專題 相似三角形四種模型 中考數學

專題12相似三角形四種模型通用的解題思路：題型一：相似三角形基本模型（X字型）【方法點撥】基本模型：X字型（平行）反X字型（不平行）題型二：相似三角形基本模型（A字型）【方法點撥】基本模型：A字型（平行）反A字型（不平行）題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））【方法點撥】基本模型：如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）如圖3，特別地，當D時BC中點時：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.題型四：相似三角形基本模型（旋轉型（手拉手））【方法點撥】基本模型：旋轉放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.題型一：相似三角形基本模型（X字型）1．（2024?韶關模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側面結構示意圖，支架與交于點，測得，．（1）若，求的長；（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．（結果保留整數）（參考數值，2．（2024?西安校級模擬）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側用觀測儀從觀測出發(fā)點觀測深坑底部，且觀測視線剛好經過深坑邊緣點，在深坑右側用觀測儀從測出發(fā)點觀測深坑底部，且觀測視線恰好經過深坑邊緣點，點，，，在同一水平線上．已知，，觀測儀高，觀測儀高，，，深坑寬度，請根據以上數據計算深坑深度多少米？3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經凸透鏡折射后，過焦點，并與過凸透鏡中心的光線交于點，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．（1）如圖2，當蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時，即，請用所學的數學知識說明此時“不成像”；（2）若蠟燭的長為，物距，焦距，求像距和像的長．4．（2023?浉河區(qū)校級三模）綜合與實踐瑩瑩復習教材時，提前準備了一個等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點與點重疊對折，得折痕，展開后，她把點與點重疊對折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點，則點就是的重心．教材重現：如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個點的位置嗎？在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．讓我們先看看三角形的中線有什么特點．（1）初步觀察：連接，則與的數量關系是：；（2）初步探究：請幫助瑩瑩求出的面積；（3）猜想驗證；瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現，．她的發(fā)現正確嗎？請說明理由；（4）拓展探究：瑩瑩把剪下后得△，發(fā)現可以與拼成四邊形，且拼的過程中點不與點重合，直接寫出拼成四邊形時的長．5．（2023?南關區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動點從點出發(fā)，在上沿順時針方向運動到終點，速度為每秒個單位．同時動點從點出發(fā)，在上沿順時針方向運動，速度為每秒個單位．當點到達終點時，點也隨之停止運動．連結、．設點的運動時間為秒．（1）的周長為；（2）當點與點重合時，求所在的扇形的面積；（3）當時，求的值；（4）作半徑的垂直平分線交于點、，連結．當將線段分成的兩部分時，直接寫出的值．6．（2023?海曙區(qū)校級三模）如圖1，在菱形中，，點是對角線上的動點，是的外接圓，，設的半徑為，．（1）如圖2，當時，求證：是切線；（2）延長交射線于點．①如圖3，若為直徑，求的長；②如圖4，若點、、三點共線，求的值；（3）當時，直接寫出與的函數關系式：．7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點、、在一條直線上，聯結、，與交于點．（1）求證：；（2）若，求的值．8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形內接于，是的直徑，連結交于點，，垂足為．（1）如圖1，若交于點．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長．（2）如圖2，若交于點，連結，若，，，求的直徑．9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點在線段上．（1）【特例證明】如圖（1），當時，，證明：；（2）【類比探究】如圖（2），當，點是線段上任一點時，證明：①；②；（3）【拓展運用】如圖（3），當時，，，求長．10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現】如圖①，已知四邊形是正方形，點為邊上一點（不與端點重合），連接，作點關于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，．①小明探究發(fā)現：當點在上移動時，．并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完整．證明：延長交于點．②進一步探究發(fā)現，當點與點重合時，．（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點為邊上一點，連接，作點關于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，，．當，，時，求的長；（3）【拓展應用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點為線段上一動點，將線段繞點按順時針方向旋轉，當點旋轉后的對應點落在菱形的邊上（頂點除外）時，如果，請直接寫出此時的長．11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內接于圓，，連接并延長，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，過點作于點，交圓于點，交于點，連接、，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長．

題型二：相似三角形基本模型（A字型）1．（2023?無錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點．，交的延長線于點，．（1）求的度數；（2）若，求的半徑．2．（2024?武威一模）已知：如圖，點在三角形的邊上，交于點，，點在上，且．求證：（1）；（2）．3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點分別為，．（1）求證：；（2）連接，與交于點，連接，，若，求的值．4．（2024?巴彥縣一模）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學習課上，歡歡向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學設計方案新穎，構思巧妙．甲乙圖例方案如圖①是測試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個測試距離為的小視力表②．通過測量大視力表中“”的高度的長），即可求出小視力表中相應的“”的高度的長）使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測量視力表的全長就可以計算出鏡長（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應“”的高是多少？（2）乙生的方案中如果視力表的全長為，請計算出鏡長至少為多少米．5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實踐”小組開展測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量，測量報告如下．課題測量旗桿的高度成員組長：組員：，，測量工具皮尺，標桿測量示意圖說明：在水平地面上直立一根標桿，觀測者沿著直線后退到點，使眼睛、標桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．測量數據觀測者與標桿的距離觀測者與旗桿的距離標桿的長觀測者的眼睛離地面的距離問題解決如圖，過點作于點，交于點．請根據以上測量結果及該小組的思路．求學校旗桿的高度．6．（2024?雁塔區(qū)校級二模）陽光明媚的一天實踐課上，亮亮準備用所學知識測量教學樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學樓頂端在一條直線上．