數(shù)學分析知識點

第一章實數(shù)集與函數(shù)

§1實數(shù)

授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§1實數(shù)

教學目的：使學生掌握實數(shù)的基本性質(zhì).

教學重點：

(1)理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；

(2)牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關性質(zhì)以及幾個常見的不等

式.(它們是分析論證的重要工具)

教學難點：實數(shù)集的概念及其應用.

教學方法：講授.〔局部內(nèi)容自學)

教學程序：

引言

上節(jié)課中，我們與大家共同探討了《數(shù)學分析》這門課程的研究

對象、主要內(nèi)容等話題.從本節(jié)課開場，我們就基本按照教材順序

給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容.首先，從大家都較為熟悉的實數(shù)和

函數(shù)開場.

［問題］為什么從“實數(shù)〃開場.

答：《數(shù)學分析》研究的基本對象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)〃

是定義在“實數(shù)集”上的(后繼課《復變函數(shù)》研究的是定義在復數(shù)

集上的函數(shù)〕.為此，我們要先了解一下實數(shù)的有關性質(zhì).

一、實數(shù)及其性質(zhì)

1、實數(shù)

有理數(shù):任何有理數(shù)都可以用分數(shù)形式且（p,g為整數(shù)且qwO）表示，

P

也可以用有限十進小數(shù)或無限十進小數(shù)來表示.

?無理數(shù):用無限十進不循環(huán)小數(shù)表示.

R={x\x為實數(shù)}一全體實數(shù)的集合.

［問題］有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利

的.為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表

示為“無限小數(shù)”.為此作如下規(guī)定：

對于正有限小數(shù)x=a0.a1a2an.其中

0<a,<9,i=1,2,NO,%為非負整數(shù)，t己彳=4.。|an_x（an-1）9999;

對于正整數(shù)x=a。,則記x=（a。-1）.9999;對于負有限小數(shù)（包括負

整數(shù)）y,則先將-y表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負

號.0表示為

0=0.（XXX）

例：2.001.2.0009999.；

利用上述規(guī)定，任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示.在

此規(guī)定下，若何對比實數(shù)的大小

2、兩實數(shù)大小的對比

1）定義1給定兩個非負實數(shù)x=a,，y=b0.btbn.其中

%也為非負整數(shù)，%也（左=1,2,）為整數(shù)，04%49,0W/W9.假設有

dk=b鵬=0,1,2,,,則稱x與y相等，記為x=y;假設或存在非

負整數(shù)/,使得q=/,左=0,1,2,,而4+1>仿+i，則稱x大于y或y小于

X,分別記為x>y或y<x.對于負實數(shù)X、y,假設按上述規(guī)定分別

有-x=-y或-x>-y,則分別稱為x=y與（或y>x）.

規(guī)定：任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).

2）實數(shù)對比大小的等價條件（通過有限小數(shù)來對比）.

定義2（缺乏近似與過剩近似］：%=%%%為非負實數(shù)，稱有

理數(shù)%為實數(shù)X的幾位缺乏近似；X.=x“++稱為實數(shù)X的N

位過剩近似，n=0,1,2,.

對于負實數(shù)X=-。（）嗎，其〃位缺乏近似Z=一4.4an-5〃

位過剩近似三=一%4a”.

注：實數(shù)x的缺乏近似x“當“增大時不減，即有天4玉;過

剩近似高當n增大時不增，即有哈士*2.

命題：記了=如。1冊,y=b0.btbn為兩個實數(shù)，則x>y的等

價條件是：存在非負整數(shù)n,使%>力（其中x“為x的〃位缺乏近似，

可為y的〃位過剩近似）?

命題應用

例L設為實數(shù)，x<y,證明存在有理數(shù)「，滿足

證明：由x<y,知：存在非負整數(shù)n,使得x“<.令r=gk“+%），

則r為有理數(shù)，且

x<xn<r<yn<y.即x<r<y.

3、實數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄II.也9-取2）.

1）封閉性〔實數(shù)集R對+,-,x,一〕四則運算是封閉的.即任意兩

個實數(shù)的和、差、積、商〔除數(shù)不為0）仍是實數(shù).

2）有序性：\/a,b&R,美系a〈b,a>b,a=b,三者必居其一，也只

居其一.

3）傳遞性：Va,b,ceR,若a>b,b>c,則a>c.

4）阿基米德性：R,b>a>O=>m〃eN使得na>b.

5）稠密性：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù).

6）一一對應關系：實數(shù)集/?與數(shù)軸上的點有著一一對應關系.

例2.設R,證明：假設對任何正數(shù)￡,有則aW".

（提示：反證法.利用“有序性"，取￡="-））

二、絕對值與不等式

1、絕對值的定義

實數(shù)。的絕對值的定義為fl-0.

2、幾何意義

從數(shù)軸看，數(shù)4的絕對值⑷就是點口到原點的距離.表示就

是數(shù)軸上點x與a之間的距離.

