高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練10高斯教師版

專題10高斯一、單選題1．對于一切實(shí)數(shù)x，令為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù).若，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)高斯函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：由題意，當(dāng)，，時(shí)，均有，故可知：.故選：A2．，表示不超過的最大整數(shù)，十八世紀(jì)，函數(shù)被“數(shù)學(xué)王子”高斯接受，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，則（

）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的新定義求解即可.【詳解】由題意可知4－(－4)＝8.故選：D.3．若復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，則稱復(fù)數(shù)為高斯整數(shù)，關(guān)于高斯整數(shù)，有下列命題：①整數(shù)都是高斯整數(shù)；②兩個(gè)高斯整數(shù)的乘積也是高斯整數(shù)；③模為3的非純虛數(shù)可能是高斯整數(shù)；④只存在有限個(gè)非零高斯整數(shù)，使也是高斯整數(shù)其中正確的命題有（

）A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，逐項(xiàng)推斷正誤即可.【詳解】解：①令，當(dāng)時(shí)，，即為整數(shù)，依據(jù)題意，是高斯整數(shù)，故①正確；②令，，則，則為整數(shù)，為整數(shù)，故為高斯整數(shù)，故②正確；③令，且，故，所以至少有一個(gè)數(shù)為非整數(shù)，故不是高斯整數(shù)，③錯(cuò)誤；④令，且，則，若為高斯整數(shù)，故為整數(shù)，即存在有限個(gè)，例如，故④正確.故選：A.4．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合表示不超過的最大整數(shù)，利用函數(shù)的值域求法求解.【詳解】解：，因?yàn)?，所以，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的值域是，故答案為：D5．高斯被認(rèn)為是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．高斯在幼年時(shí)首先運(yùn)用了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，利用此方法推導(dǎo)出等差數(shù)列前項(xiàng)和公式．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則的值為（

）A．8 B．11 C．13 D．17【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】依據(jù)題意，，，，則，，兩式相加得，即，所以，故選：D．6．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其姓名命名的“高斯函數(shù)”為，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，已知函數(shù)，令函數(shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先進(jìn)行分別，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)求出的值域，結(jié)合已知定義即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，則的值域．故選：C．7．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出在（0,3）上的值域，再依據(jù)高斯函數(shù)的定義，求解的值域.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，因?yàn)椋?；故選：D.8．設(shè)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．{0，} B．{，1} C．{0，1} D．{，0，1}【答案】D【解析】【分析】按三類探討，分別求函數(shù)的取值范圍，從而求函數(shù)的值域，再求函數(shù)]的值域即可．【詳解】①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故③當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故故函數(shù)的值域?yàn)閇，1]，故函數(shù)的值域?yàn)閧，0，1}，故選：D．9．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：.已知，當(dāng)時(shí)，x的取值集合為A，則下列選項(xiàng)為的充分不必要條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，依據(jù)高斯函數(shù)知時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)分析不等式的解集，即可得解.【詳解】令，由題意時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，明顯時(shí)，，又，所以的解為，其中，因?yàn)椋?，，所以，故選：B10．正態(tài)分布是由德國數(shù)學(xué)家高斯領(lǐng)先將其應(yīng)用于天文學(xué)探討，這項(xiàng)工作對后世的影響極大，故正態(tài)分布又叫高斯分布，已知高斯分布函數(shù)在處取得最大值為，則（）附：A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)有，依據(jù)正態(tài)分布的對稱性及特別區(qū)間的概率求.【詳解】由題意知：，所以.故選：B11．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，化成頂點(diǎn)式，在已知定義域的狀況下，依據(jù)頂點(diǎn)式，得到的值域，進(jìn)而依據(jù)高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，因?yàn)?，所以；故選：B12．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．區(qū)間，上的值域?yàn)椋珺．區(qū)間，上的值域?yàn)椋珻．區(qū)間，上的值域?yàn)?，D．區(qū)間，上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼【解析】【分析】依據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得函數(shù)的圖象，即可的解.【詳解】由高斯函數(shù)的定義可得：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，在，的值域也為，.故選：A13．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)確定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項(xiàng)，則（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【解析】【分析】視察要求解的式子，依據(jù)給的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【詳解】由已知，數(shù)列通項(xiàng)，所以，所以，所以.故選：C.14．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，人們把函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.那么函數(shù)的值域內(nèi)元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，推斷函數(shù)值域，進(jìn)而得解.【詳解】由，所以函數(shù)的周期，故只需求的值域.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)均單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，綜上所述，故選：C.15．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿意，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【解析】【分析】利用已知關(guān)系式構(gòu)造兩個(gè)新數(shù)列，求出，利用放縮技巧，可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和后，帶入函數(shù)解析式即可得到答案.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則①；由得，，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立可得；因?yàn)?，所以即?/p>