此時他起身在處站直，發(fā)現自己的影子末端和教學樓的影子末端恰好重合于點處，測得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無法到達，但經詢問和進行部分測量后得知，米，點、、、在一條直線上，，，，已知教學樓的高度為16米，請你求出假山的高度．7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測量山坡的護坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米處距離地面的高度為0.6米，又測得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結果精確到，參考數據：，，8．（2024?西安校級模擬）為了測量物體的高度，小小帶著工具進行測量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點沿后退，當退行2米到處時，恰好在鏡子中看到物體頂點的像，此時測得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標桿，發(fā)現地面上的點、標桿頂點和物體頂點在一條直線上，此時測得為2.6米，為3.5米，已知，，，點、、、、在一條直線上．請根據以上所測數據，計算的高度．9．（2024?西安校級四模）每到三月就會讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標志性景點，為了測出雷峰塔的高度，初三學生小白設計出了下面的測量方法：已知塔前有一4米高的小樹，發(fā)現水平地面上點、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測得米，、之間有一個花圃無法測量，然后在處放置一個平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹頂的像，此時米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．10．（2024?鹽城模擬）《海島算經》是我國魏晉時期的著名數學家劉徽所撰，該書研究的對象全是有關高與距離的測量，因首題測算海島的高、遠，故而書名由此而來，它是中國最早的一部測量數學著作，亦為地圖學提供了數學基礎．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下：現在要測量谷的深度，拿一個高為6尺的“矩尺”仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長線上重新放置“矩尺”，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、11．（2024?河南一模）“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說，使用多次測量傳遞的方法，就可以測量出各點之間的距離和高度差．——劉徽《九章算術注序》某市科研考察隊為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹立標桿和，標桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上；從標桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標桿的水平距離．注：圖中各點都在一個平面內．12．（2023?益陽）如圖，在中，，，點在邊上，將線段繞點按順時針方向旋轉得到，線段交于點，作于點，與線段交于點，連接，．（1）求證：△；（2）求證：；（3）若，，當平分四邊形的面積時，求的長．13．（2024?沭陽縣校級模擬）圖形的旋轉變換是研究數學相關問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉變換進行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點，分別在線段，上，且．（1）觀察猜想小華將繞點逆時針旋轉，連接，，設的延長線交于點，如圖②，當點與點重合時：①的值為；②的度數為度；（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎上繼續(xù)旋轉，連接，，（1）中的兩個結論是否仍然成立？請說明理由；（3）拓展延伸：若，，當所在的直線垂直于時，直接寫出的長．14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形內接于，是的直徑，連結交于點，，垂足為．（1）如圖1，若交于點．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長．（2）如圖2，若交于點，連結，若，，，求的直徑．15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點旋轉，連接，，，．（1）求證：；（2）當的長度最大時，①求的長度；②在內是否存在一點，使得的值最??？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．

題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點是線段上的動點（點不與點，重合），連接，過點作，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，連接，過點作，垂足為，連接．點是線段的中點，連接．①求的最小值；②當取最小值時，求線段的長．2．（2024?太白縣一模）為完成社會實踐活動，曉玲打算去測量大雁塔南廣場上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長線上，并在頂點處懸掛一個鉛錘，恰好交于點，測得點到雕塑的距離為，，，點到地面的距離為，，，于點，所有點都在一個平面內，請求出玄奘雕塑的高．3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1，點，，在同一直線上，，求證：；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點為的中點，求證：；【拓展運用】（3）如圖2，在中，，點是的內心、若，，則的長為．4．（2023?灞橋區(qū)校級四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點，連接，在右側作，求的長；問題解決：（2）如圖②，在矩形場地中，米，米，為對角線，現在要在邊上設置一個門，在上安裝一個掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經過測試將掃描范圍設置為時，效果最佳，以、、、四點為頂點搭建一個帳篷，則將掃描儀放置距離多長距離時，四邊形面積最大，最大面積為多少？5．（2022?赤峰）同學們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數學興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：【問題一】如圖①，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，交于點，交于點，則與的數量關系為；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經過正方形的對稱中心，直線分別與、交于點、，直線分別與、交于點、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點在正方形的邊上，頂點在的延長線上，且，．在直線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．6．（2024?濱?？h一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點，連結，過點作交于點．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點，連結，過點作交于點．（1）求證：．（2）若，，為的中點，求的長．【應用】如圖③，在中，，，．為邊上一點（點不與點、重合），連結，過點作交于點．當為等腰三角形時，的長為．7．（2023?武漢模擬）點在的延長線上，且．（1）如圖（1），若，求證：；（2）如圖（2），若，，若，則的值為；（直接寫出）（3）如圖（3），連接，若，，求證：．8．（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：在綜合實踐課上，同學們以“正方形的旋轉”為主題開展活動．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長分別是12和13，將頂點與頂點重合，正方形繞點逆時針方向旋轉，連接，．初步探究：（1）試猜想線段與的關系，并加以證明；問題解決：（2）如圖②，在正方形的旋轉過程中，當點恰好落在邊上時，連接，求線段的長；（3）在圖②中，若與交于點，請直接寫出線段的長．9．（2023?商丘二模）綜合與實踐【動手操作】如圖①，四邊形是一張矩形紙片，，．先將矩形對折，使與重合，折痕為，沿剪開得到兩個矩形．矩形保持不動，將矩形繞點逆時針旋轉，點的對應點為．