3題；

②證明函數(shù),=%+工在（1,+°°）上為增函數(shù).

X

例3.借助計算機作出函數(shù)y=-X2+2Ix|+3的圖象并指出它的的單調(diào)區(qū)間.

解：

思考：畫出反比例函數(shù)丁=L的圖象.

X

①這個函數(shù)的定義域是什么？

②它在定義域/上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論.

（四）歸納小結(jié)

（五）設(shè)置問題，留下懸念

1、教師提出下列問題讓學(xué)生思考：

①通過增（減）函數(shù)概念的形成過程，你學(xué)習(xí)到了什么？

②增（減）函數(shù)的圖象有什么特點？如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間？

③怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

師生共同就上述問題進行討論、交流，發(fā)表自己的意見。

2、書面作業(yè)：課本P45習(xí)題1、3題（A組）第1-5題。

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值學(xué)案

(第二課時)

學(xué)習(xí)目標

理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義.

學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

重點和難點

重點：函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義

難點：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值.

自學(xué)內(nèi)容：通讀教材30頁至32頁，約用5分鐘

思考并回答以下問題：

(-)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題.

畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

?/(%)=-%+3②/(x)=-x+3xe[-l,2]

③/'(x)=x?+2x+l@/(x)-x2+2x+lxe[-2,2]

(二)研探新知

1.函數(shù)最大(小)值定義

最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為b如果存在實數(shù)M滿足：

(1)對于任意的xw/,都有；

(2)存在/e/,使得.

那么，稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值.

思考：依照函數(shù)最大值的定義，結(jié)出函數(shù)y=/(x)的最小值的定義.

最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=于(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：

(1)對于任意的xel,都有；

(2)存在/e/,使得.

那么，稱M是函數(shù)y=/(x)的最小值.

注意：

①函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在使得/(%)=M；

②函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xw/,都有之加).

2.利用函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)最大(小)值的方法.

①配方法②換元法③數(shù)形結(jié)合法

（三）質(zhì)疑答辯，排難解惑.

例1.（教材P36例3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大（小）值.

解

例2.將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量

減少10個，為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為多少？

解：

2

例3.求函數(shù)y=----在區(qū)間［2,6］上的最大值和最小值.

x—1

解：

例4.求函數(shù)y=x+Jl—x的最大值.

解：

（四）鞏固深化，反饋矯正.

（1）P38練習(xí)4

（2）求函數(shù)y=|無一3|—|尤+11的最大值和最小值.

(3)如圖，把截面半徑為25cm的圖形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長為X,面積為試將y表

示成x的函數(shù)，并畫出函數(shù)的大致圖象，并判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大？

(五)歸納小結(jié)

求函數(shù)最值的常用方法有：

(1)配方法：-

(2)換元法：_____________________________________________________

(3)數(shù)形結(jié)合法：______________________