華東師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題4.5比較線段的長(zhǎng)短【十大題型】(原卷版+解析)

專題4.5比較線段的長(zhǎng)短【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 1【題型2線段的和差】 2【題型3線段的數(shù)量關(guān)系】 3【題型4簡(jiǎn)單線段的長(zhǎng)短比較】 3【題型5兩點(diǎn)間的距離】 4【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 5【題型8線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 7【題型9尺規(guī)作線段】 9【題型10線段中的對(duì)折問(wèn)題】 9【知識(shí)點(diǎn)比較線段的長(zhǎng)短】（1）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。（2）線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).【題型1線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例1】（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段AB=12cm，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC=4cm，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則線段AD的長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm【變式1-1】（2023秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，則CB的長(zhǎng)為．

【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC=12cm，CB=8cm，D、E分別是AC、(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)求DE的長(zhǎng)度；(3)若M在直線AB上，且MB=6cm，求AM【變式1-3】（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和A．10+522022 B．10+522023【題型2線段的和差】【例2】（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；③AC?BD=2MC?DN；④2MN=AB?CN其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）兩根木條，一根長(zhǎng)10cm，另一根長(zhǎng)8cm，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為cm．【變式2-2】（2023秋·江蘇南京·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，C為線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，且AD=26cm，(1)圖中共有條線段？(2)求AC的長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)E在直線AD上，且EA=8cm，求BE【變式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┮阎狟、C在線段AD上．(1)如圖，圖中共有條線段，AD＝＋－；(2)如圖，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的長(zhǎng)度．【題型3線段的數(shù)量關(guān)系】【例3】（2023秋·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且AN?BN=MN，則【變式3-1】（2023秋·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且CD=3AD?2BC，則AC與BD的關(guān)系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【變式3-2】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，D為CB上一點(diǎn)，下列關(guān)系表示錯(cuò)誤的是（）A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CDC．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD【變式3-3】（2023春·浙江·七年級(jí)期中）如圖1，AB是一條拉直的細(xì)繩，C,D兩點(diǎn)在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．則（1）CD:AD=；（2）若將點(diǎn)C固定，將AC折向BC，使得AC落在BC上（如圖2），再?gòu)狞c(diǎn)D處剪斷，使細(xì)繩分成三段，分成的三段細(xì)繩的長(zhǎng)度由小到大之比為．【題型4簡(jiǎn)單線段的長(zhǎng)短比較】【例4】（2023春·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從家到學(xué)校分別有①、②、③三條路可走：①為折線段ABCDEFG，②為折線段AIG，③為折線段AJHG．三條路的長(zhǎng)依次為a、b、c，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＝b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＝b＜c【變式4-1】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三角形ABC，下列比較線段AC和AB長(zhǎng)短的方法中，可行的有（

）①用直尺度量出AB和AC的長(zhǎng)度；②用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn)B的位置；③沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，觀察點(diǎn)B的位置．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B，C在線段AD上，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，

(1)圖中以C為端點(diǎn)的線段共有______條.(2)若AB=CD，①比較線段的長(zhǎng)短：AC______BD；AN______DM（填：“>”、“=”或“<”）②若AD=21，AB:BC=2:3，求MN的長(zhǎng)度.【變式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB，射線AC，線段BC．(1)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD．(2)比較AB+AD與BC+AC的大小，并說(shuō)明理由．【題型5兩點(diǎn)間的距離】【例5】（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在線段MN上有P、Q兩點(diǎn)，PQ長(zhǎng)度為2cm，MN長(zhǎng)為整數(shù)，則以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度和可能為（

A．19cm B．20cm C．21cm【變式5-1】（2023秋·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長(zhǎng)為．【變式5-2】（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，則這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間 B．點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間C．點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間 D．無(wú)法確定【變式5-3】（2023秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D、E是直線l上的點(diǎn)，線段AB=12cm，點(diǎn)D、E分別是線段AC、BC(1)求線段DE的長(zhǎng)；(2)若BC=4cm，點(diǎn)O在直線AB上，AO=5cm，求線段(3)若BC=mcm，點(diǎn)O在直線AB上，AO=ncm，請(qǐng)直接寫出線段OE的長(zhǎng)cm．（用含m、【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例6】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將一根繩子對(duì)折以后用線段AB表示，點(diǎn)P是AB的四等分點(diǎn)，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中的一段長(zhǎng)為30cm，則這條繩子的原長(zhǎng)為cm【變式6-1】（2023秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖B、C兩點(diǎn)把線段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中點(diǎn)，CD=8，求MC的長(zhǎng)．【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB和線段CD的公共部分是線段BD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若BF:DE=5:2，BC?EF=3，AE=6，則AC的長(zhǎng)為．

【變式6-3】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB=6，AC=2，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN=______．(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=______．②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的nn≥2等分點(diǎn)，即AM=1nAC，【題型7與線段的長(zhǎng)短比較有關(guān)的應(yīng)用】【例7】（2023春·北京海淀·七年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車站的位置在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間任何一點(diǎn)效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．其中，正確的是．