【探究發(fā)現】（1）如圖②，當點與點重合時，交于點，交于點，此時兩個矩形重疊部分四邊形的形狀是，面積是；（2）如圖③，當點落在邊上時，恰好經過點，與交于點，求兩個矩形重疊部分四邊形的面積；【引申探究】（3）當點落在矩形的對角線所在的直線上時，直線與直線交于點，請直接寫出線段的長．10．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點是邊中點，在邊上取一點，使得，延長交延長線于點．（1）求證：；（2）設的中點為點，①如果為經過、、三點的圓的一條弦，當弦恰好是正十邊形的一條邊時，求的值；②經過、兩點，聯結、，當，，時，求的半徑長．11．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）在同一平面內，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這兩個三角形叫做“共邊全等”．（1）下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是；（2）如圖1，在邊長為6的等邊三角形中，點在邊上，且，點、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長；（3）如圖2，在平面直角坐標系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點，點是的中點，、在的邊上，當以、、為頂點的三角形與“共邊全等”時，請直接寫出點的坐標．12．（2023?梁溪區(qū)校級二模）如圖，以矩形的頂點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，已知，，將矩形繞點逆時針方向旋轉得到矩形．（1）當點恰好落在軸上時，如圖1，求點的坐標；（2）當點恰好落在矩形的對角線上時，求點的坐標；（3）在旋轉過程中，點是直線與直線的交點，點是直線與直線的交點，若，請直接寫出點的坐標．題型四：相似三角形基本模型（旋轉型（手拉手））1．（2024?新都區(qū)模擬）如圖，已知矩形和矩形共用頂點，點在線段上，連接，，且．（1）求證：；（2）若，，，求的長．2．（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現】如圖1，和都是等邊三角形，連接，．請判斷與的數量關系：．（2）【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接，．請寫出與的數量關系：．（3）【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接，．①求的值；②延長交于點，交于點．求的值．3．（2023?山陰縣模擬）在學習鏡面反射后，小明知道了當入射光線與鏡面垂直時，反射光線將與入射光線重合，沿原路返回．他利用此現象設計了一個測量物體高度的工具．項目圖例說明測量工具橫截面圖直角三角形中，，米，點為的中點，在點處固定一面平面鏡，矩形為支架，在支架底部安裝輪子，方便移動，支架的高度（包含輪子的高度）米．測量示意圖在建筑物的頂端處安裝紅外線燈以及一塊白色紙板，紙板大小忽略不計，將測高工具放置在與建筑物同一平面上，在地面上移動工具，當紅外線燈照射到點處，且反射光線落在白色紙板上時，停止移動測高工具．待測數據的長在一次實際測量過程中，小明測得測高工具與建筑物的水平距離米，請計算建筑物的高度（結果精確到0.1米，參考數據．4．（2023?海城市校級三模）已知：點、、在同一條直線上，，線段、交于點．（1）如圖1，若，①問線段與有怎樣的數量關系？并說明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆唬?）如圖2，若，，則線段與的數量關系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點逆時針旋轉，在備用圖中作出旋轉后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長交于點．則（用表示）．5．（2023?市中區(qū)校級四模）問題提出如圖1，在等邊內部有一點，，，，求的度數．數學思考當圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉可以將分數的條件集中起來解決問題．嘗試解決將繞點逆時針旋轉，得到△，連接，則為等邊三角形．，又，，．△為三角形，的度數為．類比探究如圖2，在中，，，其內部有一點，若，，，求的度數．聯想拓展如圖3，在中，，，其內部有一點，若，，，求的度數．6．（2023?江漢區(qū)校級模擬）如圖，和都是直角三角形，，．（1）如圖1，證明：；（2）如圖2，延長，交于點，是的中點，連接，證明：；（3）如圖3，若，，繞點旋轉，當點、、共線時，直接寫出的長．（2023?亳州二模）如圖1，在和中，，．（1）①求證：；②若，試判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉，使點落在邊上，若，．求證：．8．（2024?邳州市校級一模）（1）問題發(fā)現：如圖1，和均為等邊三角形，點，，在同一直線上，連接．①線段，之間的數量關系為；②的度數為．（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點，，在同一直線上，連接，求的值及的度數；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，，若點滿足，且，請直接寫出點到直線的距離．9．（2023?開陽縣模擬）【特例感知】（1）如圖①，和是等腰直角三角形，，點在上，點在的延長線上，連接，，寫出圖中一對你認為全等的三角形；【類比遷移】（2）如圖②，將圖1中的繞著點順時針旋轉，那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．【方法運用】如圖③，若，點是線段外一動點，，連接．若將繞點順時針旋轉得到，連接，是否有最小值，若有請求出最小值；若沒有，請說明理由．10．（2023?獲嘉縣模擬）在中，，，為上的一點（不與端點重合），過點作交于點，得到．（1）【問題發(fā)現】如圖1，當時，為的中點時，與的數量關系為；（2）【類比探究】如圖2，當時，繞點順時針旋轉，連接，，則在旋轉過程中與之間的數量關系是否發(fā)生變化？請說明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知，，當繞點順時針旋轉至，，三點共線時，請直接寫出線段的長．11．（2023?順城區(qū)三模）如圖，是等邊三角形，將線段繞點旋轉，得到線段，連接，的角平分線交直線于點，連接．（1）如圖1，當時，猜想線段，，三條線段之間的數量關系，請直接寫出你的猜想；（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，請完成證明，若不成立，請寫出正確的結論并說明理由；（3）若，時，請直接寫出的長．12．（2023?郴州模擬）如圖1，在中，，，，點是上一點（不與點，重合），作，交于點．如圖2，把繞點順時針旋轉度，連接，，．在旋轉過程中，完成以下問題，：（1）如圖2，求證：；（2）如圖3，若點，，分別是，，的中點，求的值；（3）如圖2，若，求面積的最小值．13．（2023?南山區(qū)校級二模）已知正方形，將邊繞點順時針旋轉至線段，的平分線所在直線與直線相交于點．【探索發(fā)現】（1）如圖1，當為銳角時，請先用“尺規(guī)作圖”作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補全圖形，求證：；【深入探究】（2）在（1）的條件下，①的度數為；②連接，猜想線段和之間的數量關系，并證明；【拓展思考】（3）若正方形的邊長，當以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出線段的長度．14．（2023?靜安區(qū)校級一模）在等腰直角中，，，點為射線上一動點（點不與點、重合），以為腰且在的右側作等腰直角，，射線與射線交于點，聯結．（1）如圖所示，當點在線段上時，①求證：；②設，，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；（2）當時，求的長．15．（2023?霍林郭勒市校級三模）已知正方形，動點在上運動，過點作射線于點，連接．（1）如圖1，在上取一點，使，連接，求證：；（2）如圖2，點在延長線上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請猜想，和的數量關系，直接寫出結論，不必證明．16．（2021?日照）問題背景：如圖1，在矩形中，，，點是邊的中點，過點作交于點．實驗探究：（1）在一次數學活動中，小王同學將圖1中的繞點按逆時針方向旋轉，如圖2所示，得到結論：①；②直線與所夾銳角的度數為．（2）小王同學繼續(xù)將繞點按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置．請問探究（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當旋轉至、、三點共線時，則的面積為．17．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，在中，，點為邊上一點，連接．（1）如圖1，若，，，求線段的長；（2）如圖2，若，為邊上一點且，為上一點且，為的中點，連接，，，．猜想與之間存在的數量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3，當，時，將繞著點沿順時針方向旋轉得到，連接．