3、性質(zhì)

1）|a|=|—a|20;|a|=0=a=0（非負性）；

2）-1a|<a<|a|；

3）\a\<ho-h<a<h,\a\<ho-h<a<h.（h>0）;

4）對任何R有a土+|b|（三角不等式）;

5）\ab\=\a\-\b\;

三、幾個重要不等式

INa~+b2|sinx|<l.|sinx|<|x|.

2、均值不等式:對Vqs，…，4，R+，記

加皿)"+生+...+*」￡《,(算術平均值)

nn/=1

\_

；，

G(a,.)=^a,a2---an=ffj?,|,(幾何平均值)

2!

^,)=-r-r一r=VT=r+(調(diào)和平均值)

---1----F?■■4---〉,〉,

?,W??〃&a：Mq

有平均值不等式：H(ai)<G(a,)<M(ai),即：

等號當且僅當/=w=…=?！睍r成立.

3、Bernoulli不等式：(在中學已用數(shù)學歸納法證明過)

Vx>-1,有不等式(1+x)"21+nx,neN.

當%>-1且x/0,且〃22時,有嚴格不等式(1+x)">1+nx

證：由l+x>0且1+xxO,=>(1+x)"+〃-l=(l+x)"+1+1+…+1>

4、利用二項展開式得到的不等式:對V〃>0,由二項展開式

有(1+力)”>上式右端任何一項.

［練習］P4.5

一實數(shù)及其性質(zhì)

［課堂小結］：實數(shù)：,二絕對值與不等式

［作業(yè)］P4.1.(1),2.⑵、(3),3

§2數(shù)集和確界原理

授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§2數(shù)集和確界原理

教學目的：使學生掌握確界原理，建設起實數(shù)確界的清晰概念.

教學要求：

(1)掌握鄰域的概念；

(2)理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正

確地加以運用.

教學重點：確界的概念及其有關性質(zhì)(確界原理).

教學難點：確界的定義及其應用.

教學方法：講授為主.

教學程序：先通過練習形式復習上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗學習效果，此

后導入新課.

引言

上節(jié)課中我們對數(shù)學分析研究的關鍵問題作了簡要討論；此后又

讓大家自學了第一章§1實數(shù)的相關內(nèi)容.下面，我們先來檢驗一下

自學的效果若何！

1>證明：對任何xeR有：⑴|x-l|+|x-2|21;(2)

|x-l|+|x-2|+|x-3|>2.

((1)|x-1|=|l+(x—2)|>1—|x—2|,.,.|x-l|+|x—2|>1)

((2),_"+卜_2|之1,,_2|+卜_3|之1,卜_2|+卜_3巧2.三式相力口化簡即可)

2、證明：||x|-

3、設a,bGR,證明：假設對任何正數(shù)￡有4+》<￡,則

4、設證明：存在有理數(shù)r滿足y<r<x.

［引申］:①由題1可聯(lián)想到什么樣的結論呢這樣思考是做科研時

的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題

引出一般的結論：一般的方法②由上述幾個小題可以體會出“大學數(shù)

學"習題與中學的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據(jù)，而非

憑空想象；③課后未布置作業(yè)的習題要盡可能多做，以加深理解，語

言應用.提請注意這種差異，盡快掌握本門課程的術語和工具.

本節(jié)主要內(nèi)容：

1、先定義實數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集一一區(qū)間與鄰域；

2、討論有界集與無界集；

3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理〔確界原理〕.

一、區(qū)間與鄰域

1、區(qū)間(用來表示變量的變化范圍)

設且a<0.區(qū)間<,其中

無限區(qū)間

2、鄰域

聯(lián)想:“鄰居〃.字面意思：”鄰近的區(qū)域〃.與。鄰近的“區(qū)域”

很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢就是“關于。的對稱區(qū)

間”；若何用數(shù)學語言來表達呢

⑴a的b鄰域:設aeR?>0,滿足不等式|x-a|<S的全體實數(shù)x

的集合稱為點a的5鄰域，記作U(a?),—'------~-

Oa-3a

U(a?)={x||x-a|<3}=(a-b,a+b).

其中a稱為該鄰域的中心，5稱為該鄰域的半徑.

〔2〕點。的空心3鄰域

U"(a;5)={x|0<|x—a|<3}=(a—b,a)u(a,a+3)，U"(a).

(3〕。的S右鄰域和點。的空心5右鄰域

(4)點a的5左鄰域和點。的空心b左鄰域

(5)8鄰域，+8鄰域，—鄰域

U(°°)={X||X|>M},(其中M為充分大的正數(shù));

二、有界集與無界集

1、定義1［上、下界)：設S為R中的一個數(shù)集.假設存在數(shù)M(L),

使得一切xeS都有則稱S為有上〔下)界的數(shù)集.數(shù)

/⑷稱為S的上界［下界)；假設數(shù)集S既有上界，又有下界，

則稱S為有界集.

閉區(qū)間［a,可、開區(qū)間(a,b)(a,〃為有限數(shù))、鄰域等都是有界數(shù)集，

集合E={_y|y=sinx,xe(-8,+8)}也是有界數(shù)集.