【變式7-1】（2023春·江西宜春·七年級(jí)江西省豐城中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，某公司有三個(gè)住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A，B，C三點(diǎn)共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有的人步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，那么該停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．A，B之間 D．B，C之間【變式7-2】（2023春·浙江寧波·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號(hào)為1、2、3、4、5，第k號(hào)樓恰好有k（k=1、2、3、4、5）個(gè)A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米．A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號(hào)樓米處．【變式7-3】（2023秋·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┰谝粭l直線上有依次排列的nn>1臺(tái)機(jī)床在工作，我們需要設(shè)置零件供應(yīng)站P，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P如果直線上只有2臺(tái)機(jī)床A1，A2時(shí)，很明顯供應(yīng)站P設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，距離之和等于如果直線上有3臺(tái)機(jī)床A1、A2、A3，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2處最合適，距離之和恰好為如果在直線上4臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；如果直線上有5臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)的地方；(1)閱讀遞推：如果在直線上有7臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在（

）處．A．第3臺(tái)

B．第3臺(tái)和第4臺(tái)之間

C．第4臺(tái)

D．第4臺(tái)和第5臺(tái)之間(2)問(wèn)題解決：在同一條直線上，如果有n臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在什么位置？(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化：在數(shù)軸上找一點(diǎn)P，其表示的有理數(shù)為x．當(dāng)x=_______時(shí)，代數(shù)式x?1+【題型8線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例8】（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，AB=14厘米，點(diǎn)C在線段AB上，且BC=3厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為6厘米．【變式8-1】（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)，以1cm/s、3(1)若AB=10cm，當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，點(diǎn)C，D的位置如圖①所示，求(2)若點(diǎn)C，D在沒(méi)有運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A和點(diǎn)M時(shí)，總有MD=3AC，試說(shuō)明此時(shí)有AM=1(3)如圖②，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN【變式8-2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC+PD=_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP:PB=_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=3AC，求【變式8-3】（2023秋·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0），點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)．（1）當(dāng)t=3時(shí)，求線段MB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好是MB的中點(diǎn)？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，AM=2PB？【題型9尺規(guī)作線段】【例9】（2023秋·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，AB=6．

(1)尺規(guī)作圖：延長(zhǎng)線段AB，并在延長(zhǎng)線上作一點(diǎn)D，使得BD+BC=AB；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若CM=2AC，求線段AD的長(zhǎng)度．【變式9-1】（2023春·福建·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知線段a，b，利用尺規(guī)作線段AB，使得AB=2a?b．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【變式9-2】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,B,C兩點(diǎn)在射線AM上，AC>BC，用圓規(guī)在射線BM上作一點(diǎn)D,使得BD=AC?BC．(不寫作法，保留作圖痕跡)

【變式9-3】（2023秋·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谀┮阎€段a，b，c，求作：線段m，使m=a+c?b．

【題型10線段中的對(duì)折問(wèn)題】【例10】（2023秋·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一段長(zhǎng)為30厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無(wú)彈性，折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊.若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A′，B(1)如圖2，若A′，B′恰好重合于點(diǎn)O處，展開(kāi)拉直后如圖3，求(2)若點(diǎn)A′落在B′的左側(cè)，且A′(3)若點(diǎn)A′落在B′的右側(cè)，且A′【變式10-1】（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點(diǎn)C的兩條線段AC，BC組成一條折線A?C?B，若該折線A?C?B上一點(diǎn)D把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)D叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．

（1）若AC=BC，點(diǎn)D與重合（填A(yù)、B、C）；（2）若E為線段AC中點(diǎn)，EC=5cm，CD=2cm，則BC的長(zhǎng)為【變式10-2】（2023秋·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，線段OP表示一條拉直的繩子，A，B兩點(diǎn)在線段OP上，OP=a，OA:AP=3:7，B為OA的中點(diǎn)．固定點(diǎn)A，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上（如圖2所示）．

（1）若a=10．①繩子折疊前，AB的長(zhǎng)為；②繩子折疊后，OP的長(zhǎng)為；（2）若從如圖2所示的點(diǎn)B及與點(diǎn)B重疊處一起剪開(kāi)，使得繩子分成三段，三段繩子由小到大的長(zhǎng)度比為．【變式10-3】（2023秋·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校舉行疊被子比賽，最后成品要求如圖1所示．圖2是被子的平面圖（長(zhǎng)方形ABCD），被子的長(zhǎng)度AD=200cm，寬度AB=150cm，具體折法如下：首先把被子平鋪分成五份（圖2），將長(zhǎng)方形NBCK向上翻折作為中間層，再將長(zhǎng)方形AEHD向下翻折作為上層，折疊時(shí)需要考慮被子的厚度和平整性（AE=FM=NB+12MN），接著按照如圖3方式折疊，最終折成如圖1所示．折完后被子高度是24cm，假設(shè)被子的厚度是均勻的，且不考慮折疊中間縫隙，則未折疊時(shí)被子的厚度為cm

