高中數(shù)學(xué)《離散型隨機(jī)變量的均值》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機(jī)變量及其分布

列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值

本節(jié)本部分內(nèi)容主要包括隨機(jī)變量的均值和方差。本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)完隨機(jī)變量分布列的

基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，知識上具有著承前啟后的作用。隨機(jī)變量的均值和方差是概率論和數(shù)

理統(tǒng)計的重要概念，節(jié)課是從實際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理

論，應(yīng)用于實際的過程。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì).1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的均值的概念

B.會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值.2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

C.會利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)3.數(shù)學(xué)運算：求離散型隨機(jī)變量的均值

的實際問題.4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

【重點與難點】

重點：離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)

難點：用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計

一、問題導(dǎo)學(xué)

對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件

的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特

征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看通過知識回顧，

平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)提出問題.

學(xué)成績的方差。

我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的某個方面的特征，最常用

的有期望與方差.

二、探究新知

探究1.甲乙兩名射箭運動員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何

比較他們射箭水平的高低呢？

環(huán)數(shù)X78910

甲射中的概率0.10.20.30.4

乙射中的概率0.150.250.40.2

類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看

穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲

n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)通過具體的問題

情境，引發(fā)學(xué)生

x=7x2+8+9x2+10x—

nnnn思考積極參與互

當(dāng)n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于動，說出自己見

7X0.1+8X0.2+9X0.3+10X0.4=9.解。從而引入離

即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,散型隨機(jī)變量分

這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.布列均值的概

同理,乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7X0.15+8X0.25+9X0.4+10X0.2=8.65.念，發(fā)展學(xué)生邏

輯推理、數(shù)學(xué)運

從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.算、數(shù)學(xué)抽象和

離散型隨機(jī)變量取值的平均值.數(shù)學(xué)建模的核心

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱E(X)=/pi+x2P2+素養(yǎng)。

",+xiPi++xnPn

為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)

期望簡稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜

合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

XX???X???X

X12n

PPP???P???P

I2n

三、典例解析

例I.在籃球比賽中，罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球

命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少？

分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時X=l,不中時X=0,因此隨機(jī)變

量X服從兩點分布,X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平.

解：因為P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1XP(X=l)+0XP(X=0)=1X0.8+0X0.2=0.8

即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.

一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點分布，

通過典例解析，

那么：￡(X)=1xp+0x(1-p)=p.

提升對概念精細(xì)

化的理解。引出

X10

兩點分布均值的

概念。發(fā)展學(xué)生

PP1-p

邏輯推理，直觀

例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X,求X的均值.

想象、數(shù)學(xué)抽象

分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計算X的均值。

和數(shù)學(xué)運算的核

解：X的分布列為P(X=k)=；,k=l,2,3,4,5,6

心素養(yǎng)。

因此，E(X)=工(l+2+3+4+5+6)=3.5.

6

求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：

(1)理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；

(2)求出X取每個值時的概率；

(3)寫出X的分布列(有時也可省略)；

(4)利用定義公式E(X)=￡?=逐通求出均值

跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺一項機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)

最多有4次參加考試的機(jī)會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參

加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考

試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年內(nèi)

李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值.

［解］X的取值分別為1,2,3,4.

X=l,表明李明第一次參加駕照考試就通過了，

故P(X=D=0.6.

X=2,表明李明第一次考試未通過，

第二次通過了，故P(X=2)=(1—0.6)*0.7=0.28.

X=3,表明李明第一、二次考試未通過，第三次通過了，

故P(X=3)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.

X=4,表明李明第一、二、三次考試都未通過，

故P(X=4)=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)=0.024.

通過典例解析，

所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為

深化概率的理

X1231

解。發(fā)展學(xué)生邏

P0.60.280.0960.024

輯推理，直觀想

所以X的均值為均X)=1X0.6+2X0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.

象、數(shù)學(xué)抽象和

探究2.已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.

