2024年高中數(shù)學(xué)全冊(cè)綜合測(cè)試卷基礎(chǔ)篇教師版新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

全冊(cè)綜合測(cè)試卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知a=1,0,1，b=-2,-1,1A．-9,-3,0 B．0,2,-【解題思路】干脆由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【解答過程】a-故選：C.2．（5分）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①經(jīng)過定點(diǎn)Px0，②直線l過點(diǎn)Px0，y③在坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程xa④直線y=axA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】依據(jù)直線斜率是否存在可推斷①②，依據(jù)截距可以為0可推斷③，由直線恒過定點(diǎn)可推斷④.【解答過程】當(dāng)直線過點(diǎn)Px0，y0且與x直線l過點(diǎn)Px0，y0，傾斜角為90在坐標(biāo)軸上截距相等的直線可能過原點(diǎn)，所以不愿定能用xa+y直線y=ax-3a+2a故選：B.3．（5分）若直線l的方向向量為a=1,0,2，平面α的法向量為A．l∥α B．lC．l?α或l∥α D．l與【解題思路】利用直線的方向向量和平面的法向量垂直來推斷直線和平面的位置關(guān)系.【解答過程】∵a=1,0,2，∴a?n=0∴l(xiāng)∥α或l?故選：C.4．（5分）空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，OM=23A．12aC．12a【解題思路】利用向量的加減法，將MN分解用a,【解答過程】由圖可知：MN=即MN=故選：B.5．（5分）已知圓C:x-22+y2=4，直線過點(diǎn)A1,1A．2,2 B．2,4 C．2,2【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，即可推斷點(diǎn)A在圓內(nèi)，即可求出弦長(zhǎng)最大、最小值，即可得解.【解答過程】解：圓C:x-22+y所以點(diǎn)A1,1當(dāng)直線過圓心C時(shí)，弦長(zhǎng)PQ取最大值4，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，圓心C到直線的距離最大，最大值為AC=2-1故選：D.6．（5分）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線與其交于A，B兩點(diǎn)，AF>BF，假如AFA．352 B．54 C．【解題思路】設(shè)Ax,y，依據(jù)AF=5，利用拋物線定義求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線【解答過程】解：拋物線的焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線方程為x設(shè)Ax,y，則AF=x即A4,4，則直線AF的方程為y-0代入y2=4x得4x2則BF=故選：B．7．（5分）設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足PFA．3 B．92 C．4 D．【解題思路】對(duì)橢圓和雙曲線的離心率分別求出，首先依據(jù)橢圓及雙曲線的定義求出PF12+PF，就得到了a,【解答過程】解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義PF由橢圓的定義PF1+PF①2+②2得PF12∴4e故選：B．8．（5分）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0與直線y=kx交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)PA．a(chǎn)B．曲線C的離心率為6C．若PF1⊥PD．若△PF1F2【解題思路】由題意可求得雙曲線的離心率以及求得a,b的值，故可推斷A,B;依據(jù)PF1⊥PF2，求得焦半徑|PF1|，【解答過程】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(-則x12a2-y1因?yàn)閗PA?kPB=(y故雙曲線C的漸近線方程為y=因?yàn)榻裹c(diǎn)(c,0)到漸近線y=12即有a2+b2=5，所以a對(duì)于C，不妨設(shè)P在C的右支上，記|PF2|=t，則|解得t=6-所以△PF1F2對(duì)于D，設(shè)P(x0，y0)將|y0|=2代入C:x由對(duì)稱性，不妨取P的坐標(biāo)為(25,2)，則|因?yàn)閏os所以∠PF2F1故選：D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）已知向量a=1,1,0，則與a共線的單位向量e=A．-22C．-22【解題思路】依據(jù)a=1,1,0與【解答過程】由a=1,1,0，得所以當(dāng)e與a同向時(shí)，e=當(dāng)e與a反向時(shí)，e=故選：AD.10．（5分）過點(diǎn)P-3,-1的直線l與圓xA．0° B．30° C．45° D．60°【解題思路】設(shè)出直線方程，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出斜率，即可得解．【解答過程】設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=k(x+3)-1，則由直線與圓相切知3k-1故選：AD．11．（5分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，I分別為AD，ABA．直線D1E與直線B．點(diǎn)D與點(diǎn)B到平面D1C．直線EF與平面HIG平行D．D1F與GH【解題思路】依據(jù)給定的正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，再借助空間向量逐項(xiàng)分析求解作答.【解答過程】在正方體ABCD-A1B1則D(0,0,0),對(duì)于A，D1E=(1,0,-2),對(duì)于B，EF=(1,1,0),DB=(2,2,0)=2EF，即EF//而EF?平面D1EF，DB?平面D1EF，因此DB//平面D對(duì)于C，IH=(1,1,0)=EF，即IH//EF，而又IH?平面HIG，EF?平面HIG，因此EF//對(duì)于D，D1F=(2,1,-2),GH=(則cosθ=|cos故選：ABC.12．（5分）拋物線C:y2=2px(p>0)，點(diǎn)M(-3,0)在其準(zhǔn)線l上，過焦點(diǎn)FA．pB．∠AMBC．當(dāng)直線m的斜率為3時(shí)，△AFM與△D．當(dāng)直線AM與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，|【解題思路】對(duì)于A，利用拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解；對(duì)于B,對(duì)直線m的斜率存在和不存在時(shí)進(jìn)行分類探討，得到MA,MB，計(jì)算MA?MB即可推斷；對(duì)于C，可得到S△AFMS△BFM=-y1【解答過程】解：對(duì)于A，由拋物線C:y2又點(diǎn)M(-3,0)在其準(zhǔn)線l上，所以-對(duì)于B，由A選項(xiàng)可得y2=12x當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m:y=則y=kx-3所以x1+x因?yàn)镸A所以MA=x所以cos∠AMB=MA?