專題4.5比較線段的長(zhǎng)短【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 1【題型2線段的和差】 4【題型3線段的數(shù)量關(guān)系】 8【題型4簡(jiǎn)單線段的長(zhǎng)短比較】 11【題型5兩點(diǎn)間的距離】 15【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 18【題型8線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 26【題型9尺規(guī)作線段】 31【題型10線段中的對(duì)折問(wèn)題】 33【知識(shí)點(diǎn)比較線段的長(zhǎng)短】（1）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。（2）線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).【題型1線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例1】（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段AB=12cm，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC=4cm，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則線段A．4cm B．8cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm【答案】D【分析】分兩種情況考慮：點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)C以線段BA的延長(zhǎng)線上；利用中點(diǎn)的意義及線段的和差關(guān)系即可求得線段AD的長(zhǎng)．【詳解】①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖則BC=AB?AC=12?4=8∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)∴CD=∴AD=AC+CD=4+4=8②點(diǎn)C以線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖則BC=AB+AC=12+4=16∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)∴CD=∴AD=CD?AC=8?4=4綜上所述，AD的長(zhǎng)為4cm或8cm故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的含義、線段的和差運(yùn)算，注意分類討論．【變式1-1】（2023秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，則CB的長(zhǎng)為．

【答案】5【分析】由線段和差關(guān)系可求DE，AB，由中點(diǎn)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵AD+BE+DE=AB，AE+BD?DE=AB，∴8+DE=AB，12?DE=AB，∴DE=2，AB=10，∵C是AB的中點(diǎn)，∴CB=1故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差與中點(diǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用，熟練掌握線段和差倍分的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC=12cm，CB=8cm，D、E分別是AC、(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)求DE的長(zhǎng)度；(3)若M在直線AB上，且MB=6cm，求AM【答案】(1)6(2)4(3)26cm或【分析】（1）直接根據(jù)D是AC的中點(diǎn)可得答案；（2）先求出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)E是AB的中點(diǎn)求出AE，做好應(yīng)AE?AD即為DE的長(zhǎng)；（3）分M在點(diǎn)B的右側(cè)、M在點(diǎn)B的左側(cè)兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由線段中點(diǎn)的性質(zhì)AD=1（2）由線段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20cm由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得AE=1由線段的和差，得DE=AE?AD=10?6=4cm（3）當(dāng)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，AM=AB+MB=20+6=26cm當(dāng)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，AM=AB?MB=20?6=14cm∴AM的長(zhǎng)度為26cm或14【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于線段的中點(diǎn)的計(jì)算，線段的和與差的計(jì)算，讀懂題意熟練運(yùn)用線段的和差倍分是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和A．10+522022 B．10+522023【答案】C【分析】根據(jù)MN=10，M1、N1分別為AM、AN的中點(diǎn)，求出M1N1的長(zhǎng)度，再由M【詳解】解：∵M(jìn)N=10，M1、N∴M1∵M(jìn)2、N∴M2∵M(jìn)3、N∴M3……由此可得：Mn∴M1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，相對(duì)較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型2線段的和差】【例2】（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；③AC?BD=2MC?DN；④2MN=AB?CN其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差結(jié)合圖形逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，∴AM=MD=12AD∵AD=BM，∴AD=MD+BD，∴AD=1∴AD=2BD，∴AD+BD=2BD+BD=3BD，即AB=3BD，故①符合題意；∵AC=BD，∴AD=BC，∴12∴AM=BN，故②符合題意；∵AC?BD=AD?CD?BD=AD?CD+BD∴AC?BD=2MD?2CN=2MD?CN∵2MN=2MC+2CN，MC=MD?CD，∴2MN=2MD?CD∵M(jìn)D=12AD∴2MN=21=AD?CD+BC?CD=AC+BD=AB?CD，故④不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差運(yùn)算，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系求解一些線段之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）兩根木條，一根長(zhǎng)10cm，另一根長(zhǎng)8cm，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為cm．【答案】1或9【分析】設(shè)AC=8cm，AB=10cm，根據(jù)題意分兩種情況：①如圖1，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AE+AD即可得出答案；②如圖2，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點(diǎn)【詳解】解：設(shè)AC=8cm，AB=10①如圖1，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AE=12AC=∴ED=AE+AD=4+5=9cm②如圖2，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AE=12AC=∴ED=AD?AE=5?4=1cm綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為1cm或9cm．故答案為：1或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離及線段的和差，中點(diǎn)的定義，本題運(yùn)用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．熟練掌握兩點(diǎn)的距離及線段和差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023秋·江蘇南京·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，C為線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，且AD=26cm，(1)圖中共有條線段？(2)求AC的長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)E在直線AD上，且EA=8cm，求BE【答案】(1)6(2)14(3)12cm或【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)確定一條線段進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出CD=12cm，則AC=AD?CD=14（3）分當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況求出CE的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，圖中的線段有：AC，故答案為：6；（2）解：∵BC=6cm，點(diǎn)B為CD∴CD=2BC=12cm∵AD=26cm∴AC=AD?CD=14cm（3）解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，∵AC=14cm，∴CE=AC?AE=6cm∵BC=6cm∴BE=BC+CE=12cm解：如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AC=14cm，∴CE=AC+AE=22cm∵BC=6cm∴BE=BC+CE=28cm綜上所述，BE的長(zhǎng)為12cm或28【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段計(jì)算，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┮阎狟、C在線段AD上．(1)如圖，圖中共有條線段，AD＝＋－；(2)如圖，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的長(zhǎng)度．【答案】(1)6；AC,BD,BC(2)AD=35【分析】（1）根據(jù)線段的定義可求出線段的數(shù)量；根據(jù)線段的和差可可解決與AD有關(guān)的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)AD=x，表示出AB、AC，根據(jù)BC=18列方程求解即可．【詳解】（1）圖中線段有：AB,AC,AD,BC,BD,CD共6條；AD=AC+BD?BC．故答案為：6；AC,BD,BC．（2）設(shè)AD=x因?yàn)锳B：BD＝2：5，AC：CD＝4：1所以AB=25+2因?yàn)锳C?AB=BC，BC=18所以4解得x=35所以AD=35．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的定義，線段的和差，以及一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【題型3線段的數(shù)量關(guān)系】【例3】（2023秋·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且AN?BN=MN，則【答案】1或1【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上，如圖：