點、點分別是線段、上的兩個動點，連接、．點為延長線上一點，連接，將沿直線翻折到同一平面內的，連接．在、運動過程中，當取得最小值且，時，請直接寫出四邊形的面積．18．（2023?沈河區(qū)校級模擬）如圖1，四邊形中，，，于點，交于點，．（1）判斷線段與的關系，并說明理由；（2）若，求的度數；（3）如圖2，在（2）的條件下，線段與交于點，點是內一點，，，將繞著點逆時針旋轉得，點對應點為，點的對應點為，且點，，在一條直線上直接寫出的值．19．（2024?沙坪壩區(qū)校級一模）和是以點為公共頂點的等腰三角形，其中，，，連接．（1）如圖1，當，點在的延長線上時，點為中點，連接．若，，求的長；（2）如圖2，點為中點，連接，，交于點．點是上一點，連接．延長，相交于點．若，求證：；（3）如圖3，當，點在的延長線上時，延長至點，使得．延長至點，使得，連接．若，當的長度取最小值時，請直接寫出的面積．專題12相似三角形四種模型通用的解題思路：題型一：相似三角形基本模型（X字型）【方法點撥】基本模型：X字型（平行）反X字型（不平行）題型二：相似三角形基本模型（A字型）【方法點撥】基本模型：A字型（平行）反A字型（不平行）題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））【方法點撥】基本模型：如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）如圖3，特別地，當D時BC中點時：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.題型四：相似三角形基本模型（旋轉型（手拉手））【方法點撥】基本模型：旋轉放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.題型一：相似三角形基本模型（X字型）1．（2024?韶關模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側面結構示意圖，支架與交于點，測得，．（1）若，求的長；（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．（結果保留整數）（參考數值，【分析】（1）先證明，再由相似三角形的性質求出的長即可；（2）過點作于點，于點，在中，，在中，，，進而作答即可．【解答】解：（1），，與是等腰三角形，，，，，，即的長為；（2）過點作于點，于點，如圖，，與是等腰三角形，，在中，，在中，，，距離地面的高為．【點評】此題考查了相似三角形的判定及性質、解直角三角形的應用，解題的關鍵是作出輔助線．2．（2024?西安校級模擬）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側用觀測儀從觀測出發(fā)點觀測深坑底部，且觀測視線剛好經過深坑邊緣點，在深坑右側用觀測儀從測出發(fā)點觀測深坑底部，且觀測視線恰好經過深坑邊緣點，點，，，在同一水平線上．已知，，觀測儀高，觀測儀高，，，深坑寬度，請根據以上數據計算深坑深度多少米？【分析】過點作垂直，垂足為，然后根據已知證明，，得出，設，則，解得，再求即可．【解答】解：過點作垂直，垂足為，如圖：，，，，，，，，，，，，，，，，，設，則，，，，深坑深度5.5米．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經凸透鏡折射后，過焦點，并與過凸透鏡中心的光線交于點，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．（1）如圖2，當蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時，即，請用所學的數學知識說明此時“不成像”；（2）若蠟燭的長為，物距，焦距，求像距和像的長．【分析】（1）根據矩形的性質可得，，從而可得，然后利用證明，從而利用全等三角形的性質可得，進而可得，即可解答；（2）根據垂直定義可得，然后證明8字模型相似，，從而利用相似三角形的性質進行計算即可解答．【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，，，，，，與沒有交點，此時“不成像”；（2），，，，，，，，，，，，，，解得：，，像距為，像的長為．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．4．（2023?浉河區(qū)校級三模）綜合與實踐瑩瑩復習教材時，提前準備了一個等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點與點重疊對折，得折痕，展開后，她把點與點重疊對折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點，則點就是的重心．教材重現：如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個點的位置嗎？在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．讓我們先看看三角形的中線有什么特點．（1）初步觀察：連接，則與的數量關系是：；（2）初步探究：請幫助瑩瑩求出的面積；（3）猜想驗證；瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現，．她的發(fā)現正確嗎？請說明理由；（4）拓展探究：瑩瑩把剪下后得△，發(fā)現可以與拼成四邊形，且拼的過程中點不與點重合，直接寫出拼成四邊形時的長．【分析】（1）利用折疊的性質即可得到答案；（2）由折疊可知，，，利用勾股定理求得，連接，易得為的中位線，則，，于是，得到，進而可得，則，根據三角形面積公式可得，代入計算即可求解；（3）連接，易得為的中位線，則，，于是，利用相似三角形的性質即可求解；（4）連接，由（2）知，則，利用勾股定理求得，由折疊可知，，，易證，由相似三角形的性質可求得，則，分兩種情況討論：當與點重合時，此時；當點與點重合時，利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）點與點重疊對折，得折痕，（折疊的性質），；故答案為：；（2）由折疊可知，，，在中，，如圖，連接，點、分別為、的中點，為的中位線，，，，，，，，，，；（3）正確，理由如下：如圖，連接，點、分別為、的中點，為的中位線，，，，，，，，；（4）如圖，連接，由（2）知，，，在中，，由折疊可知，，，，，，，，即，，，當與點重合時，如圖①②，連接，此時；，，，此時拼成的圖形為三角形，不符合題意；當點與點重合時，如圖③④，在中，，．綜上，的長為或．【點評】本題主要考查折疊的性質、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三角形中位線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，解題關鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質，學會利用數形結合和分類討論思想解決問題．5．（2023?南關區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動點從點出發(fā)，在上沿順時針方向運動到終點，速度為每秒個單位．同時動點從點出發(fā)，在上沿順時針方向運動，速度為每秒個單位．當點到達終點時，點也隨之停止運動．連結、．設點的運動時間為秒．（1）的周長為；（2）當點與點重合時，求所在的扇形的面積；（3）當時，求的值；（4）作半徑的垂直平分線交于點、，連結．當將線段分成的兩部分時，直接寫出的值．【分析】（1）直接利用圓的周長公式計算即可；（2）當點與點重合時，根據點走過的弧長弧的長點走過的弧長列出方程，求出值，于是可求出所在扇形的圓心角度數，進而利用扇形的面積公式求解即可；（3）分兩種情況：當點與點重合前，當點與點重合前．根據兩點走過的弧長關系列出方程，求解即可；（4）情況一：連接，，，，交于點，，根據線段垂直平分線的性質易得為等邊三角形，為等邊三角形，進而得到四邊形為菱形，易得，根據相似三角形的性質可得，由等邊三角形三線合一可知垂直平分，于是可得，則，利用此時的長點的運動速度即可得到時間；情況二：同情況一方法即可求解．【解答】解：（1）的周長為；故答案為：；（2）當點與點重合時，，解得：，點走過的圓心角度數為，所在的扇形的面積為；（3）當點與點重合前，，則，解得：；當點與點重合后，，，解得：；綜上，或；（4）情況一：如圖，連接，，，，交于點，，垂直平分，，，，為等邊三角形，，同理可得：為等邊三角形，，，，，四邊形為菱形，，，，即，，垂直平分，，，，，，即，，，；情況二：連接，，，，交于點，，同理可得：，，．綜上，或．【點評】本題主要考查圓的面積公式、扇形的面積公式、弧長公式、一元一次方程的應用、線段垂直平分線的性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、菱形的判定與性質等，理清題意，學會利用分類討論和數形結合思想解決問題是解題關鍵．6．（2023?海曙區(qū)校級三模）如圖1，在菱形中，，點是對角線上的動點，是的外接圓，，設的半徑為，．（1）如圖2，當時，求證：是切線；（2）延長交射線于點．①如圖3，若為直徑，求的長；②如圖4，若點、、三點共線，求的值；（3）當時，直接寫出與的函數關系式：．