假設數(shù)集S不是有界集，則稱S為無界集.

(-00,+8),(-8,0),(0,+8)等都是無界數(shù)集，

集合E={y［y=JX€(O,1)}也是無界數(shù)集.

注：1)上(下)界假設存在，不唯一；

2〕上(下)界與S的關系若何看下例：

例1討論數(shù)集乂={川〃為正整數(shù)}的有界性.

解：任取〃小%，顯然有所以M有下界1;

但時無上界.因為假設M有上界M,則M>0,按定義，對任意

n0eN+,都有n0<M,這是不可能的，如取

%+符號［"］表示不超過M的最大整數(shù))，則%eM,且

綜上所述知：乂是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.

例2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；［2）無限區(qū)間都是無

界集；（3）由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集.

［問題］:假設數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎對下界呢（答：不唯

一，有無窮多個）.

三、確界與確界原理

1、定義

定義2（上確界）設S是R中的一個數(shù)集，假設數(shù)〃滿足：（1）

對一切xwS,有1即〃是S的上界）；（2）對任何,存在/eS,

使得x0〉a（即〃是S的上界中最小的一個），則稱數(shù)〃為數(shù)集S的上

確界，記作〃=supS.

從定義中可以得出:上確界就是上界中的最小者,

命題=supE充要條件

1）\/x&E,x<M;

2）V￡>o,3x0eS,使得%>M-￡.

證明：必要性，用反證法.設2）不成立，則

為0>0,使得VxeE,均有xWM-%,與M是上界中最小的一個矛盾.

充分性（用反證法〕，設M不是E的上確界，即三叫,是上界，但

M>MQ.^-￡=M,由2）,BxQeE,使得Xo>M—￡=M）,與M（,是

E的上界矛盾.

定義3（下確界）設S是R中的一個數(shù)集，假設數(shù)4滿足：（1）

對一切xwS,有X*（即J是S的下界）；⑵對任何/?>《，存在

使得玉,<，（即J是S的下界中最大的一個），則稱數(shù)J為數(shù)集S的下

確界，記作“infS.

從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者.

命題2j=infS的充要條件：

1)VXGE,x>^;

2)\/￡,0,/￡S,有尤o<§+￡.

上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.

■、

例3(1)S=?l+(D>，則supS=]_;infS=0.

n

[2)E={j|y=sinx,xe(O,乃)}.貝！IsupS=，;infS=0.

注：非空有界數(shù)集的上(或下)確界是唯一的.

命題3：設數(shù)集A有上(下)確界，則這上(下)確界必是唯一

的.

證明：設〃=supA,?/=supA且;7工〃，,則不妨設77<〃’

H=supA=>\/x&A^x<r/

=supAn對〃<〃，，三天)€4使〃<入0，矛盾.

例：supR-=0,sup(—]=1,inff-^=—

nez\n+\)f〃+U2

E={-5,0,3,9,11}則有infE=—5.

開區(qū)間(a,8)與閉區(qū)間[凡句有一樣的上確界匕與下確界a

例4設S和A是非空數(shù)集,且有SnA則有supS>supA,infS<infA.

例5設A和3是非空數(shù)集.假設對VxeA和e&都有xWy,則有

supAWinfA

證明：VyeB,y是A的上界，=>supA<y.nsupA是8的下

界，=supA<infB.

例6A和8為非空數(shù)集，S=AU8試證明：infS=min{infA,infB}.

證明：VxeS,有xeA或xe8,由infA和inf8分別是A和8的下界,

有

x>infA§5(,x>infB.=>x>min{infA,infB}.

即min{infA,infB}是數(shù)集S的下界，

=>infS>min{infA,infB}.又Sz>A=S的下界就是A的下

界，infS是S的下界，=>infS是A的下界，ninfSVinfA;同理有

infS<infB.

于是有infS<min{infA,infB}.

綜上，有infS=min{infA,infB}.

1.數(shù)集與確界的關系:確界不一定屬于原集合.以例3⑵為例做

解釋.

2.確界與最值的關系：設E為數(shù)集.

(1)E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點.

(2)非空有界數(shù)集必有確界(見下面確實界原理)，但未必有最

值.

⑶假設maxE存在,必有maxE=sup￡對下確界有類似的結論.

4.確界原理：

Thl.1(確界原理).設S非空的數(shù)集.假設S有上界，則S必有上確

界；假設S有下界，則S必有下確界.

這里我們給一個可以承受的說明EuR,E非空，我們可以

找到一個整數(shù)P,使得〃不是E上界，而〃+1是E的上界.然后我們遍

查p.l，p.2,…,p.9和p+1,我們可以找到一個外,°”。",使得P4)不

是E上界，，①。+D是E上界，如果再找第二位小數(shù)0,…，如此下去,

最后得到MM矽…，它是一個實數(shù)，即為E的上確界.