∵AN?BN=MN，AN?AM=MN，∴BN=AM，∵AM=1∴BN=1∴MN=AB?AM?BN=1∴MN當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖：

∵AN?BN=MN，AN?BN=AB，∴AB=MN，∴MN綜上所述：MNAB的值為1或1故答案為：1或12【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023秋·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且CD=3AD?2BC，則AC與BD的關(guān)系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【答案】C【分析】先分別表示出AC和BD，即可求出兩者的關(guān)系．【詳解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，∴ACBD∴3AC=2BD，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的計(jì)算，熟練掌握線段的和差是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，D為CB上一點(diǎn)，下列關(guān)系表示錯(cuò)誤的是（）A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CDC．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD【答案】D【分析】根據(jù)圖形可以明確線段之間的關(guān)系，對(duì)線段CD、BD、AD進(jìn)行和、差轉(zhuǎn)化，即可發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤選項(xiàng)．【詳解】解：∵C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，∴CD＝BC﹣BD＝12AB﹣BD＝AC﹣BD∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；∵CD＝AD﹣AC，∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；∴選項(xiàng)A、B、C均正確．而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；∴答案D錯(cuò)誤符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·浙江·七年級(jí)期中）如圖1，AB是一條拉直的細(xì)繩，C,D兩點(diǎn)在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．則（1）CD:AD=；（2）若將點(diǎn)C固定，將AC折向BC，使得AC落在BC上（如圖2），再?gòu)狞c(diǎn)D處剪斷，使細(xì)繩分成三段，分成的三段細(xì)繩的長(zhǎng)度由小到大之比為．【答案】1∶32∶3∶5【分析】（1）根據(jù)題意AC:BC=2:3，可得AC:AB=2:5，AC=25AB；根據(jù)AD:BD=3:7，可得AD:AB=3:10，AD=310AB；（2）設(shè)對(duì)折后點(diǎn)D關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱處為D′，被剪斷兩處分別是點(diǎn)D和D′，剪開(kāi)的三段細(xì)繩依次是AD、DD′、D′B，根據(jù)對(duì)折性質(zhì)DD′=2DC，【詳解】解：（1）∵AC:BC=2:3，AC+CB=AB，∴AC:AB=2:(2+3)=2:5，∴AC=2∵AD:BD=3:7，AD+DB=AB，∴AD:AB=3:(3+7)=3:10，∴AD=3∵CD=AC?AD=∴CD:AD=1（2）設(shè)對(duì)折后點(diǎn)D關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱處為D′被剪斷兩處分別是點(diǎn)D和D′，剪開(kāi)的三段細(xì)繩依次是AD、DD′∵根據(jù)上題，AD=3DDD′∴DD∴DD故答案為：（1）1∶3（2）2∶3∶5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和與差，根據(jù)比值，將每一段的長(zhǎng)度表示成總長(zhǎng)度的幾分之幾，用代數(shù)的方法代入計(jì)算是解題關(guān)鍵．【題型4簡(jiǎn)單線段的長(zhǎng)短比較】【例4】（2023春·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從家到學(xué)校分別有①、②、③三條路可走：①為折線段ABCDEFG，②為折線段AIG，③為折線段AJHG．三條路的長(zhǎng)依次為a、b、c，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＝b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＝b＜c【答案】B【詳解】觀察圖形,可知:①②相等,③最短,a、b、c的大小關(guān)系是:a=b>c.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)短的度量、比較,根據(jù)平移的性質(zhì),兩點(diǎn)間線段距離最短,認(rèn)真觀察圖形,可知①②都是相當(dāng)于走直角線,故①②相等,③走的是兩點(diǎn)間的線段,最短.【變式4-1】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三角形ABC，下列比較線段AC和AB長(zhǎng)短的方法中，可行的有（

