《概率統(tǒng)計及其應(yīng)用》課件第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第二節(jié)隨機(jī)變量的方差第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第四節(jié)正態(tài)分布第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望通俗地說,數(shù)學(xué)期望就是隨機(jī)變量的平均值.定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P(X=xk)=pk,k=1,2,…若級數(shù)絕對收斂,則X的數(shù)學(xué)期望存在,稱為X的數(shù)學(xué)期望,簡稱為期望或均值,記為E(X),即當(dāng)發(fā)散時,則X的數(shù)學(xué)期望不存在.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x)為其概率密度,若積分絕對收斂,則稱為X的數(shù)學(xué)期望,簡稱為期望或均值,記為E(X).即當(dāng)時,稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),Y=g(X),其中y=g(x)為連續(xù)函數(shù).(1)若X為離散型隨機(jī)變量,分布律為且級數(shù)絕對收斂,則(2)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),且積分絕對收斂,則這個定理指出:當(dāng)我們計算隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望時,不必求出Y=g(X)的分布律或概率密度,而只要知道X的分布律或者概率密度就可以了.定理2Z=g(X,Y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù),其中z=g(x,y)為二元連續(xù)函數(shù).(1)若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,設(shè)其分布律為pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,…且級數(shù)絕對收斂,則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為(2)若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,設(shè)其概率密度為f(x,y),且絕對收斂,則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)下面介紹數(shù)學(xué)期望的一些重要性質(zhì),假設(shè)下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在,且C為常數(shù).性質(zhì)1E(C)=C.性質(zhì)2E(CX)=CE(X).性質(zhì)3E(X+Y)=E(X)+E(Y)性質(zhì)4若X與Y相互獨立,則E(XY)=E(X)·E(Y)第二節(jié)隨機(jī)變量的方差一、定義定義1設(shè)X為隨機(jī)變量,若E[X-E(X)]2存在,則稱E[X-E(X)]2為X的方差,記為D(X)或Var(X).即D(X)=E[X-E(X)]2

(3-7)方差的平方根

稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.由定義可知,方差D(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望,反映了X取值的分散程度,若X取值比較集中,則D(X)較小,反之較大.對于離散型隨機(jī)變量X,設(shè)分布律為pk=P(X=xk),k=1,2,…則對于連續(xù)型隨機(jī)變量X,設(shè)概率密度為f(x),則利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可以得到于是得到常用的計算方差的另一公式:三、方差的性質(zhì)下面給出方差的幾個重要性質(zhì),假設(shè)下列隨機(jī)變量的方差均存在.性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù),則D(C)=0.性質(zhì)2設(shè)C為常數(shù),X為隨機(jī)變量,則D(CX)=C2D(X).性質(zhì)3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,則D(X+Y)=D(X)+D(Y).這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機(jī)變量之和的情況,即若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨立,則D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)三、矩定義2設(shè)X為隨機(jī)變量,C為常數(shù),k為正整數(shù),量E[(X-C)k]稱為X關(guān)于C的k階矩.比較重要的矩有兩種情形:(1)當(dāng)C=0時,E(Xk)稱為X的k階原點矩,記為μk.(2)當(dāng)C=E(X)時,E{[X-E(X)]k}稱為X的k階中心矩,記為υk.四、切比雪夫不等式定理1(切比雪夫不等式)設(shè)隨機(jī)變量X的期望和方差都存在,則對任意常數(shù)ε>0,有或等價地有第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差對于一個二維隨機(jī)變量(X,Y),E(X),E(Y),D(X)和D(Y)僅反映X和Y各自的平均取值及各自取值相對于平均值的偏離程度,沒有反映出X與Y之間的相互關(guān)系.而X與Y的聯(lián)合分布可以全面地描述統(tǒng)計規(guī)律,其中包含了X與Y之間相互關(guān)系的信息.我們希望有一個數(shù)字特征,能夠一定程度上反映這種關(guān)系.若X和Y相互獨立,且E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在,則有即X與Y相互獨立時,E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0成立.反之不然,當(dāng)X與Y不滿足E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0時,X與Y不一定是相互獨立的,即它們之間可能是存在著一定關(guān)系的.