數(shù)學(xué)運算的核心

設(shè)a,b都是實數(shù)且a#0,,則丫=aX+b也是一個隨機(jī)變量，那么，這兩個

素養(yǎng)。

隨機(jī)變量的均值之間有什么...聯(lián)系呢？...

■“2■■

??????

PP1P2PiPn

離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

若X,丫是兩個隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線

性函數(shù)的均值等于這個隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地：

(1)當(dāng)a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.

(2)當(dāng)a=l時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均

值與這個常數(shù)的和.

(3)當(dāng)b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個常數(shù)與

隨機(jī)變量的均值的乘積.

例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜

歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A,B,C歌名的

概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：

規(guī)則如下：按照A,B,C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜

下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.

歌曲ABC

猜對的概率0.80.60.4

獲得的公益基金額/元100020003000

解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨立

P(X=O)=P(彳)=0.2,

P(X=1000)=P(A萬)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=P(ABC)=0.8X0.6X0.6=0.288,

(X=6000)=UBC)=0.8X0.6X0.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100040006000

P0.20.480.1280.192

X的均值為E(X)=0X0.2+1000X0.32+3000X0.288+6000X0.192=2336.

思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，

你認(rèn)為哪個順序獲得的公益基金均值最大？

解：如越MB的劉林卻心分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事

件，

A,B,C相互獨立;(X=0)=P(Z)=0.2,

(X=1000)=P(AC)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=PUCB)=0.8X0.4X0.4=0.128,

(X=6000)=(4CB)=0.8X0,4X0.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100030006000

P0.20.320.2880.192

X的均值為E(X)=0x0.2+1000x0.48+4000x0.128+6000x0.192

=2144.

就由?卿（的,蝴的公第法的均nx

猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元

ABC2336BCA2112

ACB2144CAB1904

BAC2256CBA1872

例4.根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率

為0.01,該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000

元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：

方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。

方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？

分析:決策目標(biāo)為總損失（投入費用與設(shè)備損失之和）越小越好,根據(jù)題意，各

種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：

天氣狀況

大洪水小洪水沒有洪水

概率0.010.250.74

總損失/元方案1380038003800

方案26200020002000

方案360000100000

方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。

解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X,X,X.

123

采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X=3800)=1.

!

采用方案2,遇到大洪水時，總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時，

總損失為2000元,因此,P(X=62000)=0.01,P(X=2000)=0.99.

22

采用方案3,P(X=60000)=0.01,P(X=10000)=0.25,P(X=0)=0.74.

333

于是,E(X)=3800,

i

E(X)=62000X0.01+2000X0.99=2600,

2

E(X)=60000X0.01+10000X0.25+0X0.74=3100.

3

因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.

值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的,一般地，我們

可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采

用方案2將會使總損失減到最小,不過,因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的

大小都是隨機(jī)的,所以對于個別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.若隨機(jī)變量X的分布列為通過練習(xí)鞏固本

X-101

節(jié)所學(xué)知識，通

1j_1

P

263過學(xué)生解決問

則E(X)=()題，發(fā)展學(xué)生的

數(shù)學(xué)運算、邏輯

A.0B.-1C.——D.——

推理、直觀想

C[E(X)=(—1)x1+0x1+1]

2636象、數(shù)學(xué)建模的

2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆核心素養(yǎng)。

子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;

2

P(X=2)=0.4X0.6=0.24;P(X=l)=0.4X0.6=0.096;

3

P(X=0)=0.4=0.064.

所以E(X)=3X0.6+2X0.24+1X0.096+0X0.064=2.376.

答案:C

3.已知C的分布列如下表,若n=3g+2,則E(n)=.

號123

11

Pt

23

解析：因為;+t+91,所以tg.

23o

E(€)=ixi+2xi+3xi=-.

2636

E(n)=E(3C+2)=3E(€)+2=3X-+2=-.

62

答案與

4.設(shè)1為平面上過點(0,1)的直線，1的斜率等可能地取-2夜，-遍

當(dāng)0,泉遮,2V2.用X表示坐標(biāo)原點到1的距離,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

E(X)=.