）①用直尺度量出AB和AC的長(zhǎng)度；②用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn)B的位置；③沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，觀察點(diǎn)B的位置．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】①用直尺度量出AB和AC的長(zhǎng)度，比較長(zhǎng)度；②用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，若點(diǎn)B在線段AC上，AB<AC；若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，AB=AC；若點(diǎn)B在AC的延長(zhǎng)線上，AB>AC；③沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，若點(diǎn)B在線段AC上，AB<AC；若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，AB=AC；若點(diǎn)B在AC的延長(zhǎng)線上，AB>AC．【詳解】比較線段AC和AB長(zhǎng)短的方法有：①用直尺度量出AB和AC的長(zhǎng)度，比較長(zhǎng)度；②用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn)B的位置，若點(diǎn)B在線段AC上，AB<AC；若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，AB=AC；若點(diǎn)B在AC的延長(zhǎng)線上，AB>AC；③沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，觀察點(diǎn)B的位置，若點(diǎn)B在線段AC上，AB<AC；若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，AB=AC；若點(diǎn)B在AC的延長(zhǎng)線上，AB>AC．共3個(gè)方法．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較三角形兩邊長(zhǎng)短的方法，熟練掌握度量法，疊合法，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，其中疊合法包括疊放法，折疊法．【變式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B，C在線段AD上，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，

(1)圖中以C為端點(diǎn)的線段共有______條.(2)若AB=CD，①比較線段的長(zhǎng)短：AC______BD；AN______DM（填：“>”、“=”或“<”）②若AD=21，AB:BC=2:3，求MN的長(zhǎng)度.【答案】(1)5(2)①=；=；②15【分析】（1）除C點(diǎn)外還有5個(gè)端點(diǎn)，即以C為端點(diǎn)的線段有5條；（2）①根據(jù)題意有AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，即有AB+BC=CD+BC，AM=MB=CN=ND，即有AC=BD，AD?ND=AD?AM，問(wèn)題隨之得解；②設(shè)AB=2x，BC=3x，則CD=2x，依題意，得2x+3x+2x=21，即可得AB=6，BC=9，【詳解】（1）∵除C點(diǎn)外還有5個(gè)端點(diǎn)，∴以C為端點(diǎn)的線段有5條，故答案為：5；（2）①∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，∴AM=MB=12AB∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，AM=MB=CN=ND，∴AC=BD，AD?ND=AD?AM，∴AN=DM，故答案為：＝，＝；②設(shè)AB=2x，BC=3x，則CD=2x，依題意，得2x+3x+2x=21，解得x=3，故AB=6，BC=9，CD=6，∵根據(jù)①：AM=MB=12AB∴MN=BM+BC+CN=3+9+3=15．【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，理清各線段的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB，射線AC，線段BC．(1)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD．(2)比較AB+AD與BC+AC的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AB+AD>BC+AC，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，作出圖形即可；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短以及線段的和差，求解即可．【詳解】（1）解：如圖；（2）解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷AB+AD>BD．即AB+AD>BC+CD∵CD=AC∴AB+AD【點(diǎn)睛】此題考查了尺規(guī)作圖－線段，以及兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．【題型5兩點(diǎn)間的距離】【例5】（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在線段MN上有P、Q兩點(diǎn)，PQ長(zhǎng)度為2cm，MN長(zhǎng)為整數(shù)，則以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度和可能為（

A．19cm B．20cm C．21cm【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，所有線段的長(zhǎng)度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根據(jù)PQ=2cm，線段MN【詳解】解：由題意可得，圖中以M、P、Q、N這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QNMP+PQ+QN=MN+MN+PQ+MN=3MN+PQ∴以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度和為長(zhǎng)度為3的倍數(shù)多2，∴以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度和可能為20．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．【變式5-1】（2023秋·江西吉安·七年級(jí)校考期末）在同一直線上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長(zhǎng)為．【答案】6或10或16【分析】由于沒(méi)有圖形，故A,B,C,D四點(diǎn)相對(duì)位置不確定，分：點(diǎn)C在B的左側(cè)、右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫圖分別求解即可．【詳解】解：I．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

∵AB=8，BC=3，CD=5，∴AD=AB+BC?CD=8+3?5=6，II．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

∴AD=AB+BC?CD=8+3+5=16，III．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

∴AD=AB?BC?CD=8?3?5=0，點(diǎn)A、D重合，不合題意，IV．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

