高考數(shù)學二輪復習專題七應用題第21講函數(shù)應用題課件

專題七應用題第21講函數(shù)應用題第21講函數(shù)應用題

V的漏斗,現(xiàn)選擇半徑為R的圓形鐵皮,截取如圖所

示的扇形,焊制成漏斗.(1)若漏斗的底面半徑為

R,求圓形鐵皮的半徑R;(2)這張圓形鐵皮的半徑R至少是多少?解析(1)漏斗高h=

=

R,則體積V=

π

h,所以R=2

.(2)設漏斗的底面半徑為r(r>0),V=

πr2

,所以R=

,令f(r)=

+r2(r>0),則f'(r)=-

+2r=

,所以f(r)在

上單調(diào)減,

上單調(diào)增,所以當r=

時,R取最小值

.2.如圖,某單位準備修建一個面積為600平方米的矩形場地(圖中ABCD)的圍

墻,且要求中間用圍墻EF隔開,使得圖中ABEF為矩形,EFDC為正方形,設AB=x

米,已知圍墻(包括EF)的修建費用均為800元/米.設圍墻(包括EF)的修建總費

用為y元.(1)求出y關于x的函數(shù)解析式;(2)當x為何值時,圍墻(包括EF)的修建總費用y最小?求出y的最小值.

解析(1)設AD=t米,則由題意得xt=600,且t>x,故t=

>x,可得0<x<10

,則y=800(3x+2t)=800

=2400

,所以y關于x的函數(shù)解析式為y=2400

(0<x<10

).(2)y=2400

≥2400×2

=96000,當且僅當x=

,即x=20時等號成立.故當x為20時,y最小,y的最小值為96000.題型一利用導數(shù)解決的函數(shù)模型(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個菱形的面積為130cm2,那么

做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料(不計榫卯及其他損耗)?解析(1)水平方向每根支條長為

=(15-x)cm,豎直方向每根支條長為

=

cm,菱形的一條邊長為

=

cm.所以L=2(15-x)+4

+8×

=82+4

-2(x+y)cm.(2)由題意得

xy=130,即y=

,由

得

≤x≤13.所以L=82+4

-2

.令t=x+

,其導函數(shù)t'(x)=1-

<0

,故t=x+

在

上單調(diào)遞減,故t∈

,所以L=82+4

-2t,其中定義域t∈

,求導得L'(t)=2

>0,所以L=82+4

-2t在t∈

上為增函數(shù),故當t=33,即x=13,y=20時,L有最小值16+4

.答:做這樣一個窗芯至少需要(16+4

)cm的條形木料.【核心歸納】利用導數(shù)解決函數(shù)模型中的最值問題是?？碱}型,是在通過

審題確定目標函數(shù)和定義域后借助導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的關

系求解最值,有時函數(shù)的定義域不能通過觀察法求得,要根據(jù)條件建立不等式

組求得,定義域是函數(shù)模型中優(yōu)先考慮的問題.1-1

(2017江蘇太倉高級中學檢測)某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車

的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛,年銷售量為5000輛.本年度為適

應市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當增加投入成本,若每輛車投入成本增加

的比例為x(0<x<1),則出廠價相應提高的比例為0.7x,年銷售量也相應增加.已

知年利潤W(x)=(每輛車的出廠價-每輛車的投入成本)×年銷售量.(1)若年銷售量增加的比例為0.4x,為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則

投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)?(2)若年銷售量關于x的函數(shù)為y=3240

,則當x為何值時,本年度的年利潤最大?最大利潤為多少?解析(1)由題意得,本年度每輛車的投入成本為10(1+x)萬元/輛,出廠價為13

xx)輛,則W(xx)-10(1+x)]×x)x)×x)=-1800x2+1500x+15000,又由已知得,上一年度的年利潤為(13-10)×5000=15000(萬元),則由W(x)>150

00得,0<x<

,又x∈(0,1),故x∈

.(2)W(x)=(3-0.9x)×3240×

=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),則W'(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),由W'(x)=0解得x=

或x=3,當x∈

時,W'(x)>0,W(x)是增函數(shù);當x∈

,W'(x)<0,W(x)是減函數(shù).故當x=

時,W(x)取極大值,極大值為W

=20000,因為W(x)在(0,1)上只有一個極大值,所以W

是最大值.即當x=

時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20000萬元.題型二利用不等式解決的函數(shù)模型(1)當r和θ分別為多少時,可使得廣場面積最大,并求出最大面積;(2)若要求步道長105米,則可設計出的水池的最大面積是多少?解析(1)由題意,水池弧長AB為θr,扇形AOB面積S=

