專題3-5 平行四邊形（考題猜想特殊平行四邊形的性質和判定綜合應用的四種類型）原卷版-2023-2024學年8下數學期末考點大串講（人教版）

專題3-5平行四邊形（考題猜想，特殊平行四邊形的性質和判定綜合應用的四種類型）類型1：利用矩形的性質巧求折疊中線段的和【例題1】（22-23八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在矩形中，，動點滿足，則點P到兩點距離之和的最小值為（

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A． B． C． D．【變式1】（22-23八年級下·內蒙古呼和浩特·期末）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊矩形紙片，使點落在上的點處，折痕為；再次展平，連接，．則，若為線段上一動點，是的中點，則的最小值是．

【變式2】（22-23八年級上·貴州黔東南·期末）如圖，在長方形中，對角線，，將長方形沿對角線折疊，點落在點處，點是線段上一點，則的最小值是【變式3】（22-23八年級下·湖北咸寧·期中）如圖，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，將紙片展平，再一次折疊，使點落到上的點處，折痕為；延長交于點．(1)求證：為等邊三角形；(2)為線段上一動點，為的中點，連接，．若（），則的最小值是__________．類型2：特殊平行四邊形中的操作型問題【例題2】（22-23八年級下·湖南邵陽·期末）已知，如圖是由八個全等的直角三角形拼接而成的圖形．記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，，若正方形的邊長為，則的值為（

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A． B． C． D．【變式1】（22-23八年級下·浙江溫州·階段練習）圖1是鄰邊長為16和25的矩形，把它分割成①，②，③，④四塊后，拼接成不重疊、無縫隙的正方形（如圖2），則圖2中的長為，四邊形的面積為．

【變式2】（21-22八年級下·山東濰坊·期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖①，試驗證勾股定理．(2)如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，，求該飛鏢狀圖案的面積．(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，若，求．【變式3】（22-23八年級下·山東臨沂·期末）綜合與實踐問題：給你兩個大小不等的正方形，你能通過切割把他們拼接成一個大正方形嗎？

下面是某研究小組的研究過程：(1)首先研究兩個一樣大小的正方形把兩個邊長相等的正方形和正方形，按圖1所示的方式擺放，沿虛線、剪開后，可按圖1所示的移動方式拼接成四邊形形，則四邊形形是正方形，請說明理由；(2)研究大小不等的兩個正方形把邊長不等的兩個正方形和正方形，按圖2所示的方式擺放，連接，過點D作，交于點M，過點M作，過點E作，與相交于點N．①證明四邊形是正方形；②在圖2中，將正方形和正方形沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形，請簡略說明你的拼接方法（類比圖1，用數字表示對應的圖形）．類型3：特殊平行四邊形中的探究型問題【例題3】（23-24八年級下·重慶沙坪壩·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中,點O、、、、、、……,都是平行四邊形的頂點，點、、在軸正半軸上，，，，，，，，平行四邊形按照此規(guī)律依次排列，則第個平行四邊形的對稱中心的坐標是（

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A． B． C． D．【變式1】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）如圖：順次連接矩形四邊的中點得到四邊形，再順次連接四邊形四邊的中點得四邊形，…，按此規(guī)律得到四邊形．若矩形的面積為24，那么四邊形的面積為（

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A． B． C． D．【變式2】（22-23八年級下·四川瀘州·期末）同學們還記得教科書中的這個問題嗎？如圖（1），四邊形是正方形，點是邊的中點，，且交正方形外角的平分線于點．求證：．書中的提示是：取的中點G，連接，這樣易證后得到．在此基礎上，請同學們探究以下問題：(1)如圖（2），點E是邊上（除點B，C外）的任意一點，其它條件不變，的結論還成立嗎？如果成立，寫出證明過程；如果不成立，請說明理由；(2)如圖（3），點E是的延長線上（除點C外）的任意一點，其他條件不變，的結論仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過程；如果不成立，請說明理由；【變式3】（22-23八年級下·江蘇宿遷·階段練習）在菱形中，，是對角線上一動點，以為邊向右側作等邊（，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．(1)如圖1，當點在菱形內部時，連接，則與的數量關系是______，與的位置關系是______；(2)如圖2，當點在菱形外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．【變式4】．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）（1）探究規(guī)律：如圖1，點P為平行四邊形內一點，，的面積分別記為，，平行四邊形的面積記為S，試探究與S之間的關系．（2）解決問題：如圖2矩形中，，，點E、F、G、H分別在、、、上，且，，點P為矩形內一點，四邊形、四邊形的面積分別記為，，求．【變式5】．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）規(guī)律：如圖1，直線，，為直線上的點，，為直線上的點．如果，，為三個定點，點在直線上移動，那么無論點移動到何位置，與的面積始終相等，其理由是___．應用：（1）如圖，、、三點在同一條直線上，與都是等邊三角形，連結，．若，，求的面積．（2）如圖，已知，，，是矩形邊上的點，且，，連結交于點，連結交于點，連結交于點，連結，若四邊形的面積等于，求四邊形的面積．【變式6】．（22-23八年級下·吉林長春·期中）【教材呈現】如圖是華師版八年級下冊數學教材第頁的練習中的第題．點是矩形邊上的一個動點，矩形的兩條邊長、分別為和．求點到矩形的兩條對角線和的距離之和．（提示：記對角線和的交點為點，連結）．(1)【問題解決】小明發(fā)現：如圖①，連結，過點作，垂足分別為點、，利用矩形對角線的性質，便可求出的值，請你運用小明發(fā)現的方法，求出點到矩形的兩條對角線和的距離之和(2)【規(guī)律應用】如圖②，當點是矩形邊上任意一點時，_______．(3)【規(guī)律探究】如圖③，當點是延長線上任意一點時，則和之間的數量關系是______．【變式7】．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)奇數的平方差，那么稱這個正整數為“奇特數”．例如：；則、、這三個數都是奇特數．(1)填空：32______奇特數，2018______奇特數．（填“是”或者“不是”）(2)如圖所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數…，按此規(guī)律拼疊到正方形，其邊長為403，求陰影部分的面積．【變式8】．（22-23八年級下·江蘇·期末）解答題(1)證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據圖1寫出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據（“已知”除外）](2)如圖2，在中，對角線交點為分別是的中點，分別是的中點，…，以此類推．若的周長為1，直接用算式表示各四邊形的周長之和l；(3)借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？

類型4：特殊平行四邊形中的閱讀理解型問題【例題4】（22-23八年級下·江蘇常州·期中）閱讀：如果兩個動點到一個定點的距離的比為定值，且這兩個動點與定點連線所成角的度數也為定值，那么這兩動點的運動路徑相同．應用：如圖，點O是矩形的對角線AC的中點，，以O為直角頂點的的頂點P在邊上，，當P在上運動時，的最大值為（

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A．1 B． C．2 D．【變式1】（22-23八年級下·四川南充·期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖，在中，為中點，、分別為、上一點，且，求證：．小明發(fā)現，延長到點，使，連接、，構造和，通過證明與全等、為等腰三角形，利用使問題得以解決如圖．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖，在矩形中，為對角線中點，將矩形翻折，使點恰好與點重合，為折痕，猜想、、之間的數量關系？并證明你的猜想．

【變式2】（22-23八年級下·重慶渝北·期中）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖①，在中，，且，試求的值．小明發(fā)現，過點E作，交的延長線于點F，經過推理得到，再計算就能夠使問題得到解決（如圖②），并寫出推理和計算過程．參考小明思考問題的方法，請你解決如下問題：如圖③，已知和矩形，與交于點G，求