∴AD=AB?BC+CD=8?3+5=10，點(diǎn)A、D重合，不合題意，綜上所述：AD的長(zhǎng)為6或10或16故答案為：6或10或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論、利用線段之間的和差關(guān)系得到AD的長(zhǎng)度．【變式5-2】（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，則這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間 B．點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間C．點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)題意得a≥0，若點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間，則AB+AC=BC，此時(shí)無(wú)解，若點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間，則BC+AB=AC，解得a=54，若點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間，則BC+AC=AB，解得【詳解】解：∵AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，∴a≥0，A、若點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間，則AB+AC=BC，2a+a+6=3a+1，此時(shí)無(wú)解，故選項(xiàng)A情況不存在；B、若點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間，則BC+AB=AC，3a+1+2a=a+6，a=5故選項(xiàng)B情況存在；C、若點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間，則BC+AC=AB，3a+1+a+6=2a，a=?7故C情況不存在；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，整式的加減，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)，分類討論．【變式5-3】（2023秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D、E是直線l上的點(diǎn)，線段AB=12cm，點(diǎn)D、E分別是線段AC、BC(1)求線段DE的長(zhǎng)；(2)若BC=4cm，點(diǎn)O在直線AB上，AO=5cm，求線段(3)若BC=mcm，點(diǎn)O在直線AB上，AO=ncm，請(qǐng)直接寫出線段OE的長(zhǎng)cm．（用含m、【答案】(1)6(2)5cm或(3)(n+12?m2)或【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段的和差即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵點(diǎn)D、E分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=AD=12AC∴DE=DC+CE=1（2）∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=1當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)A的左邊時(shí)，OE=OA+AE=OA+AB?BE=5+12?2=15cm；當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，OE=AE?OA=AB?BE?OA=12?2?5=5cm；（3）∵BC=mcm，∴BE=CE=1當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)A的左邊時(shí)，OE=OA+AE=OA+AB?BE=(n+12?m當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)A的右側(cè)在E的左側(cè)時(shí)，OE=AE?OA=AB?BE?OA=(12?n?m當(dāng)點(diǎn)O在E的右側(cè)時(shí)，OE=BE?AB+OA=(n?12+m綜上所述，線段OE的長(zhǎng)為(n+12?m2)或(12?n?故答案為：(n+12?m2)或(12?n?【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例6】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將一根繩子對(duì)折以后用線段AB表示，點(diǎn)P是AB的四等分點(diǎn)，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中的一段長(zhǎng)為30cm，則這條繩子的原長(zhǎng)為cm【答案】40或80或120或240．【分析】分AP=13PB【詳解】解：①如圖1，當(dāng)AP=1若AP=A′P′=30cm，則PB=P′B=3PA=90cm，此時(shí)AA′=AP+PP′+A′P′=30+180+30=240（cm）；若PP′=30cm，則PB=P′B=15cm，AP=A′P′=13②如圖2，當(dāng)PB=1若AP=A′P′=30cm，則PB=P′B=13若PP′=30cm，則PB=P′B=15cm，AP=A′P′=3PB=45cm，此時(shí)AA′=AP+PP′+A′P′=45+30+45=120（cm）；綜上，這條繩子的原長(zhǎng)為40或80或120或240cm，故答案為：40或80或120或240．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差．熟練掌握線段等分點(diǎn)的性質(zhì)和線段的和差計(jì)算及分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖B、C兩點(diǎn)把線段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中點(diǎn)，CD=8，求MC的長(zhǎng)．【答案】MC=1【分析】設(shè)AB=2x，得CD=4x，BC=3x，AD=9x，再根據(jù)CD=8，求出x的值，故可得出線段AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)M是AD的中點(diǎn)可求出MD的長(zhǎng)，由MC=MD?CD即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)AB=2x，∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，∴CD=4x，BC=3x，AD=2+3+4∵CD=8，∴x=2，∴AD=9x=18，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴MD=1∴MC=MD?CD===1．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義，在解答此類問(wèn)題時(shí)要注意各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系．【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB和線段CD的公共部分是線段BD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若BF:DE=5:2，BC?EF=3，AE=6，則AC的長(zhǎng)為．

【答案】26【分析】由圖，可求CF?BE=3，由BE=AE=6，得DF=CF=3+BE=9，于是9?DB6?DB=52，得【詳解】解：∵BC?EF=3，BC，EF有一段公共邊BF，∴CF?BE=3，∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE=AE=6，∴DF=CF=3+BE=3+6=9，∵BF=9?DB，DE=6?DB，BF:DE=5:2，∴9?DB6?DB∴DB=4，∴AC=AB+CD?DB=6×2+9×2?4=26．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線上線段間的數(shù)量關(guān)系計(jì)算線段長(zhǎng)度，由直線上點(diǎn)之間的位置關(guān)系確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB=6，AC=2，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN=______．(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=______．②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的nn≥2等分點(diǎn)，即AM=1nAC，【答案】(1)3(2)①12a；②23a【分析】（1）由AB=6，AC=2，得BC=AB?AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得CM=12AC=1，CN=12BC=2，故（2）①由M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故MN=②由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB③由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n?1nAC，CN=n?1nBC，即得MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1nAB【詳解】（1）解：∵AB=6，AC=2，∴BC=AB?AC=4，∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=12AC=1，CN=12∴MN=CM+CN=3；故答案為：3；（2）解：①∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=12∵AB=a，∴MN=12a故答案為：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=23∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n?1nAC，CN=n?1n∴MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1n∵AB=a，∴MN=n?1na故答案為：n?1na【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【題型7與線段的長(zhǎng)短比較有關(guān)的應(yīng)用】【例7】（2023春·北京海淀·七年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車站的位置在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間任何一點(diǎn)效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．其中，正確的是．

