2025版高考數(shù)學一輪總復習考點突破第五章平面向量與復數(shù)5.2平面向量基本定理及坐標表示

第五章平面對量與復數(shù)5.2平面對量基本定理及坐標表示考點一平面對量的坐標運算例1設點A-1,2，B2,3，C3,-解：由題意，可得AB=3,所以2AB設點D的坐標為x,y，則可得x+1=所以點D的坐標為2,16.故填【點撥】平面對量坐標運算的技巧.①向量的坐標運算常建立在向量的線性運算的基礎之上，若已知有向線段兩端點的坐標，則應考慮坐標運算.②解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程（組）進行求解.變式1設O0,0，A0,3，B6A.5 B.22 C.25解：設Px,y，則BP=x-6所以x-6=-2x,則OP=2,2，考點二平面對量基本定理及其應用例2（1）在平行四邊形ABCD中，BE=12BC，AF=14解：如圖，由題意，得AB==AE=AE=1又AB=mDF+n則m-故填-3（2）如圖，已知平面內(nèi)有三個向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OA=OB=1，OC=解：（方法一）以λOA和μOB為鄰邊作平行四邊形OB圖1因為OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，所以∠B1OC所以OB1=2，B1C=（方法二）以O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，則A1,0，C23cos30°,23圖2由OC=λOA+μOB=λ1得λ-12μ=【點撥】應用平面對量基本定理應留意定理中的基底必需是兩個不共線的向量.選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來,依據(jù)基底表示的唯一性列方程或方程組求解.變式2（1）在△ABC中，D為BC的中點，E為AC上一點，且AE=3EC，若DE=A.0 B.1 C.12 D.解：因為D為BC的中點，所以AD=又因為AE=3EC，所以AE則λ=-12,μ=1（2）已知向量AC，AD和AB在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若AC=λAB+μA.2 B.-2 C.3 D.解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則AD=1,0，因為AC=λAB所以2=λ+所以λμ=-故選D.考點三共線向量的坐標表示及應用例3（1）設平面對量a=2,1，b=x,-A.5 B.6 C.17 D.26解：由題意，知2×-2-x=0，得x（2）已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三個頂點A1,2，B2,解：因為在梯形ABCD中，DC=2AB，AB//CD，所以DC=則DC=AB=所以4-x,2-y=故點D的坐標為2,4.故填【點撥】兩平面對量共線的充要條件有兩種形式.①若a=x1,y1，b=x2,y變式3（1）已知向量a=x1,y1，b=x2,yA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解：若x1y1=x當b=0，即x2=y所以“x1y1=x2y2（2）已知向量a=2,tanθ，b=1,-A.2 B.-3 C.3 D.解：由題意，可得tanθ則tanπ4-（3）（教材習題）已知A2,3，B4,-3，點P在線段AB的延長線上，且AP=解：因為點P在線段AB的延長線上，且AP=32所以OP=所以點P的坐標為8,-15.故填課外閱讀·以數(shù)輔形在平面對量中的應用向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，有垂直背景的試題中，直觀不易處理時，常可利用向量的正交分解解題，體現(xiàn)出數(shù)形結合思想中的“以數(shù)輔形”.如條件中的圖形是矩形（正方形）、等腰（等邊）三角形、等腰（直角）梯形等時，因為此時建系確定坐標更為簡潔.與圓相關的問題則常建好系后利用圓的參數(shù)方程求解，其中圓心為a,b，半徑為r的圓的參數(shù)方程為x=1.如圖，已知P為邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，則PC?PB+A.-1 B.-3 C.-解：建立如圖所示的平面直角坐標系，設Px,y,則A0,0,B2,0,C所以當x=y=32時，PC2.[2024年北京卷]在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.PA.[-5,3] B.[-