【分析】（1）連接并延長交于點，連接，由此得，然后根據以及菱形的性質可證：，據此可得，進而利用切線的判定可得出結論；（2）①連接，根據已知條件可求出，進而根據和相似，然后列出比例式即可求出的長；②延長與交于點，連接，，與交于，先證明，再證，根據已知條件分別求出，，可設，則，，然后在中，由勾股定理求出，進而求出的長和的長，最后根據和相似可得出答案；（3）作的直徑，連接，連接交于點，由，則，在中，由勾股定理求出，再由得，進而得，最后在中，由勾股定理可得出與的函數關系式．【解答】（1）證明：作的直徑，連接，為的直徑，，，又，，，，四邊形為菱形，，，即：，又為的半徑，為的切線．（2）解：①連接，為的直徑，，四邊形為菱形，，，在中，，即：，，，，，，，，，，，，，，，由得：，將代入，得：．②延長與交于點，連接，，與交于，四邊形為菱形，，，且，，，，又，，，，，，，在中，，即：，設，則，在中，，即：，由勾股定理得：，，，，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，（不合題意，舍去），，又，，，，．（3）解：．理由如下：作的直徑，連接，連接交于點，由（2）可知：，，，，在中，由勾股定理得：，為直徑，，，，，在中，，，在中，由勾股定理得：，即：，，，．故答案為：．【點評】此題主要考查了圓周角的性質，切線的判定，菱形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數、勾股定理等，解答此題的關鍵是熟練掌握切線的判定，直徑所對的圓周角是直角．構造圓的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角構造直角三角形，并利用三角函數的定義找出相關線段的關系是解答此題的難點．7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點、、在一條直線上，聯結、，與交于點．（1）求證：；（2）若，求的值．【分析】（1）根據已知易證，然后利用相似三角形的性質可得，，從而可得，進而證明8字模型相似，最后利用相似三角形的性質可得，等量代換得出，即可解答；（2）利用（1）的結論可得：，從而可得，進而可證字模型相似，然后利用相似三角形的性質可得，從而可得，再利用（1）的結論可得：，從而可得，進而可得，最后根據黃金分割的定義可得點是的黃金分割點，從而可得，進而可得，進行計算即可解答．【解答】證明：（1），，，，，，，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，由（1）得：，，，點是的黃金分割點，，，，的值為．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，黃金分割，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，黃金分割是解題的關鍵．8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形內接于，是的直徑，連結交于點，，垂足為．（1）如圖1，若交于點．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長．（2）如圖2，若交于點，連結，若，，，求的直徑．【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結合圓周角定理即可得證；②過點作于點，由題意易得，，，，結合知，進而利用證明，得到，于是，，最后利用勾股定理求解即可；（2）設交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，易得，，根據相似三角形的性質依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．【解答】（1）①證明：是的直徑，，，，，，又，，．②解：如圖，過點作于點，在中，，，，由勾股定理得，，，在中，，，又，，在和中，，，，，，即，．（3）解：如圖，設交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，，，，，，，又，，，，為的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，設的半徑為，則，，，，的直徑為．【點評】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理、平行線的判定與性質等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考壓軸題．解題關鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質解決問題．9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點在線段上．（1）【特例證明】如圖（1），當時，，證明：；（2）【類比探究】如圖（2），當，點是線段上任一點時，證明：①；②；（3）【拓展運用】如圖（3），當時，，，求長．【分析】（1）證明，得到，進而推出，得到，推出，即可得證；（2）①證明，得到，進而推出；②根據，得到，推出，即可得證；（3）設，，證明，得到，求出，在等腰中，求出，在中，求出，在中求出，進而推出，求出的值，即可得解．【解答】（1）證明：，又，，，，，，，；（2）證明：①，又，，，，；②，，，，；（3）解：，設，，則，，又，，，，在等腰中，，，在中，，，，，在等腰中，，，由（2）知，在中，，，，，，．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理．熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現】如圖①，已知四邊形是正方形，點為邊上一點（不與端點重合），連接，作點關于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，．①小明探究發(fā)現：當點在上移動時，．并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完整．證明：延長交于點．②進一步探究發(fā)現，當點與點重合時，22.5．（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點為邊上一點，連接，作點關于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，，．當，，時，求的長；（3）【拓展應用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點為線段上一動點，將線段繞點按順時針方向旋轉，當點旋轉后的對應點落在菱形的邊上（頂點除外）時，如果，請直接寫出此時的長．【分析】（1）①延長交于點，則由對稱可知，結合得到，由正方形的性質得到、，從而證明；②當點與點重合時，由對稱可知，然后由①得到；（2）延長交于點，由對稱可知點是的中點、，結合得到，從而有是的中位線，得到點是的中點，從而求得，再由勾股定理求得的長；由（1）①得，得到，進而借助相似三角形的性質求得的長，然后由中位線的性質求得的長；（3）以點為圓心，的長為半徑作圓弧，與和的交點即為點，然后分點在上和點在上討論，延長交于點，然后借助（1）（2）的思路求解．【解答】（1）①證明：如圖①，延長由對稱可知，，，，四邊形是正方形，，，在和中，，．②解：如圖1，當點與點重合時，由對稱可知，四邊形是正方形，，，由①得到，，故答案為：．（2）解：如圖2，延長交于點，由對稱可知，點是的中點，，，，是的中位線，點是的中點，，，由（1）①得，，，，，，，，是的中位線，．（3）以點為圓心，的長為半徑作圓弧，與和的交點即為點，①如圖3，當點在上時，延長交于點，由（1）①可得，，且，四邊形為菱形，，，，，，，，，，，；②如圖4，當點在上時，延長交于點，則，，，，，四邊形是菱形，，，，，在和中，，，，，，，，，，設，則，在中，，，解得：，，綜上所述，的長為或．【點評】本題考查了矩形的性質、軸對稱的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、解直角三角形，解題的關鍵是通過菱形的性質和三角形的內角和定理得到，從而得到相似三角形或全等三角形，難度較大，需要學生學會利用前面所學的知識解答后面的題目，具有很強的綜合性，是中考?？碱}型．11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內接于圓，，連接并延長，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，過點作于點，交圓于點，交于點，連接、，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長．【分析】（1）連接、，證明是線段的垂直平分線，問題得證；（2）先證明，進而證明，即可證明；（3）連接，先求出，，再證明，得到，設，則，分別得到，，，證明，得到，求出，從而得到，根據，，即可求出．【解答】（1）證明：如圖，連接、，，，點、都在線段的垂直平分線上，是線段的垂直平分線，；（2）證明：，，，，，，，，，；（3）解：如圖，連接，，，是線段的垂直平分線，，是線段的垂直平分線，．，．，，，，，．設，則，，在中，，，，．，，，，即，，整理得，解得（不合題意，舍去），，，，．【點評】本題為圓的綜合題，考查了線段的垂直平分線的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，相似三角形的性質與判定，一元二次方程的應用，直角三角形的性質等知識，綜合性強，第（3）問難度較大，熟知相關性質，并根據題目中已知條件靈活應用是解題關鍵．