證明：（書上對上確界的情況給出證明，下面講對下確界的證明）

不妨設S中的元素都為非負數(shù)，則存在非負整數(shù)"，使得

1〕VxGS'有尤>〃；

2〕存在為€5，有xW〃+l；

把區(qū)間（〃,“+1]10等分，分點為A.1，m2,...,27.9,存在外,使得

1）VGS?有；x>；

2）存在x,eS，使得/W幾勺+古.

再對開區(qū)間（幾々,〃.“+2]10等分，同理存在％，使得

1）對任何xeS，有x>n.nxn2；

2）存在》2，使+志

繼續(xù)重復此步纏，知對任何k=1,2,…，存在出使得

1）對任何xwS，X>％-木；

2）存在X—S，Xk<n.n]n2???〃&?

因此得到〃=n.nxn2……?以下證明〃=infS.

（i）對任意XGS，X>〃；

[ii）對任何a>〃,存在VeS使&>￡.

[作業(yè)]:P91（1）,（2）；2；4（2）、[4）；7

§3函數(shù)概念

授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§3函數(shù)概念

教學目的：使學生深刻理解函數(shù)概念.

教學要求：

[1）深刻理解函數(shù)的定義以及復合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的

定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；

（2）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會求初等函

數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復合關系.

教學重點：函數(shù)的概念.

教學難點：初等函數(shù)復合關系的分析.

教學方法：課堂講授，輔以提問、練習、局部內(nèi)容可自學.

教學程序：

引言

關于函數(shù)概念，在中學數(shù)學中已有了初步的了解.為便于今后的

學習，本節(jié)將對此作進一步討論.

一、函數(shù)的定義

1.定義1設RMuR,如果存在對應法則八使對Vxe。，

存在唯一的一個數(shù)yeW與之對應，則稱/是定義在數(shù)集。上的函數(shù),

記作

數(shù)集。稱為函數(shù)/的定義域，x所對應的y,稱為/在點x的函數(shù)

值，記為/(幻.全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)/的值域，記作/(。).

即f(D)={y\y=f(x),x&D}.

2.幾點說明

[1)函數(shù)定義的記號中“gDfM”表示按法則/建設。到M

的函數(shù)關系，xfy表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應關系，也記作

習慣上稱X自變量，y為因變量.

(2)函數(shù)有三個要素，即定義域、對應法則和值域.當對應法

則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的基本要素

為兩個：定義域和對應法則.所以函數(shù)也常表示為：y=f(x),x^D.

由此，我們說兩個函數(shù)一樣，是指它們有一樣的定義域和對應法

則.

例如：1)/(x)=l,xeR,g(x)=l,xw/?\{0}.(不一樣，對應法則一樣,

定義域不同）

2）e（x）=|x|,xe/?,〃（x）=J7,xeR1一樣，只是對應法則的

表達形式不同）.

（3）函數(shù)用公式法〔解析法〕表示時，函數(shù)的定義域常取使該

運算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域〕.

此時，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應法則/來表示

一個函數(shù).即“函數(shù)y=/（x）〃或“函數(shù).

[4）“映射〃的觀點來看，函數(shù)一本質(zhì)上是映射，對于

稱為映射一下。的象.a稱為75）的原象.

〔5〕函數(shù)定義中，Vxe。，只能有唯一的一個y值與它對應，這

樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)"，假設對同一個x值，可以對應多于

一個y值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)（簡稱

函數(shù)）.

二、函數(shù)的表示方法

1主要方法：解析法[公式法）、列表法（表格法）和圖象法（圖

示法）.

2可用“特殊方法〃來表示的函數(shù).

1）分段函數(shù)：在定義域的不同局部用不同的公式來亍'y

l,x>01

例如sgnx=<0,x=0,（符號函數(shù)）

—1,xv0

y

（借助于sgnx可表示f（x）=\x\,即3

y=M2

-3-2-101234x

?一?-2

/(x)gx|=xsgnx).

2)用語言表達的函數(shù).(注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù))

例1〕萬印(取整函數(shù)〕

比方：[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4.

常有[x]4x<[x]+l,0<x-[x]<L

與此有關一個的函數(shù)y=x-{*]非負小數(shù)函數(shù)〕圖形是一條

大鋸，畫出圖看一看.

2)狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)

這是一個病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期

函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實上任一有理數(shù)都是它的周期.

3)黎曼[Riemman〕函數(shù)

三函數(shù)的四則運算

給定兩個函數(shù)記D2,并設ON。，定義/

與g在。上的和、差、積運算如下：

E(x)=/(x)+g(x),xe。;G(x)=/(x)—g(x),xe￡);

〃(x)=/(x)g(x),xe。.

假設在。中除去使g(x)=O的值，即令，

可在。上定義一與g的商運算如下；L(x)=^,xeD.

g(x)

注：1)假設。2="，則/與g不能進展四則運算.

2)為表達方便，函數(shù);■與g的和、差、積、商常分別寫為:

.f+g，于一g，fg，—-

g

四、復合運算

1.引言

在有些實際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才

建設起它們之間的對應關系.

例：質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v,則功率E為

?11.