所以，故，所以，則．故選：A二、多選題16．高斯是德國聞名數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，以他名字命名的“高斯函數(shù)”是數(shù)學(xué)界特別重要的函數(shù)．“高斯函數(shù)”為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，則函數(shù)的值可能為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)題意，可知，利用基本不等式，結(jié)合高斯函數(shù)的定義，求出函數(shù)g（x）的值域，分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立），所以，故的值域?yàn)椋蔬x：ABC.17．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)敘述正確的是（

）A．為奇函數(shù) B． C．在上單調(diào)遞增 D．有最大值無最小值【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)的定義，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，依據(jù)函數(shù)圖象推斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】由題意：，所以所以的圖象如下圖，由圖象分析：，所以A不正確；，所以B正確；在上單調(diào)遞增，所以C正確；有最小值無最大值，所以D不正確.故選：BC.18．高斯是德國聞名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增B．若函數(shù)，則的值域?yàn)镃．若函數(shù)，則的值域?yàn)镈．，【答案】AC【解析】【分析】求出函數(shù)式確定單調(diào)性推斷A；舉特例說明推斷B，D；變形函數(shù)式，分析計(jì)算推斷C作答.【詳解】對于A，，，有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，則，B不正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，，，有，當(dāng)時(shí)，，，有，的值域?yàn)?，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，有，D不正確.故選：AC19．對，表示不超過x的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯接受，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中的真命題是（

）A．，B．，的奇函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)镈．恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由取整函數(shù)的定義得到，然后逐項(xiàng)推斷.【詳解】設(shè)是x的小數(shù)部分，則由取整函數(shù)的定義知：，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，，則，且成立，即，A，由取整函數(shù)的定義知：，所以，成立，故選A正確；B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C，由取整函數(shù)的定義知：，所以，，函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；D，由取整函數(shù)的定義知：，，所以，故D正確．故選：ACD．20．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)镽 B．的值域?yàn)镃．是偶函數(shù) D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AD【解析】【分析】首先得到函數(shù)的定義域，再利用特別值推斷C、B，求出上的函數(shù)解析式，即可推斷D；【詳解】解：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋蔄正確；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，所以函數(shù)的值域不是，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤、D正確；，，，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；故選：AD三、填空題21．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù).則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則的值域?yàn)開__________.【答案】【解析】【分析】對進(jìn)行分類探討，結(jié)合高斯函數(shù)的學(xué)問求得的值域.【詳解】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)，且時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：22．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過x的最大整數(shù)，如，，[2]=2，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式，結(jié)合新定義即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：23．高斯被譽(yù)為歷史上最宏大的數(shù)學(xué)家之一，與阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名，高斯函數(shù)也被應(yīng)用于生活、生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域．高斯函數(shù)也叫取整函數(shù)，其符號(hào)表示不超過x的最大整數(shù)，如：．若函，則的值域?yàn)開________．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再依據(jù)高斯函數(shù)的定義即可求出答案.【詳解】當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?24．高斯被譽(yù)為歷史上最宏大的數(shù)學(xué)家之一，與阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名，高斯函數(shù)也應(yīng)用于生活、生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域.高斯函數(shù)也叫取整函數(shù)，其符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，如：，，定義函數(shù)：，則值域的子集的個(gè)數(shù)為：________．【答案】8【解析】依題意求出函數(shù)的值域，再依據(jù)含有個(gè)元素的集合含有個(gè)子集；【詳解】解：依題意，表示向下取整，即取值均為整數(shù)，所以，可以看做在取整數(shù)時(shí)的函數(shù)，由于的最小正周期；在內(nèi)，有所以函數(shù)的值域?yàn)?，故值域的子集的個(gè)數(shù)為個(gè)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集，含有個(gè)元素的集合含有個(gè)子集；25．高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿意，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．【答案】2024【解析】【分析】首先利用裂項(xiàng)得到再化簡，利用裂項(xiàng)相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，故．故答案為?6．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過，x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿意，且，若，則數(shù)列的2024項(xiàng)和為___________.【答案】4959【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分類探討求出，即可求和.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；所以故答案為：495927．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__．【答案】，##【解析】【分析】依據(jù)已有的函數(shù)解析式，先求解出的值域，然后依據(jù)題目的定義要求，計(jì)算出的值域即可.【詳解】解：，，則，可得，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)的值域是，．故答案為：，．28．高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù)，即表示不超過的最大整數(shù).例如：，.則下列結(jié)論：①；②；③若，則的取值范圍是；④當(dāng)時(shí)，的值為或.其中正確的結(jié)論有________.(寫出全部正確結(jié)論的序號(hào))【答案】①④【解析】【分析】依據(jù)取整函數(shù)的定義，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】①，正確；②，錯(cuò)誤，例如：，，；③若，則的取值范圍是，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，，∴或，或或，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；所以的值為或，故正確.故答案為：①④29．德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上特別重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時(shí)，對的求和運(yùn)算中，提