題型二：相似三角形基本模型（A字型）1．（2023?無錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點．，交的延長線于點，．（1）求的度數；（2）若，求的半徑．【分析】（1）連接，利用切線性質和平行線性質求得，再利用圓周角定理求得的度數，最后利用等邊對等角及三角形內角和定理即可求得答案；（2）結合（1）中所求易證得，再利用相似三角形性質及勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）如圖，連接，為的切線，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，即的半徑為2．【點評】本題考查圓與相似三角形的綜合應用，（2）中利用相似三角形的判定及性質求得是解題的關鍵．2．（2024?武威一模）已知：如圖，點在三角形的邊上，交于點，，點在上，且．求證：（1）；（2）．【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行線分線段成比例證明即可；（2）利用兩邊成比例且夾角相等來證明即可．【解答】證明：（1），，；（2），，由（1）得：，．，．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點分別為，．（1）求證：；（2）連接，與交于點，連接，，若，求的值．【分析】（1）連接并延長交與點，由垂徑定理可得，再由切線的性質即可得，根據平行線、三角形的性質得出，即可得證；（2）因為，所以，已知，設，可得、、、的長，因為，是的切線，所以垂直平分，即是的中點，可得、的長，因為，，，所以，可得四邊形是矩形，、，因為，，可得、、、的長，因為，，可得、、的長，由勾股定理可得的長，因為，所以，因為，可得，所以，因為是的中點，所以，即，，可得、、的長，由勾股定理求得的長，可得的值．【解答】（1）證明：連接并延長交于點，，，，，是的切線，，，，．，，，即，；（2）過點作，交于點，過作，交延長線于點，，，，，設，則，，，，是的切線，垂直平分，即是的中點，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是的中點，，即，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，關鍵是掌握相似三角形的性質．4．（2024?巴彥縣一模）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學習課上，歡歡向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學設計方案新穎，構思巧妙．甲乙圖例方案如圖①是測試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個測試距離為的小視力表②．通過測量大視力表中“”的高度的長），即可求出小視力表中相應的“”的高度的長）使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測量視力表的全長就可以計算出鏡長（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應“”的高是多少？（2）乙生的方案中如果視力表的全長為，請計算出鏡長至少為多少米．【分析】（1）根據兩組對角相等證明，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解；（2）作于點，延長線交于點，先證△，再根據相似三角形的相似比等于高的比列式求解．【解答】解：（1）由題意知，，，又，，，由題意知，，，，，解得，即小視力表中相應“”的高是；（2）如圖，作于點，延長線交于點，由題意知，，，，，，，，△，，由題意知，，，，，，鏡長至少為．【點評】本題考查相似三角形的應用，掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實踐”小組開展測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量，測量報告如下．課題測量旗桿的高度成員組長：組員：，，測量工具皮尺，標桿測量示意圖說明：在水平地面上直立一根標桿，觀測者沿著直線后退到點，使眼睛、標桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．測量數據觀測者與標桿的距離觀測者與旗桿的距離標桿的長觀測者的眼睛離地面的距離問題解決如圖，過點作于點，交于點．請根據以上測量結果及該小組的思路．求學校旗桿的高度．【分析】根據題意可得：，，，，從而可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，，，，，學校旗桿的高度．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．6．（2024?雁塔區(qū)校級二模）陽光明媚的一天實踐課上，亮亮準備用所學知識測量教學樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學樓頂端在一條直線上．此時他起身在處站直，發(fā)現自己的影子末端和教學樓的影子末端恰好重合于點處，測得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無法到達，但經詢問和進行部分測量后得知，米，點、、、在一條直線上，，，，已知教學樓的高度為16米，請你求出假山的高度．【分析】依據，可得，進而得出米．再根據，可得，進而得出假山的高度為8米．【解答】解：，，，，，即，解得．，，，，，即，解得，假山的高度為8米．【點評】本題主要考查了相似三角形的應用，測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測量山坡的護坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米處距離地面的高度為0.6米，又測得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結果精確到，參考數據：，，【分析】過點作，垂足為，根據垂直定義可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質可求出的長，最后在中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：過點作，垂足為，，，，，，，，，解得：，在中，，（米，石壩壩頂與壩腳之間的距離約為3.8米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，解直角三角形的應用坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．8．（2024?西安校級模擬）為了測量物體的高度，小小帶著工具進行測量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點沿后退，當退行2米到處時，恰好在鏡子中看到物體頂點的像，此時測得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標桿，發(fā)現地面上的點、標桿頂點和物體頂點在一條直線上，此時測得為2.6米，為3.5米，已知，，，點、、、、在一條直線上．請根據以上所測數據，計算的高度．【分析】根據題意可得：，再根據垂直定義可得，從而可得，然后利用相似三角形的性質可得，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，解得：，，，，，解得：，的高度為72.9米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．（2024?西安校級四模）每到三月就會讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標志性景點，為了測出雷峰塔的高度，初三學生小白設計出了下面的測量方法：已知塔前有一4米高的小樹，發(fā)現水平地面上點、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測得米，、之間有一個花圃無法測量，然后在處放置一個平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹頂的像，此時米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．【分析】根據題意可得：，，，，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質求出的長，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，解得：，，，，，解得：，塔高為．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．10．（2024?鹽城模擬）《海島算經》是我國魏晉時期的著名數學家劉徽所撰，該書研究的對象全是有關高與距離的測量，因首題測算海島的高、遠，故而書名由此而來，它是中國最早的一部測量數學著作，亦為地圖學提供了數學基礎．