【答案】①③【分析】根據(jù)最優(yōu)化問(wèn)題，即可判斷出正確答案．【詳解】解；如圖，

因?yàn)锳、D、E點(diǎn)各有一個(gè)工廠相連，B，C，各有兩個(gè)工廠相連，把工廠看作“人”．可簡(jiǎn)化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個(gè)人（如圖），求一點(diǎn)，使所有人走到這一點(diǎn)的距離和最小”把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，靠攏完的結(jié)果變成了B=4，C=3，最好是移動(dòng)3個(gè)人而不要移動(dòng)4個(gè)人．所以車站設(shè)在故答案為：①③．【點(diǎn)睛】此題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，做這類題要做到規(guī)劃合理，也就是要考慮到省時(shí)省力．【變式7-1】（2023春·江西宜春·七年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，某公司有三個(gè)住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A，B，C三點(diǎn)共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．A，B之間 D．B，C之間【答案】A【分析】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由題意設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理．【詳解】解：①以點(diǎn)A為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以點(diǎn)B為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以點(diǎn)C為停靠點(diǎn)，則所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④當(dāng)在AB之間?？繒r(shí)，設(shè)停靠點(diǎn)到A的距離是m，則（0＜m＜100），則所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤當(dāng)在BC之間停靠時(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到B的距離為n，則（0＜n＜200），則總路程為30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴該停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在點(diǎn)A；故選A．【點(diǎn)睛】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短．【變式7-2】（2023春·浙江寧波·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號(hào)為1、2、3、4、5，第k號(hào)樓恰好有k（k=1、2、3、4、5）個(gè)A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米．A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號(hào)樓米處．【答案】150【詳解】假設(shè)車站距離1號(hào)樓x米，然后運(yùn)用絕對(duì)值表示出總共的距離，繼而分段討論x的取值去掉絕對(duì)值，根據(jù)數(shù)的大小即可得出答案．解：假設(shè)車站距離1號(hào)樓x米，則總距離S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，①當(dāng)0≤x≤50時(shí)，S=2000-13x，最小值為1350；②當(dāng)50≤x≤100時(shí)，S=1800-9x，最小值為900；②當(dāng)100≤x≤150時(shí)，S=1200-3x，最小值為750（此時(shí)x=150）；當(dāng)150≤x≤200時(shí)，S=5x，最小值為750（此時(shí)x=150）．∴綜上，當(dāng)車站距離1號(hào)樓150米時(shí)，總距離最小，為750米．故答案為150．【變式7-3】（2023秋·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┰谝粭l直線上有依次排列的nn>1臺(tái)機(jī)床在工作，我們需要設(shè)置零件供應(yīng)站P，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P如果直線上只有2臺(tái)機(jī)床A1，A2時(shí)，很明顯供應(yīng)站P設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，距離之和等于如果直線上有3臺(tái)機(jī)床A1、A2、A3，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2處最合適，距離之和恰好為如果在直線上4臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；如果直線上有5臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)的地方；(1)閱讀遞推：如果在直線上有7臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在（

）處．A．第3臺(tái)

B．第3臺(tái)和第4臺(tái)之間

C．第4臺(tái)