E=—mv^21

2>=>E=—mg~t9.9

v=gt_

抽去該問題的實際意義，我們得到兩個函數(shù)/(V)=gw2,V=gf，把

M)代入人即得

/(())=

這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復合"，所得到的函數(shù)稱為“復合函

數(shù)〃.

［問題］任給兩個函數(shù)都可以復合嗎考慮下例；

y=/(w)=arcsinu,uGZ)=f-l,l］,u=g(x)=2+x2,xeE=R.

就不能復合，結合上例可見，復合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)"的值域

與“外函數(shù)〃的定義域的交集不空(從而引出下面定義).

2.定義(復合函數(shù)〕設有兩個函數(shù)y=/(〃),MeO,〃=g(x),xwE,

E={%|/(x)e￡>}E,假設則對每一個通過g對應。內(nèi)

唯一一個值“，而“又通過了對應唯一一個值y,這就確定了一個定義

在E上的函數(shù)，它以x為自變量，y因變量，記作y=/(g(x)),xeE或

y=(fg)(x),xe￡.簡記為/g.稱為函數(shù)/和g的復合函數(shù)，并稱,為

外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，"為中間變量.

3.例子

例y=/(“)=〃，w=g(x)=l-x2.求(/°g\x)=/[g(x).]并求定義

域.

例⑴

f(i-x)=x2+X+1,f(x)=.

(2)/仁+']=/+3.貝I]/(%)=()

VX)x

A,尤2,B.x~+1,C./—2,D?%2+2.

例討論函數(shù)y=/(?)=4u,U€[0,+oo)與函數(shù)U=g(x)=V1-X2,XGR

能否進展復合，求復合函數(shù).

4說明

1)復合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復合而成.每次復合，都要驗證能

否進展在哪個數(shù)集上進展復合函數(shù)的最終定義域是什么

例如：y=sinu,u=Vv,v=1-JC2,復合成：

y=sinV1-X2,XG[-1,1].

2)不僅要會復合，更要會分解.把一個函數(shù)分解成假設干個簡單

函數(shù)，在分解時也要注意定義域的變化.

①

y=log?\J\-x2,xe(0,1)fy=log?u,u=Vz,z=l-x2.

②y=arcsinA/X2+1—?y=arcsinu,u=JU,v=x2+1.

③y=2s,nA—>y=2",〃=/,u=sinx.

五、反函數(shù)

1.引言

在函數(shù)y=/（x）中把x叫做自變量，y叫做因變量.但需要指出的

是，自變量與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如：

/（w）=Vw,w=r+1,那么"對于一來講是自變量，但對r來講，〃是因變

量.

習慣上說函數(shù)y=/（x）中x是自變量，y是因變量，是基于y隨x的

變化現(xiàn)時變化.但有時我們不僅要研究y隨x的變化狀況，也要研究x

隨y的變化的狀況.對此，我們引入反函數(shù)的概念.

2.反函數(shù)概念

定義設y：x—R是一函數(shù)，如果vxi，XXx,由

%產(chǎn)9=>/（%）。/（工2）

（或由/（%）=/區(qū)）=玉=々），則稱/在x上是1T的.

假設y：x.y,y=/（x）,稱一為滿的.

假設f：x是滿的IT的，則稱/為1T對應.

/：XfR是1T的意味著y=/（x）對固定y至多有一個

解x，/:X-?y是1T的意味著對yeY，y=/（x）有且僅

有一個解x.

定義設fy是1-1對應.VyeY,由y=/（x）唯一確

定一個xwX，由這種對應法則所確定的函數(shù)稱為

y=/（X）的反函數(shù)，記為x=/T（y）.

反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域

顯然有

廠'"于=I:XTX（恒等變換）

廣廣:/二一丫（恒等變換）

（尸）T=/：Xfy

從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù),

習慣上我們還是把反函數(shù)記為y="'（幻，這樣它的圖

A

y

形與y=/a)的圖形是關于對角線y=x對稱的.

嚴格單調(diào)函數(shù)是IT對應的，所以嚴格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù).

但對應的函數(shù)(有反函數(shù)〕不一定是嚴格單調(diào)的，看下面

例子

它的反函數(shù)即為它自己.

實際求反函數(shù)問題可分為二步進展：

1.確定的定義域x和值域y,考慮1-1對應條件.固定

y&Y,解方程/a)=y得出》=尸(土

2.按習慣，自變量工、因變量)互換，得

例求y=M(x)=優(yōu);：RfR的反函數(shù)?

解固定y,為解八丈二二，令e，=z，方程變?yōu)?/p>

2

z=y++](舍去y_+])

得x=ln(y+J/+i)，即y=ln(x++])=昕|(》)，稱為反雙曲正弦,

定理給定函數(shù)y=/(x),其定義域和值域分別記為X和丫，

假設在y上存在函數(shù)g(y),使得g(/(x))=x,則有g(y)=/T(y).

分析：要證兩層結論：一是y=f(x)的反函數(shù)存在，我們只要證它

是1-1對應就行了;二是要證g(y)=/T(y).