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下：現在要測量谷的深度，拿一個高為6尺的“矩尺”仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長線上重新放置“矩尺”，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、【分析】先證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質可得，從而可得，進而可得，然后證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質可得，從而可得，進而可得，最后可得，進行計算即可解答．【解答】解：，，，，，，，，，，，，，解得：，谷的深度為419尺．【點評】本題考查了相似三角形的應用，數學常識，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．11．（2024?河南一模）“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說，使用多次測量傳遞的方法，就可以測量出各點之間的距離和高度差．——劉徽《九章算術注序》某市科研考察隊為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹立標桿和，標桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上；從標桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標桿的水平距離．注：圖中各點都在一個平面內．【分析】根據題意可得：，，，從而可得，然后證明字模型相似，，從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，，，，，，解得：，，解得：，山峰的高度為225.5米，它和標桿的水平距離為440米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．12．（2023?益陽）如圖，在中，，，點在邊上，將線段繞點按順時針方向旋轉得到，線段交于點，作于點，與線段交于點，連接，．（1）求證：△；（2）求證：；（3）若，，當平分四邊形的面積時，求的長．【分析】（1）利用證明；（2）要證，也就是證明，但“兩個角對應相等”的條件不夠，所以想到“夾角相等，對應邊成比例”，只要證明即可．（3）設，利用建立方程求解．【解答】（1）證明：，，，，，△；（2）證明：，，，，，，，，；（3）解：，，，，設，則，，，，△△，，，，，平分四邊形的面積，，，，（舍，．【點評】本題考查了三角形全等和相似，對應（3），設，利用什么等量關系建立方程是關鍵．13．（2024?沭陽縣校級模擬）圖形的旋轉變換是研究數學相關問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉變換進行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點，分別在線段，上，且．（1）觀察猜想小華將繞點逆時針旋轉，連接，，設的延長線交于點，如圖②，當點與點重合時：①的值為；②的度數為度；（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎上繼續(xù)旋轉，連接，，（1）中的兩個結論是否仍然成立？請說明理由；（3）拓展延伸：若，，當所在的直線垂直于時，直接寫出的長．【分析】（1）①如圖②中，設交于點．證明，推出；②依據，推導出，進而得到，可得結論；（2）如圖③中，設交于點．證明，可得結論；（3）分兩種情形：如圖④中，當于時，如圖④中，當時，延長交于．分別求出，可得結論．【解答】解：（1）①如圖②中，設交于點．，都是等腰直角三角形，，，，，；，；②，，，，故答案為：，45；（2），仍然成立，理由如下：如圖③中，設交于點．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，；（3）如圖中，當于時，，，，，，，，，，．如圖④中，當時，延長交于．同理可得，，，，綜上所述，的長為或．【點評】本題考查了相似形綜合應用，掌握等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形內接于，是的直徑，連結交于點，，垂足為．（1）如圖1，若交于點．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長．（2）如圖2，若交于點，連結，若，，，求的直徑．【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結合圓周角定理即可得證；②過點作于點，由題意易得，，，，結合知，進而利用證明，得到，于是，，最后利用勾股定理求解即可；（2）設交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，易得，，根據相似三角形的性質依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．【解答】（1）①證明：是的直徑，，，，，，又，，．②解：如圖，過點作于點，在中，，，，由勾股定理得，，，在中，，，又，，在和中，，，，，，即，．（3）解：如圖，設交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，，，，，，，又，，，，為的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，設的半徑為，則，，，，的直徑為．【點評】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理、平行線的判定與性質等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考壓軸題．解題關鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質解決問題．15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點旋轉，連接，，，．（1）求證：；（2）當的長度最大時，①求的長度；②在內是否存在一點，使得的值最??？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據題意，計算出，，然后求得，即可證明；（2）①當，，三點共線時，，的長度最大，由（1）知，，，，，可得，，因此．②如圖3，將繞著點順時針旋轉，且使，連接，根據邊角關系，可得；同理將繞著點順時針旋轉，得到，且使，連接，根據旋轉，可得，根據兩邊對應成比例且夾角相等可得：，因此，由于，即，因此當，，，四點共線時，最小，由題意可知：，，，，過點作垂直的延長線于點，可得，可知，，在中，根據勾股定理得，因此的最小值為．【解答】（1）證明：四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：①如圖2，，當，，三點共線時，，的長度最大，由（1）知，，，，，，，．解：②如圖3，將繞著點順時針旋轉，且使，連接，根據邊角關系，可得；同理將繞著點順時針旋轉，得到，且使，連接，根據旋轉，可得，根據兩邊對應成比例且夾角相等可得：，，，即，當，，，四點共線時，最小，由題意可知，，，，過點作垂直的延長線于點，可得，，，在中，根據勾股定理得，的最小值為．【點評】本題考查的是相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點是線段上的動點（點不與點，重合），連接，過點作，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，連接，過點作，垂足為，連接．點是線段的中點，連接．①求的最小值；②當取最小值時，求線段的長．【分析】（1）由矩形的性質及直角三角形的性質證出，根據相似三角形的判定可得出結論；（2）①連接，由直角三角形的性質得出，則點在以點為圓心，3為半徑的圓上，當，，三點共線時，，此時，取得最小值，由勾股定理求出，則可得出答案；②方法一：過點作交于點，證明，由相似三角形的性質得出，設，則，得出，證明，得出比例線段，列出方程，解得，求出，由（1）得，設，則，得出方程，解得或，則可得出答案．方法二：過點作交于點，證明，由相似三角形的性質得出，求出，，證明，得出，求出，則可得出，后同方法一可求出的長．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，；（2）解：①連接，如圖2，，是直角三角形，點是的中點，，點在以點為圓心，3為半徑的圓上，當，，三點不共線時，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，當，，三點共線時，，此時，取得最小值，在中，，的最小值為5．②方法一：如圖3，過點作交于點，，，設，則，，，，，由（2）可知的最小值為5，即，又，，，解得，即，由（1）得，設，則，，解得：或，，，或．方法二：如圖4，過點作交于點，，，由（2）可知的最小值為5，即，又，，，，由得，，即，解得，．由（1）得，設，則，，解得：或，，，或．【點評】本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形三邊關系，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．