解析:當(dāng)1的斜率k=±2近時，直線方程為土2魚x-y+l=0,此時d《;k=土百

時,直線方程為土gx-y+l=0,此時d2);k=土爭寸,直線方程為土爭-y+l=0,

此時d3=|;k=0時,直線方程為y-l=0,此時d1=l.由等可能性事件的概率可得

分布列為

112

X1

323

2221

P

7777

^^E(X)=ix|+ix|+|x^lxl=i

答案彳

5.口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2

張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意

抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為€.求：

(1)C為何值時,其發(fā)生的概率最大?并說明理由.

(2)隨機(jī)變量€的數(shù)學(xué)期望量&).

解：(1)隨機(jī)變量&的可能取值是2,3,4,5,6,

當(dāng)g=4時,其發(fā)生的概率最大.

因為P(g=2)得=看,

P(g=3)=亨=竺=工

826432

32+2X3X221

P(E-產(chǎn)=64，

p(5)=2X^2=12=±

P(.6)考=±=工,

826416

故當(dāng)g=4時滿足題意.

⑵E(g)=2X"3X*44去5Xa6X|=/

四、小結(jié)

1.求離散型隨機(jī)變量均值的步驟通過總結(jié)，讓學(xué)

(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值；

生進(jìn)一步鞏固本

(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；

節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提

(3)根據(jù)公式寫出均值.

高概括能力。

2.若X,丫是兩個隨機(jī)變量，且丫=a*+1>,則E(Y)=aE(X)+b；如果一個

隨機(jī)變量服從兩點分布，可直接利用公式計算均值.

【教學(xué)反思】

本節(jié)課需要學(xué)生探究的內(nèi)容比較多，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，所以在教學(xué)過程中教

師不僅要耐心的指導(dǎo)，還要努力創(chuàng)設(shè)一個輕松和諧的課堂氛圍，讓每個學(xué)生都能大膽的說

出自己的想法，保證每個學(xué)生都能學(xué)有所得。為了讓每個學(xué)生在課上都能有話說，還需要

學(xué)生做到課前預(yù)習(xí)，并且教師要給學(xué)生提出明確的預(yù)習(xí)目標(biāo)。進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象、

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì).

2.會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值.

3.會利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題.

【重點與難點】

重點：離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)

難點：用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題

【知識梳理】

1.隨機(jī)變量X的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱E(X)=x1pi+

X2P2+…+XiPi+…+XnPn

XXX???X???X

12n

PPP???P???P

12n

為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.

均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概

率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

2.兩點分布的均值：一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點分布，

那么：E(X)=lxp+Ox(l-p)=p.

X10

pp1-p

3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)：已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.

PPlP2…Pi…Pn

若x,Y是兩個隨機(jī)變量，且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等

于這個隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地：

(1)當(dāng)a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.

(2)當(dāng)a=l時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的

和.

(3)當(dāng)b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量的均值

的乘積.

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題探究

對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實

際問題中，有時我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在-

次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分

化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差。

我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.

探究1.甲乙兩名射箭運動員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：

如何比較他們射箭水平的高低呢？

環(huán)數(shù)X78910

甲射中的0.10.20.30.4

概率

乙射中的0.150.250.40.2

概率

二、典例解析

例1.在籃球比賽中，罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球命中的概率為

0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少？

例2.拋擲?枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X,求X的均值.

求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：

(1)理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；

(2)求出X取每個值時的概率；

(3)寫出X的分布列(有時也可省略)；

(4)利用定義公式E(X)=￡UxiPi求出均值

跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺一項機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加

考試的機(jī)會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到

第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為

0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值.

例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對

每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基

金如下表所示：

規(guī)則如下：按照A,B,C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓

獲得的公益基金總額X的分布列及均值.