證要證y=/(x)的反函數(shù)存在，只要證f(x)是X到V日勺1一1對應.

VX]，/eX，假設f(與)=f(“2)，則由定理條件，我們有

=>X=工2,即/：x—>y是1~1對應.

再證g(y)=L(y).v，3xeX?使得y=f(x).

由反函數(shù)定義X=/T(y),再由定理條件

g(y)=g(/(x))=x.ng(y)=/'(y)

例廣RfR，假設”/(x))存在唯一不動點，則，

J占、、、?

證存在性，設x*=/"(x*)],/(x*)=/。/"。*)],

即/(x*)是/。/的不動點，由唯一性/(X*)=X*,

即存在了(幻的不動點X

說明［是的不動點，由唯一性，x=x*.

從映射的觀點看函數(shù).

設函數(shù)y=/(x),xe￡>.滿足：對于值域/(。)中的每一個值y,

D中有且只有一個值x,使得/(x)=y,則按此對應法則得到一個

定義在/(。)上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為一的反函數(shù)，記作

尸"(D)->D,(y|fx)或尤=f'(y),yef(D).

3、注釋

a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點看，函數(shù)/有反

函數(shù)，意味著一是D與/(0)之間的一個---映射，稱尸為映射/

的逆映射，它把/⑷)一。；

b)函數(shù)/與尸互為反函數(shù)，并

有：=/(/-'(%))=y,ysf(D).

C)在反函數(shù)的表示x=/T(y),ye/(。)中，是以y為自變量，x為因

變量.假設按習慣做法用x做為自變量的記號，y作為因變量的記

號，則函數(shù)一的反函數(shù)二可以改寫為

應該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數(shù)，因為其定

義域和對應法則一樣，僅是所用變量的記號不同而已.但它們的圖形

在同一坐標系中畫出時有所差異.

六、初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)(6類)

常量函數(shù)y=C(C為常數(shù))；

塞函數(shù)y=r(tze/?);

指數(shù)函數(shù)4=優(yōu)3>0,"1)；

對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,awl)；

二角函數(shù)y=sinjr,y=cosx,y=tgx,y—ctgx;

反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx.y=arctgx,y-arcctgx.

注：塞函數(shù)y=/(aGR)和指數(shù)函數(shù)y=能(。>0,./1)都涉及乘塞，

而在中學數(shù)學課程中只給了有理指數(shù)乘事的定義.下面我們借助

于確界來定義無理指數(shù)累，便它與有理指數(shù)基一起構成實指數(shù)乘

塞，并保持有理批數(shù)塞的基本性質(zhì).

定義2.給定實數(shù)。設x為無理數(shù)，我們規(guī)定：

這樣解決了中學數(shù)學僅對有理數(shù)片定義優(yōu)的缺陷.

［問題］:這樣的定義有意義否更明確一點相應的“確界是否存在

呢〃

2.初等函數(shù)

定義3.由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與復合運算所

得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)

］

如：y=2sinx+cos2x,y-sin(—),y=log”元+-——-——,y=1xI.

xx

不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).如Dirichlet函數(shù)、

Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).

注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對象.為此，除對基本初等

函數(shù)的圖象與性質(zhì)應熟練掌握外，還應常握確定初等函數(shù)的定義域.

確定定義域時應注意兩點.

例2.求以下函數(shù)的定義域.

3.初等函數(shù)的幾個特例：設函數(shù)/(幻和g(x)都是初等函數(shù)，則

(1〕"(x)|是初等函數(shù)，因為"(切=后帚.

⑵①(x)=max{/(x),g(x)}和0(x)=min{/(x),g(x)}都是初等函數(shù),

因為中(無)=max{/(x),g(x)}=1[/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|],

0(x)=min{f(x),g(x)}=g[/(x)+g(x)-|/(x)-g(x)|].

⑶基指函數(shù)(/(x)嚴)(八幻＞())是初等函數(shù)，因為

［作業(yè)］4：3；4:(2)、(3)；5:(2)；7:(3)；11

§4具有某些特性的函數(shù)

授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§4具有某些特性的函數(shù)

教學目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關的一些常見術語.

教學目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周

期函數(shù)的定義；

會求一些簡單周期函數(shù)的周期.

教學重點：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.

教學難點：周期函數(shù)周期的計算、驗證.

教學方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學題綱，供學生自學完成.

教學程序：

引言

在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如

有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學

里已經(jīng)表達過，因此，這里只是簡單地提一下.與“有界集〃的定義

類似，先談談有上界函數(shù)和有下界函數(shù).

一、有界函數(shù)

1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義

定義1設/為定義在D上的函數(shù)，假設存在數(shù)M(L),使得對每

一個有/(x)<M(/(x)1)，則稱/為D上的有上(下〕界函數(shù)，M(L)

稱為/在D上的一個上(下)界.