這說明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}的數(shù)值能在一定程度上反映X和Y之間的相互聯(lián)系,由此我們引出如下定義.定義1設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在,則稱之為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(3-13)Cov(X,Y)是描述X與Y之間的相互關(guān)系的一個數(shù)學(xué)特征,容易得到由期望的性質(zhì)可得協(xié)方差的實用計算公式:協(xié)方差具有下列性質(zhì):性質(zhì)1Cov(X,Y)=Cov(Y,X).性質(zhì)2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b為常數(shù)).性質(zhì)3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).性質(zhì)4若X與Y相互獨立,則Cov(X,Y)=0.二、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差雖然一定程度上反映了X與Y之間的相互聯(lián)系,但它與X及Y本身的數(shù)值大小和度量單位有關(guān).為了更準(zhǔn)確地刻畫X和Y的相關(guān)程度,需要進(jìn)行無量綱處理,引入相關(guān)系數(shù)的定義.定義2設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).事實上,對隨機(jī)變量X與Y引入標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,記為X*,Y*.令,則E(X*)=0,D(X*)=1,E(Y*)=0,D(Y*)=1得到相關(guān)系數(shù)有如下重要性質(zhì):性質(zhì)1|ρXY|≤1.性質(zhì)2|ρXY|=1的充要條件是存在常數(shù)a≠0,b使P(Y=aX+b)=1.定義3當(dāng)隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=0時,稱X與Y不相關(guān).定理1對隨機(jī)變量X與Y,下列命題等價:(1)X與Y不相關(guān);(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=E(X)E(Y);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y).第四節(jié)正態(tài)分布一、一維正態(tài)分布定義1如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中-∞<μ<+∞,σ>0,μ,σ為常數(shù),則稱Χ服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布(或高斯分布),記為X~N(μ,σ2).它的分布函數(shù)為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)的圖形見圖3.1,它具有如下特性:(1)曲線y=f(x)關(guān)于x=μ對稱,即f(μ+x)=f(μ-x);當(dāng)x=μ時,f(x)達(dá)到最大值fmax(x)=f(μ)=(2)曲線y=f(x)圖形均在x軸上方,且以x軸為漸近線,(3)在x=μ±σ時,曲線y=f(x)在對應(yīng)的點處有拐點,區(qū)間(μ+σ,+∞)及(-∞,μ-σ)上對應(yīng)的圖形為凹弧,區(qū)間(μ-σ,μ+σ)上對應(yīng)的圖形為凸弧.(4)當(dāng)σ固定,μ變化時,f(x)的圖形沿x軸平行移動,但不改變其形狀.當(dāng)μ固定,σ變化時,f(x)的圖形隨之變化,且當(dāng)σ越小時,圖形越“陡峭”,分布越集中在x=μ附近;當(dāng)σ越大時,圖形越“平坦”,分布越分散.故f(x)的圖形的位置由μ確定,稱μ為位置參數(shù);形狀由σ確定,稱σ為形狀參數(shù).特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時,稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為X~N(0,1),其概率密度函數(shù)φ(x)和分布函數(shù)Φ(x)分別記為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形如圖3.2所示:易見:所以只需對x≥0給出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)值表就夠了,對x<0的函數(shù)值可以由對稱性得到.即關(guān)于Φ(x)的計算:(1)x≥0時,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表;(2)x<0時,用Φ(x)=1-Φ(-x)計算.對一般的正態(tài)分布N(μ,σ2),由于概率密度函數(shù)不可積,即其分布函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá),所以這類概率計算通常先經(jīng)過代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表來解決.定理1設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則定理2設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則Y=aX+b~N(aμ+b,(aσ)2),其中a≠0.定義2設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),概率密度函數(shù)為φ(x),對給定的α(0<α<1),稱滿足條件的數(shù)zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的“上α分位數(shù)(或上α分位點)”,如圖3.3所示.二、二維正態(tài)分布定義3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為其中,μ1,μ2,σ1,σ2,ρ為常數(shù),-∞<μ1<+∞,-∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1.則稱(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二維正態(tài)分布,記為(X,Y)~N(μ1,μ2,σ21,σ