2．（2024?太白縣一模）為完成社會實踐活動，曉玲打算去測量大雁塔南廣場上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長線上，并在頂點處懸掛一個鉛錘，恰好交于點，測得點到雕塑的距離為，，，點到地面的距離為，，，于點，所有點都在一個平面內，請求出玄奘雕塑的高．【分析】根據垂直定義可得，再利用平行線的性質可得，從而可得，然后利用矩形的性質可得，從而可得，再利用同角的余角相等可得，從而可證，最后利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，解得：，點到地面的距離為，，，玄奘雕塑的高為．【點評】本題考查了相似三角形的應用，矩形的性質，熟練掌握一線三等角模型是解題的關鍵．3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1，點，，在同一直線上，，求證：；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點為的中點，求證：；【拓展運用】（3）如圖2，在中，，點是的內心、若，，則的長為10．【分析】（1）根據三角形外角的性質得，即可證明結論；（2）由，得，可說明，進而證明結論成立；（3）過點作交于點，交于點，可知是等腰直角三角形，再說明，可得和的長，最后利用勾股定理求出的長．【解答】（1）證明：，，，，；（2）證明：，，，又，，，；（3）解：如圖所示，過點作交于點，交于點，點是的內心，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，為直角三角形，，故答案為：10．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知識，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關鍵．4．（2023?灞橋區(qū)校級四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點，連接，在右側作，求的長；問題解決：（2）如圖②，在矩形場地中，米，米，為對角線，現在要在邊上設置一個門，在上安裝一個掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經過測試將掃描范圍設置為時，效果最佳，以、、、四點為頂點搭建一個帳篷，則將掃描儀放置距離多長距離時，四邊形面積最大，最大面積為多少？【分析】（1）先利用等邊三角形的性質可得，，從而可得，根據已知易得，從而可得，再利用平角定義可得，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質進行計算可求出的長，進而求出的長，即可解答；（2）過點作，垂足為，延長到點，使，連接，可得是的垂直的平分線，從而可得米，進而可得，再利用矩形的性質可得，從而在中，利用勾股定理可得米，進而可得，，然后根據已知可得，在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，再設米，則米，最后證明，從而利用相似三角形的性質可求出米，進而可得米，再根據四邊形的面積矩形的面積的面積，從而利用二次函數的性質即可解答．【解答】解：（1）是等邊三角形，，，，為三等分點，，，，，，，，，，，的長為7；（2）過點作，垂足為，延長到點，使，連接，是的垂直的平分線，米，，四邊形是矩形，，米，米，（米，，，，，，在中，（米，（米，設米，則米，，，，，，，米，米，四邊形的面積矩形的面積的面積，當時，四邊形的面積最大，最大值為98400平方米，將掃描儀放置距離米時，四邊形面積最大，最大面積為98400平方米．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的應用，二次函數的應用，等邊三角形的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．5．（2022?赤峰）同學們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數學興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：【問題一】如圖①，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，交于點，交于點，則與的數量關系為；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經過正方形的對稱中心，直線分別與、交于點、，直線分別與、交于點、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點在正方形的邊上，頂點在的延長線上，且，．在直線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．【分析】【問題一】利用判斷出，即可得出答案；（2）先求出，再利用判斷出，即可求出答案；【問題三】分三種情況：利用三垂線構造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．【解答】解：【問題一】正方形的對角線相交于點，，，，四邊形是正方形，，，，，故答案為：；【問題二】如圖③，連接，，點是正方形的中心，，點是正方形的中心，，，，，，，，，；【問題三】在直線上存在點，使為直角三角形，①當時，如圖④，延長，相交于點，四邊形和四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，；②當時，如圖⑤，同①的方法得，，，，，或；③當時，如圖⑥，過點作的平行線交的延長線于，延長，相交于，同①的方法得，四邊形是矩形，，，，同①的方法得，四邊形是矩形，，，，同①的方法得，，，，，，即的長度為2或3或6或7．【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，作出輔助線構造出相似三角形和全等三角形是解本題的關鍵．6．（2024?濱?？h一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點，連結，過點作交于點．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點，連結，過點作交于點．（1）求證：．（2）若，，為的中點，求的長．【應用】如圖③，在中，，，．為邊上一點（點不與點、重合），連結，過點作交于點．當為等腰三角形時，的長為或2．【分析】【探究】（1）利用同角的余角相等得，從而證明結論；（2）由（1）知，得，代入計算即可；【應用】如果，則，，則點與點重合，點與點重合，不符合題意；如果，利用證明，得，可得答案；如果，則，則，則，從而解決問題．【解答】【探究】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，又，；（2）解：為的中點，，由（1）知，，即，；【應用】解：如果，則，，則點與點重合，點與點重合，不符合題意，②如果，則，為的外角，，，，，，，，又，，，，，，，，；如果，則，，在中，，，，又，點為的中點，，綜上，的長為或2，故答案為：或2．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，運用分類思想是解決【應用】的關鍵．7．（2023?武漢模擬）點在的延長線上，且．（1）如圖（1），若，求證：；（2）如圖（2），若，，若，則的值為；（直接寫出）（3）如圖（3），連接，若，，求證：．【分析】（1）根據三角形外角的性質可得，從而證明結論；（2）過點作交于點，由（1）可得，則，設，則，，，即可得出答案；（3）延長到點，使得，連接，同理得，得，證明，說明，進而解決問題．【解答】（1）證明：，，，，；（2）解：如圖（2），過點作交于點，，，，，，，，，，由（1）可得，，設，則，，，，故答案為：；（3）證明：如圖（3），延長到點，使得，連接，，，，，又，，，，，，設，則，，，，，又，，，．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，構造一線三等角基本模型是解題的關鍵．8．（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：在綜合實踐課上，同學們以“正方形的旋轉”為主題開展活動．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長分別是12和13，將頂點與頂點重合，正方形繞點逆時針方向旋轉，連接，．初步探究：（1）試猜想線段與的關系，并加以證明；問題解決：（2）如圖②，在正方形的旋轉過程中，當點恰好落在邊上時，連接，求線段的長；（3）在圖②中，若與交于點，請直接寫出線段的長．【分析】（1）先判斷出，，，進而判斷出，得出，，最后用等角的余角相等，即可得出結論；（2）先求出，再判斷出，得出，，再判斷出，即可得出答案；（3）先判斷出，得出，即可求出答案．【解答】解：（1），，證明：如圖1，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，延長，相交于點，的延長線交于，，，，，，即，；（2）在中，，，根據勾股定理得，，如圖2，過點作，交的延長線于，四邊形是正方形，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，；（3）如圖2，由（2）知，，四邊形是正方形，，，，由（2