注：(1)/在D上有上(下)界，意味著值域外。)是一個有上(下〕

界的數(shù)集；

(2)又假設M(L)為/在D上的一個上(下)界，則任何大

于M(小于L)的數(shù)也是/在D上的上［下)界.所以，函數(shù)的上［下)

界假設存在，則不是唯一的，例如：y=sinx,1是其一個上界，下界

為一1，則易見任何小于一1的數(shù)都可作為其下界；任何大于1的數(shù)

都可作為其上界；

13〕任給一個函數(shù)，不一定有上(下)界；

(4)由(1)及“有界集〃定義，可類比給出“有界函數(shù)”

定義：

了在D上有界是一個有界集o/在D上既有上界又有下界

=/在D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).

2、有界函數(shù)定義

定義2設/為定義在D上的函數(shù).假設存在正數(shù)M,使得對每一

個有|/(x)區(qū)/，則稱/為D上的有界函數(shù).

注：［1)幾何意義：/為D上的有界函數(shù)，則/的圖象完全落在

y=M和y=-M之I司;

(2)/在D上有界of在D上既有上界又有下界；例子：

y=sinx,y=cosx;

(3)關于函數(shù)/在D上無上界、無下界或無界的定義.

3、例題

例1證明了:X->A有界的充要條件為：3M,m,使得對

證明如果有界，按定義三用>0,VxeX有［/(x)區(qū)",即

-M</(x)<M,取〃?=-M,M=M即可.

反之如果三用，比使得心6乂,利勺/(>)<加，令Mo=max{M+l，|m|}，

則|/(浜弧,即三網(wǎng)>0,使得對VxeX有火砌，即/:XfR

有界.

例2.證明/(幻='為(0,1］上的無上界函數(shù).

X

例3.設f,g為D上的有界函數(shù).證明：(1)

inf/(x)+infg(x)Winf{/(x)+g(x)}；

(2)sup{/(%)+g(x)}<sup/(x)+supg(x).

xeDxeDxeD

例4驗證函數(shù)=在R內(nèi)有界.

解法一由2/+3=(折:)2+(揚2叫后>畫=2兩乂，當XHO時,有

|/(0)|=0<3,

對VxeR,總有"(x)|<3,HP/(x)在R內(nèi)有界.

解法二令丁=—J,n關于x的二次方程2yx2_5x+3y=0有實

2x+3

數(shù)根.

解法三令犬=欄后,f對應了€(-8,+8).于是

二、單調(diào)函數(shù)

定義3設/為定義在D上的函數(shù)，V玉,々6。,改<與(1)假設

/(%,)</(%2),則稱/為D上的增函數(shù);假設/(芭)</(々)，則稱/為D

上的嚴格增函數(shù).(2)假設/(為注/(電)，則稱/為D上的減函數(shù)；假

設/(%)>/(/),則稱/為D上的嚴格減函數(shù).

例5.證明：y=d在(7收)上是嚴格增函數(shù).

%X

證明：設王</，X；—X：=(1-2)(X；+XtX2+%2)

如x}x2<0,貝！J%2>0〉再n無：<石

如玉工2>0,貝Ijk+Xiz+W>°，nx：<考

故d-只<0即得證.

例6.討論函數(shù)y=印在R上的單調(diào)性.

-.Vx?x2e/?,當西時一，有后卜危］，但此函數(shù)在R上的不是嚴格

增函數(shù).

注：1)單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關.在定義域的某些局部，/可

能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2)嚴格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點或無平行于x

軸的局部.更準確地講：嚴格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直

線至多有一個交點.這一特征保證了它必有反函數(shù).

總結得下面的結論：

定理1.設y=/(x),xe。為嚴格增(減)函數(shù)，則/必有反函數(shù)尸,

且尸在其定義域/(0上也是嚴格增(減)函數(shù).

證明：設/在。上嚴格增函數(shù).對Vye/⑷),有xe。，使f(x)=y.下面

證明這樣的x只有一個.事實上，對于。內(nèi)任一玉AX,由于/在。上嚴

格增函數(shù)，當石<》時f(x)<y,當』>x時/(xj>y,總之/GWy.即

Vye/(￡)),都只存在唯一的一xe￡>,使得/'(x)=y,從而

例7討論函數(shù)y=V在(_0+8)上反函數(shù)的存在性；如果>=/在

(_8,+00)上不存在反函數(shù)，在(-O0,+8)的子區(qū)間上存在反函數(shù)否

結論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關.

例8證明：y="當a>l時在R上嚴格增，當0<。<1時在R上嚴格

遞減.

三、奇函數(shù)和偶函數(shù)

定義4.設D為對稱于原點的數(shù)集，/為定義在D上的函數(shù).假設

對每一個xeO有(1)/(—)=_/(x),則稱/為D上的奇函數(shù)；(2〕

/(-%)=f(x),則稱/為D上的偶函數(shù).

注：(1)從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱1中心對

稱)，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；

(2)奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此/(x)=x,xe[O,l]沒有必要

討論奇偶性.