θr2,則有400×

θr2+1000(2r+θr)≤24×104,即θr2+5(2r+θr)≤1200,

①θr+2r≥2

,∴θr2+10

≤1200.令t=

,t>0則

+10t≤1200?t≤40,所以當θr=2r=40,即θ=2,r=20時,S=

θr2最大為400.答:扇形圓心角θ為2,半徑20米時,廣場面積最大,為400平方米.(2)θr+2r=105?θ=

-2<2π,θr=105-2r代入①可得(105-2r)r+5×105≤1200?2r2-105r+675≥0?r≤

或r≥45,

②又S=

θr2=

(105-2r)r=-r2+

r=-

+

,當r≤

時,θ=

-2≥

-2=12>2π與θ<2π不符,所以S=

θr2在[45,+∞)上單調(diào)減,當r=45時,S取得最大值為337.5,此時θ=

.故可設計出的水池的最大面積是337.5平方米.【核心歸納】不等式是解決函數(shù)模型中最值問題的常用工具,根據(jù)目標函

數(shù)的結(jié)構選擇解不等式或用基本不等式求解,利用基本不等式求解最值問題

時要注意對基本不等式成立條件的逐一驗證.2-1

(2018南京高三年級學情調(diào)研)某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺

某產(chǎn)品的任務,每臺產(chǎn)品由9個甲型裝置和3個乙型裝置配套組成,每個工人每

x人,他們加工完甲型裝置所需時間

為t1小時,其余工人加工完乙型裝置所需時間為t2f(x)=t1+t2.(1)求f(x)的解析式,并寫出其定義域;(2)當x等于多少時,f(x)取得最小值?解析(1)因為t1=

,t2=

=

,所以f(x)=t1+t2=

+

,定義域為{x|1≤x≤99,x∈N*}.(2)f(x)=1000

=10[x+(100-x)]

=10

.因為1≤x≤99,x∈N*,所以

>0,

>0,所以

+

≥2

=6,當且僅當

=

,即x=75時取等號.答:當x=75時,f(x)取得最小值.題型三分段函數(shù)模型解析(1)當x=60時,t(60)=1600,代入t(x)=-a(x+5)2+10050,解得a=2.∴M(x)=

即M(x)=

(2)當x∈[34,60),x∈N*時,W(x)=(-2x2-20x+10000)(x-34)-20000,則W'(x)=-6(x2-1

6x-1780).令W'(x)=0,解得x1=8-2

(舍去),x2=8+2

∈(50,51).當34<x<50時,W'(x)>0,W(x)單調(diào)遞增;當51<x<60時,W'(x)<0,W(x)單調(diào)遞減.∵x∈N*,M(50)=44000,M(51)=44226,∴M(x)在[34,60)上的最大值為44226.當60≤x≤70時,M(x)=100(-x2+110x-2584)-20000單調(diào)遞減,此時M(x)的最大值為M(60)=21600.綜上所述,當x=51時,M(x)取最大值,為44226.答:該打印店月利潤的最大值為44226元,此時產(chǎn)品的銷售價格為51元/件.【核心歸納】分段函數(shù)模型是函數(shù)應用題中常見的模型,由條件合理分段

是關鍵,一般情況下,在x的不同取值范圍內(nèi)函數(shù)有不同的解析式,求解分段函

數(shù)的最值問題時,可先求每一段函數(shù)的最值,再比較得最大值和最小值.3-1經(jīng)銷商用一輛J型卡車將某種水果從果園運送(滿載)到相距400km的水

果批發(fā)市場.據(jù)測算,J型卡車滿載行駛時,每100km所消耗的燃油量u(單位:L)

與速度v(單位:km/h)的關系近似地滿足u=

除燃油費外,工人工資、車損等其他費用平均每小時300元.已知燃油價格為每升(L)7.5元.(1)設運送這車水果的費用為y(元)(不計返程費用),將y表示成速度v的函數(shù)關

系式;(2)卡車該以怎樣的速度行駛,才能使運送這車水果的費用最少?解析(1)由題意,當0<v≤50時,y×

u+300×

=30

+300×

=

+690,當v>50時,y×

u+300×

=30

+300

=

+

+600,所以y=

(2)當0<v≤50時,y=

+690是單調(diào)減函數(shù),故v=50時,