當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m:所以將x=3代入拋物線可得y=±則MA=6,6,MB=對(duì)于C，S△AFM=所以S△所以當(dāng)k=3時(shí)，y1+y所以S△對(duì)于D，易得直線AM的斜率存在，設(shè)直線AM的方程為y=所以由y=mx+3y2=12x因?yàn)橹本€AM與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=6m又因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以m>0，則m①可變成x2-6x由B選項(xiàng)可得此時(shí)B3,-6故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）過點(diǎn)Am,3,??B-1,m兩點(diǎn)的直線與直線l平行，直線l【解題思路】依據(jù)題意,求出直線AB的斜率和直線l的斜率，由AB//【解答過程】因?yàn)橹本€l的傾斜角為45°，所以直線l的斜率k過Am,3,??由直線AB與直線l平行，所以3-mm+1故答案為：1.14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(3，5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.【解題思路】首先推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，然后設(shè)出直線的方程，進(jìn)而依據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求出結(jié)果.【解答過程】因?yàn)?2+5且x2+y若切線斜率不存在，即x=3，圓心1,2到直線x=3的距離為2，故直線若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y-5=k則k-2-3k+5k2+1所以y-5=5綜上：切線的方程為5x-12故答案為：5x-1215．（5分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2，且PA與AB,AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則直線BM【解題思路】記AB=a,AD=b,【解答過程】記AB=因?yàn)锳B=所以|a又因?yàn)锳B⊥所以a?易得BM=所以|=1所以BM=又BM?故答案為：6316．（5分）已知點(diǎn)P在雙曲線C：x216-y29=1上，F(xiàn)1、①點(diǎn)P到x軸的距離為203；②PF1+PF2【解題思路】依據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對(duì)選項(xiàng)逐一推斷即可.【解答過程】由已知a因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，F(xiàn)1、F2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，所以12yP?2對(duì)于①，點(diǎn)P到x軸的距離為4，故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，由對(duì)稱性，不妨設(shè)P203,4.因?yàn)镕所以PF1+對(duì)于③，由對(duì)稱性，不妨設(shè)P203,4結(jié)合PF1+PF所以在△PF1所以∠F1F對(duì)于④，由對(duì)稱性，不妨設(shè)P203,4，由③的推斷過程知，P則S△所以sin∠F1PF故答案為：②③.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）求適合下列條件的圓錐曲線方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，短軸長(zhǎng)為2的橢圓方程.(2)焦點(diǎn)在x軸上，a=25經(jīng)過點(diǎn)【解題思路】（1）由已知得c=2,b=1，依據(jù)橢圓中a、b、c（2）已知a和雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程，通過待定系數(shù)法求解即可.【解答過程】（1）依據(jù)題意可得，橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，且c=2,所以a2所以橢圓方程為x2（2）依據(jù)題意可得，雙曲線實(shí)軸在x軸上，設(shè)雙曲線方程為x2則2520-4所以雙曲線方程為x218．（12分）已知空間中三點(diǎn)A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，(1)求向量a與向量b的坐標(biāo)；(2)若ka+b與k【解題思路】（1）依據(jù)空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）a=(1,1,0)，b（2）∵ka+b且ka+b∴(k解得k=2或k19．（12分已知△ABC頂點(diǎn)(1)求BC邊上中線所在的直線方程(2)求BC邊上高線所在的直線方程．【解題思路】（1）求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般方程；（2）求出直線BC的斜率，得到BC邊上高線所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，化為一般方程.【解答過程】（1）線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為-1+12,所以BC邊上中線所在的直線方程為：y+1x整理得：x-（2）直線BC的斜率為1+31+1所以BC邊上高線所在直線的斜率為-1所以BC邊上高線所在直線的方程為y=整理得：x+220．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)C是直線x－y－6＝0上的點(diǎn)，且點(diǎn)A（4，0），B（6，2）在以C為圓心的圓上．(1)求圓C的方程；(2)若直線x＝ay＋4被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求a的值．【解題思路】（1）依據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)，結(jié)合圓的定義運(yùn)算求解；（2）依據(jù)垂徑定理d2+(【解答過程】（1）由題意設(shè)C(c,即(c-4)所以圓心C(6,0)，半徑r為2，則圓C的方程為：（2）設(shè)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓心C到直線的距離為d，則由垂徑定理得d由已知得d=2a所以有4a2+121．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2(1)求證：DE⊥平面PCB；(2)求二面角E-【解題思路】（1）依據(jù)條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DE⊥PC，即可證明DE⊥平面PCB.（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【解答過程】（1）證明:∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中點(diǎn)，DE⊥PC，PC∩BC＝C，且PC?面PCB，BC?∴DE⊥平面PCB（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：D則DB=設(shè)平面BDE的法向量為n=則n?令z=1，得到y(tǒng)∴n又∵C0,2,0,A2,0,0，則AC=∴平面PDB的一個(gè)法向量為m=設(shè)二面角E-BD-則cosα所以二面角E-BD-22．（12分）已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)P,Q在橢圓C上，右