奇函數(shù)：y=sinx

偶函數(shù)：y=sgnx

(3)從奇偶性角度對函數(shù)分類:

非奇非偶函數(shù)：y=sinx+cosx

既奇又偶函數(shù):y三0

(4)由于奇偶函數(shù)對稱性的特點，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時一，只須討

論原點的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)

1、定義

設/為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，假設存在b>0,使得對一切

xe。有/(x±b)=/(x),則稱/為周期函數(shù)，o■稱為/的一個周期.

2、幾點說明：

〔1)假設b是/的周期，則3(〃€乂)也是/的周期，所以周期

假設存在，則不唯一.如y=sinx,b=2;r,4；T,.因此有如下“基本周

期”的說法，即假設在周期函數(shù)/的所有周期中有一個最小的周期，

則稱此最小周期為/的“基本周期〃，簡稱“周期〃.如丁=5皿一

周期為21；

[2)任給一個函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有

基本周期，如：1〕y=x+l,不是周期函數(shù)；2)y=C(C為常數(shù))，

任何正數(shù)都是它的周期.

章數(shù)列極限

引言

為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的

變化趨勢.例如有這么一個變量，它開場是1,然后為LLL」，如

234n

此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化有一個趨勢，這個

趨勢就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個變量的

極限為0.

在高等數(shù)學中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(如導數(shù)、

微分、積分、級數(shù)等〕，并且在實際問題中極限也占有重要的地位.

例如求圓的面積和圓周長(：S=I/,/=2Q),但這兩個公式從何而

來

要知道，獲得這些結果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面

積和求直線段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求

人們在觀念上，在思考方法上來一個突破.

問題的困難何在多邊形的面積其所以為好求，是因為它的周界是

一些直線段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢周界處處是彎

曲的，困難就在這個“曲〃字上面.在這里我們面臨著“曲〃與

“直〃這樣一對矛盾.

辯證唯物主義認為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.

整個圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說，在

很小的一段上可以近似地“以直代曲〃，即以弦代替圓弧.

按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成〃

個等長的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正〃邊形.易知，正〃邊形周長

為

顯然，這個不會等于/.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正〃

邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷

地接近于圓周長.〃越大，近似程度越高.

但是，不管“多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論

若何它只是周長的近似值，而不是準確值.問題并沒有最后解決.

為了從近似值過渡到準確值，我們自然讓“無限地增大，記為

〃78.直觀上很明顯，當〃―8時，/“->/,記成----極限思

n—>oo

想.

即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微(張

晉)早在第3世紀就提出來了，稱為“割圓術”.其方法就是一一無

限分割.以直代曲；其思想在于“極限”.

除之以外，象曲邊梯形面積的計算均源于“極限〃思想.所以，我

們有必要對極限作深入研究.

§1數(shù)列極限的概念

教學目的：使學生建設起數(shù)列極限的準確概念；會用數(shù)列極限的定義

證明數(shù)列極限等有關命題.

教學要求：使學生逐步建設起數(shù)列極限的”N定義的清晰概念.深刻

理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關概念.會

應用數(shù)列極限的.N定義證明數(shù)列的有關命題，并能運

用”N語言正確表述數(shù)列不以某實數(shù)為極限等相應陳

述.

教學重點：數(shù)列極限的概念.

教學難點：數(shù)列極限的”N定義及其應用.

教學方法：講授為主.

教學程序：

一、什么是數(shù)列

1數(shù)列的定義

數(shù)列就是“一列數(shù)”，但這"一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而

是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；

假設函數(shù)一的定義域為全體正整數(shù)集合M,則稱/:乂-R為數(shù)

列.

注：1)根據(jù)函數(shù)的記號，數(shù)列也可記為/(〃),〃€乂；

2)記/(〃)=%,則數(shù)列/(〃)就可寫作為：4M2,?，/，，簡記

為{4}，即{/(")l〃eN+}={q,};

3)不嚴格的說法：說/(〃)是一個數(shù)列.

2數(shù)列的例子

⑶{n2}:1,4,9,16,25,;⑷{1+(—1嚴}:2,0,2,0,2,

二、什么是數(shù)列極限

1.引言

對于支個問題，先看一個例子：古代哲學家莊周所著的《莊子.天

下篇》引用過一句話：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭〃.把每天

截下的局部的長度列出如下(單位為尺)；

第1天截下

2

第2天截下

2222

第3天截下：.白=!，

22223

第〃天截下了西二吩，

得到一個數(shù)列：

不難看出，數(shù)列出的通項不隨著"的無限增大而無限地接近于

零.

一般地說，對于數(shù)列｛4｝,假設當〃無限增大時，4能無限地接近

某一個常數(shù)。，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)。稱為它的極限.不具有

這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.

據(jù)此可以說，數(shù)列｛1｝是收斂數(shù)列，0是它的極限.

數(shù)列｛〃2｝,｛1+（一1嚴｝都是發(fā)散的數(shù)列.

需要提出的是，上面關于“收斂數(shù)列〃的說法，并不是嚴格的定

義，而僅是一種“描述性”的說法，若何用數(shù)學語言把它準確地定義

下來.還有待進一步分析.

以｛1+4為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：

隨著〃的無限增大，%