D．第4臺(tái)和第5臺(tái)之間(2)問(wèn)題解決：在同一條直線上，如果有n臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在什么位置？(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化：在數(shù)軸上找一點(diǎn)P，其表示的有理數(shù)為x．當(dāng)x=_______時(shí)，代數(shù)式x?1+【答案】(1)C(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n+12臺(tái)的位置；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n2臺(tái)第(3)50，2450【分析】（1）從所給材料中找出規(guī)律即可求解；（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，找出規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義和連續(xù)整數(shù)的和的計(jì)算公式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：直線上有3臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2直線上有5臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A3以此類推，如果在直線上有7臺(tái)機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A4故選C；（2）解：由題意知：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n+12當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第n2臺(tái)和第n（3）解：1到99最中間的數(shù)為：1+99÷2=50應(yīng)用（2）中結(jié)論可知，當(dāng)x=50時(shí)，代數(shù)式x?1+50?1=49+48+47+?+2+1+0+1+2+?+48+49==2450，即當(dāng)x=50時(shí)，代數(shù)式x?1+x?2+【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的幾何意義、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、有理數(shù)的混合運(yùn)算等，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般和分類討論的方法．【題型8線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例8】．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，AB=14厘米，點(diǎn)C在線段AB上，且BC=3厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為6厘米．【答案】3或9或1【分析】分四種情況：（1）點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)；（2）點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)；（3）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)；（4）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)；求出經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為6厘米即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，(6?3)÷(2?1)=3÷1=3（秒）；（2）點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，(6+3)÷(2?1)=9÷1=9（秒）；（3）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，(6?3)÷(2+1)=3÷3=1（秒）；（4）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，(6+3)÷(2+1)=9÷3=3（秒）．∴經(jīng)過(guò)3或9或1秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為6厘米．故答案為：3或9或1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．【變式8-1】（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)，以1cm/s、3(1)若AB=10cm，當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，點(diǎn)C，D的位置如圖①所示，求(2)若點(diǎn)C，D在沒(méi)有運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A和點(diǎn)M時(shí)，總有MD=3AC，試說(shuō)明此時(shí)有AM=1(3)如圖②，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN【答案】(1)2cm(2)見(jiàn)解析(3)12【分析】（1）計(jì)算出CM及BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出答案；（2）根據(jù)圖形即可直接解答；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM=2cm，∵AB=10cm，CM=2cm，∴AC+MD=AB?CM?BD=10?2?6=2（（2）解：∵C，D兩點(diǎn)的速度分別為1cm/s∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，BD=3tcm，又∵M(jìn)D=3AC，∴BD+MD=3t+3AC=3（t+AC）cm即BM=3AM，∴AM=（3）解：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖所示：∵AN?BN=MN，且AN?AM=MN，∴BN=AM=1∴MN=1即MN當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：∵AN?BN=MN，AN?BN=AB，∴MN=AB，即MNAB綜上所述，MNAB的值為12【點(diǎn)睛】本題考查求線段的長(zhǎng)短的知識(shí)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，理清題意后再解答．【變式8-2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC+PD=_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP:PB=_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=3AC，求【答案】(1)①12；②1:2(2)9【分析】（1）①先分別求出PC=2cm,BD=4cm②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則PC=tcm,BD=2t（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，則PC=xcm,BD=3xcm，從而可得BD=3PC，再根據(jù)PD=3AC可得【詳解】（1）解：①依題意得：PC=1×2=2cm∵AB=18cm，點(diǎn)D仍在線段PB∴AC+PD=AB?PC?BD=18?2?4=12cm故答案為：12；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則PC=t∵當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，∴AP=2PC=2tcm∴AP:PB=1:2，故答案為：1:2．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，則PC=x∴BD=3PC，∵PD=3AC，∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC∵PB+AP=AB，∴3AP+AP=AB，∴AP=1【點(diǎn)睛】本題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、線段的和與差、線段的中點(diǎn)，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0），點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)．（1）當(dāng)t=3時(shí)，求線段MB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好是MB的中點(diǎn)？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，AM=2PB？【答案】（1）當(dāng)t=3時(shí)，MB=21；（2）當(dāng)t=8；點(diǎn)P恰好是MB的中點(diǎn)；（3）t=485或t=16，【分析】（1）如圖：當(dāng)t=3時(shí)，先求出AP,然后再求出AM,最后根據(jù)MB=AB-AM求解即可；（2）先求出AM=MP=t，再說(shuō)明MP=PB=t，然后由AB=3AM=3t=24即可求得t；（3）分P在線段AB上和P在線段AB延長(zhǎng)線上兩種情況解答即可．【詳解】解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，AP=3×2=6.∵點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴AM=1∴MB=AB?AM=24?3=21.（2）∵點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴AM=MP=1∵點(diǎn)P是MB的中點(diǎn)，∴MP=PB=t，∴AB=3AM=3t=24，∴t=8；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，AM=t，PB=AB?AP=24?2t，∴t=224?2t解得t=48當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AM=t，PB=AP?AB=2t?24，∴t=22t?24解得t=16.∴t=485或【點(diǎn)睛】本題屬于直線上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，主要考查了中點(diǎn)的定義、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出圖形并表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)以及掌握分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．【題型9尺規(guī)作線段】【例9】（2023秋·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，AB=6．

(1)尺規(guī)作圖：延長(zhǎng)線段AB，并在延長(zhǎng)線上作一點(diǎn)D，使得BD+BC=AB；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若CM=2AC，求線段AD的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)7【分析】（1）延長(zhǎng)線段AB，在延長(zhǎng)線上截取BD=AC即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義求出AM=3，再根據(jù)CM=2AC求出AC=1，結(jié)合BD=AC即可求解．【詳解】（1）解：∵AC+BC=AB，∴若BD+BC=AB，則BD=AC，以點(diǎn)B為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，與線段AB的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，如下圖所示：

；（2）解：∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，AB=6，∴AM=1∵CM=2AC，∴AC=1由（1）知BD=AC，∴AD=AB+BD=AB+AC=6+1=7．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖——作一線段等于已知線段，中點(diǎn)的定義，線段的和差關(guān)系等，難度一般，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)．【變式9-1】（2023春·福建·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知線段a，b，利用尺規(guī)作線段AB，使得AB=2a?b．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)解析【分析】首先作射線，再截取AC=CD=a，進(jìn)而截取BD=b，即可得出AB=2a?b．【詳解】解：如圖所示，AB即為所求，

．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，正確作出射線進(jìn)而截取得出是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,B,C兩點(diǎn)在射線AM上，AC>BC，用圓規(guī)在射線BM上作一點(diǎn)D,使得BD=AC?BC．(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】詳見(jiàn)解析【分析】先以點(diǎn)B為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧與BM交于一點(diǎn)；再以該點(diǎn)為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧與BM交于D點(diǎn)．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)D即為所作：

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作線段．理解題意即可作圖．【變式9-3】（2023秋·甘肅蘭州·七年級(jí)校考期末）已知線段a，b，c，求作：線段m，使m=a+c?b．

【答案】見(jiàn)解析【分析】畫出射線OP，以點(diǎn)O為圓心，a的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交射線OP于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，c的長(zhǎng)度為半徑畫弧，在點(diǎn)A坐邊交射線OP于點(diǎn)B，最后以點(diǎn)B為圓心，b的長(zhǎng)度為半徑畫弧，在點(diǎn)B右邊交射線OP于點(diǎn)C，OC即為所求．【詳解】解：如圖所示：畫出射線OP，以點(diǎn)O為圓心，a的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交射線OP于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，c的長(zhǎng)度