新教材2024版高中數(shù)學第六章概率1隨機事件的條件概率1.3全概率公式學生用書北師大版選擇性必修第一冊

1．3全概率公式[教材要點]要點全概率公式設B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，則對隨意一個事務A有P(A)＝______________，稱上式為全概率公式．狀元隨筆(1)公式的直觀作用：由于公式包含了乘法公式P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)即先有Bi后有A，Bi對A的發(fā)生均有確定作用，只有Bi發(fā)生了，才有A發(fā)生的可能性，Bi是A發(fā)生的全部“緣由”因此，我們可視為公式的直觀作用是“由因求果”．(2)運用公式的關鍵：運用公式的關鍵是找尋其中的完備事務組B1，B2，…，Bn，該完備事務組是為了計算P(A)而人為地引入的，選擇適當?shù)耐陚涫聞战M可以使計算大為簡化；選擇不適當，則不利于問題的解決．[基礎自測]1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)全概率公式中樣本空間Ω中的事務Bi需滿意的條件是i=1n(2)每次試驗B1，B2，…，Bn中只能發(fā)生一個．()(3)每次試驗B1，B2，…，Bn必有一個發(fā)生．()(4)全概率公式解決由果索因問題．()2．市場上供應的燈泡中，甲廠燈泡占70%，乙廠燈泡占30%，甲廠燈泡的合格率是95%，乙廠燈泡的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.2853．已知A，B為樣本空間Ω中的事務，BA與BA是互斥的，B＝BA＋BA，且P(AB)＝12，P(AB)＝1A．12B．C．16D．4．有20件產(chǎn)品，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽2件．則第一次和其次次都抽到次品的概率是________．題型一全概率公式在簡潔事務中的應用例1某學校有A，B兩家餐廳，王飛第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐，假如第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6，假如第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王飛第2天去A餐廳用餐的概率．方法歸納全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求出最終結(jié)果的概率，解題步驟如下：(1)找出條件事務里的某一個完備事務組，分別命名為Ai；(2)命名目標的概率事務為事務B；(3)代入全概率公式求解．跟蹤訓練1設有兩箱同一種商品：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件優(yōu)質(zhì)品；其次箱內(nèi)裝30件，其中18件優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)在隨意地打開一箱，然后從中隨意取出一件，求取到是優(yōu)質(zhì)品的概率．題型二全概率公式在困難事務中的應用例2有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)假如取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率．方法歸納為了求困難事務的概率，往往可以把它分解成若干個互斥的簡潔事務之和，然后利用條件概率和乘法公式，求出這些簡潔事務的概率，最終利用概率的可加性得到結(jié)果．跟蹤訓練2甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品．(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率．易錯辨析混淆條件概率中的條件致誤例3依據(jù)以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95；非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為0.95.對自然人群進行普查的結(jié)果為：有千分之五的人患有肝炎．現(xiàn)有某人做此試驗，結(jié)果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？解析：設A＝“某人患有肝炎”，B＝“某人做此試驗結(jié)果為陽性，則由已知條件有P(B|A)＝0.95，P(B|A)＝0.95，P(A)＝0.005，從而P(A)＝1－P(A)＝0.995，P(B|A)＝1－P(B|A)＝0.05.由貝葉斯公式，有P(A|B)＝PAPB所以此人確有肝炎的概率約為0.087.【易錯警示】易錯緣由糾錯心得把P(A|B)與P(B|A)搞混，誤認為P(B|A)＝0.95為所求，造成誤診．正確理解P(A|B)與P(B|A)的含義，防止造成不必要的錯誤．[課堂特殊鐘]1．為了提升全民身體素養(yǎng)，學校特殊重視學生體育熬煉，某?；@球運動員進行投籃練習．假如他前一球投進則后一球投進的概率為34；假如他前一球投不進則后一球投進的概率為14.若他第1球投進的概率為A．34B．58C．7162．一個盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次，求其次次取到白球的概率．3．現(xiàn)有12道四選一的單選題，學生張君對其中9道題有思路，3道題完全沒有思路．有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好隨意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機選擇1題，求他做對該題的概率．1．3全概率公式新知初探·課前預習要點i=1[基礎自測]1．(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：記事務A為“買到一個甲廠燈泡”，事務B為“買到一個合格燈泡”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.答案：A3．解析：由互斥事務概率的加法公式得P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝12+1答案：D4．解析：設“第一次抽到次品”為事務A，“其次次抽到次品”為事務B.P(AB)＝C51C41答案：1題型探究·課堂解透例1解析：設A1＝“第1天去A餐廳用餐”，B1＝“第1天去B餐廳用餐”，A2＝“第2天去A餐廳用餐”，則Ω＝A1∪B1，且A1與B1互斥．依據(jù)題意得：P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7所以王飛第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.跟蹤訓練1解析：設A＝{取到的是優(yōu)質(zhì)品}，Bi＝{打開的是第i箱}(i＝1,2)，P(B1)＝P(B2)＝12，P(A|B1)＝1050＝P(A|B2)＝1830＝3P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝25例2解析：設B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.(1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.(2)“假如取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事務Ai發(fā)生的概率．P(A1|B)＝PA1BPB＝類似地，可得P(A2|B)＝27，P(A3|B)＝3跟蹤訓練2解析：(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品包含的樣本點數(shù)為C82＝28，這2個產(chǎn)品都是次品包含的樣本點數(shù)為C3(2)設事務A為“從乙箱中取一個正品”，事務B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事務B2為“從甲箱中取出1個正品，1個次品”，事務B3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事務B1，B2，B3彼此互斥．P(B1)＝C52CP(B2)＝C51CP(B3)＝C32C所以P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝514×2[課堂特殊鐘]1．解析：記事務A為“第1球投進”，事務B為“第2球投進”，P(B|A┤)＝34，P(B|(A)

?┤)＝由全概率公式可得PB＝PAP(B|A┤)＋PAP(B|A)＝34故選B.答案：B2．解析：設A＝{第一次取到白球}，B＝{其次次取到白球}，因為B＝AB∪AB，且AB與AB所以P(B)＝P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(A