重慶市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月模擬測(cè)試含解析

Page12總分：150分 考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。1.已知集合，則（

）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)，，則（

）A. B. C. D.3.已知為銳角，，則（

）A. B. C. D.4.已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A. B. C. D.5.2024年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長(zhǎng)假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游.除常見(jiàn)的五個(gè)旅游熱門(mén)地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門(mén)至少有三個(gè)部門(mén)所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（）A.1800 B.1080 C.720 D.3606.對(duì)于兩個(gè)函數(shù)與，若這兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.8.已知曲線與曲線交于點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分。9.已知函數(shù)，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（

）A.是奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞增D.不等式的解集為10.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個(gè)球.記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計(jì)后發(fā)覺(jué)這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（

）A.可能取到數(shù)字4 B.中位數(shù)可能是2C.極差可能是4 D.眾數(shù)可能是211.如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長(zhǎng)為，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A.與底面所成角為45°B.圓錐的表面積為C.的取值范圍是D.若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則二面角的平面角大小為45°12.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的積等于的點(diǎn)P的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（

）A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng) B.點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值為C.周長(zhǎng)的最大值為 D.點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分。13.若，則的值為14.二項(xiàng)式綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.15.已知數(shù)列，對(duì)隨意正整數(shù)，，，成等差數(shù)列，公差為，則.16.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：共70分。17.（10分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng).18.（12分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.（12分）圖1是由正方形和正三角形組成的一個(gè)平面圖形，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2.

(1)求證：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.20.（12分）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果和學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果如下表：學(xué)生編號(hào)i12345678910數(shù)學(xué)成果100999693908885838077學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果29016022020065709010060270學(xué)生編號(hào)i11121314151617181920數(shù)學(xué)成果75747270686660503935學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果4535405025302015105計(jì)算可得數(shù)學(xué)成果的平均值是，學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的平均值是，并且，，.(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成果和學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù).（i）記，.證明：；（ii）用（i）的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成果和學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).注：參考公式與參考數(shù)據(jù).；；.21.（12分）動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在其次象限，點(diǎn)B在x軸的下方，直線，分別與x軸交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.22.（12分）已知函數(shù).(1)探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求證：.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）2025屆高三11月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題參考答案123456789101112DACBBBBBABBDACABC解析：1.由題意知：，，所以：，故D項(xiàng)正確.2.解：由題意，∵，∴，解得：.3.因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，，為銳角，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿意題意；所以.4.由（，）可得，已知，，所以，即是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，，，，，，，5.①恰有2個(gè)部門(mén)所選的旅游地相同，第一步，先將選相同的2個(gè)部門(mén)取出，有種；其次步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有種，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有種；②4個(gè)部門(mén)所選的旅游地都不相同的方法有種，依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門(mén)至少有三個(gè)部門(mén)所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種.6.，，，的值域是，設(shè)，則，，，，，所以，設(shè)，，設(shè)，則，是增函數(shù)，又，因此時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以的最小值是，7.由題設(shè)，令且，，則，且①，

由，即②，由，即，又C在雙曲線上，則③，由①得：，代入③并整理得：，由①②及得：，所以，即，明顯，則.8.令，則，，，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，微小值為，極大值為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；作出與在時(shí)的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.9.A選項(xiàng)，，由于的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，，其中在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，則，則，故，D錯(cuò)誤.10.設(shè)這5個(gè)數(shù)字為，對(duì)于A：若取到數(shù)字4，不妨設(shè)為，則，可得，可知這4個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)1，不妨設(shè)為，則這5個(gè)數(shù)字的方差，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)檫@5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個(gè)數(shù)字至少有1個(gè)1，不妨設(shè)為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設(shè)為，則這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個(gè)數(shù)有2個(gè)1，1個(gè)2，此時(shí)這5個(gè)數(shù)字的方差，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；11.對(duì)于A，因?yàn)槊?，所以是與底面所成角，在中，圓錐的母線長(zhǎng)是，半徑，則，所以，則A正確；對(duì)于B，圓錐的側(cè)面積為，表面積為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c，不重合，則，又，可得，則C正確；對(duì)于D，如圖所示，

，取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又面，面，所以，又，面，故，所以為二面角的平面角，因?yàn)辄c(diǎn)為弧的中點(diǎn)，所以，，則，則D錯(cuò)誤.12.設(shè)，由，得，整理得，若點(diǎn)在曲線C上，明顯，都滿意方程，即點(diǎn)，也在曲線C上，因此曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，A正確；由，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，于是當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到原點(diǎn)距離取得最大值，B正確；明顯的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；由曲線的方程，得，當(dāng)時(shí)，，即，兩邊平方解得，即當(dāng)曲線的點(diǎn)滿意時(shí)，點(diǎn)到軸距離，D錯(cuò)誤.13. 14.60 15. 16.13.由，得，所以.14.綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，取，解得，常數(shù)項(xiàng)為.15.因?yàn)椋瑢?duì)隨意正整數(shù)，，，成等差數(shù)列，公差為，所以當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，16.設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得，即，解得或，即在上有2個(gè)零點(diǎn)；若，，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為，函數(shù)的大致圖像如圖：

則此時(shí)，即，則，即無(wú)解，則無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；故需，此時(shí)函數(shù)的大致圖像如圖：

由得或，要使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，需滿意在上有一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)只有一個(gè)解，故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無(wú)交點(diǎn)，則需，解得，結(jié)合，可得，17.（1）∵，依據(jù)正弦定理得，，即，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，，依?jù)余弦定理得，∴.∵，∴.在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴.18.（1）設(shè)的公比為，因?yàn)椋?，且，可得，解得或（舍去?又因?yàn)?，解得，所?（2）由（1）可得：，所以，所以.19.（1）證明：連交于點(diǎn)，連.

由為正方形知為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，故，又平面且平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)，連，由為等邊三角形得.又平面平面，平面平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，平面就是坐標(biāo)平面，故可取其法向量，設(shè)平面一個(gè)法向量為，即，則，令，則，得，記平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.1）由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成果和學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的樣本相關(guān)系數(shù)為；（2）（i）證明：因?yàn)楹投际?，2，，的一個(gè)排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是.因此，，同理可得，由于，所以.（ii）這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成果和學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是0.91，答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)于異樣值不太敏感，假如數(shù)據(jù)中有明顯的異樣值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫(huà)某種線性關(guān)系；答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與詳細(xì)的數(shù)值無(wú)關(guān)，只與排名有關(guān).假如一組數(shù)據(jù)有異樣值，但排名照舊符合確定的線性關(guān)系，則可以接受斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)線性關(guān)系.21.（1）設(shè)點(diǎn)，依題意可得，所以，化簡(jiǎn)得，即E的方程為.（2）如圖所示：

設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立方程組，可得，則，由韋達(dá)定理有，，且由求根公式有，直線的方程為，，同理，∵，，∴，，∴，又，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4.22.（1）由已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，令函?shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，可知函?shù)的圖象如下所示：

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1