歌曲ABC

猜對的概率0.80.60.4

獲得的公益基金額/元100020003000

思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個順序

獲得的公益基金均值最大？

例4.根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01,該地

區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000

元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：

方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。

方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？

值得注意的是,上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的，一般地,我們可以這樣來理解

“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會使總損失減到最小，

不過,因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的,所以對于個別的一次決策,采用方

案2也不一定是最好的.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.若隨機(jī)變量X的分布列為

X-101

111

P

263

則E(X)=()

11

A.0B.-1C.-gD.15

2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的

剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

3.已知€的分布列如下表,若n=3&+2,貝?。軪(n)=.

€123

11

Pt

23

4.設(shè)1為平面上過點(0,1)的直線，1的斜率等可能地取-2也S,-當(dāng)0,今6,2V2.用X

表示坐標(biāo)原點到1的距離,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

5.口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.

第一次從口袋里任意抽取1張，放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取

到卡片上數(shù)字之和為&.求：

(1)g為何值時,其發(fā)生的概率最大?并說明理由.

⑵隨機(jī)變量€的數(shù)學(xué)期望E(g).

【課堂小結(jié)】

1.求離散型隨機(jī)變量均值的步驟

(D確定離散型隨機(jī)變量X的取值：

(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；

(3)根據(jù)公式寫出均值.

2.若X,丫是兩個隨機(jī)變量，且Y=aX+b,則E(Y)=aE(X)+b；如果一個隨機(jī)變量服從兩

點分布，可直接利用公式計算均值.

【參考答案】

學(xué)習(xí)過程

一、問題探究

探究1.類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.

假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：

甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)

x=7x—+8x-^2-4-9x-^2.+10x

nnnn

當(dāng)n足夠大時,頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7X0.1+8X0.2+9X0.3+10X0.4=9.

即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,

這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.

同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7X0.15+8X0.25+9X0.4+10X0.2=8.65.

從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.

二、典例解析

例1.分析：罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時X=l,不中時X=0,因此隨機(jī)變量X服從

兩點分布,X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平.

解：因為P(X=1)=O.8,P(X=O)=O.2,

所以E(X)=1XP(X=l)+0*P(X=0)=1X0.8+0X0.2=0.8

即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.

例2.分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計算X的均值。

解：X的分布列為P(X=k)=ik=l,2,3,4,5,6

6

因此,E(X)=工(l+2+3+4+5+6)=3.5.

6

跟蹤訓(xùn)練1.［解］X的取值分別為1,2,3,4.

X=l,表明李明第一次參加駕照考試就通過了，

故P(X=1)=O.6.

X=2,表明李明第一次考試未通過，

第二次通過了，故P(X=2)=(1—0.6)X0.7=0.28.

X=3,表明李明第一、二次考試未通過，第三次通過了,

故P(X=3)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.

X=4,表明李明第一、二、三次考試都未通過，

故P(X=4)=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)=0.024.

所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為

X1234

p0.60.280.0960.024

所以X的均值為均X)=1X0.6+2X0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.

例3:解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨立

(X=0)=(A)=0.2,

(X=1000)=(AB)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=PUBC)=0.8X0.6X0.6=0.288,

(X=6000)=(ABC)=0.8X0.6X0.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100040006000

P0.20.480.1280.192

X的均值為E(X)=0X0.2+1000X0.32+3000X0.288+6000X0.192=2336.

思考：解：加果按*03的分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件,

A,B.C相互獨立；(X=0)=(A)=0.2,

(X=1000)=(AC)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=PUCB)=0.8X0.4X0.4=0.128,

(X=6000)=(4CB)=0.8X0.4X0.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100030006000

p0.20.320.2880.192

X的均值為E(X)=0x0.2+1000x0.48+4000x0.128+6000x0.192=2144.

按由?我■的蜘的公UK的微H次

猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元

ABC2336BCA2112

ACB2144CAB1904

BAC2256CBA1872

例4.分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在

不同狀態(tài)下的總損失如表所示：

天氣狀況

大洪水小洪水沒有洪水

概率0.010.250.74

總損失/元方案1380038003800

方案26200020002000

方案360000100000

方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。

解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X,X,X.

I23

采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X=3800)=1.

1

采用方案2,遇到大洪水時，總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時，

總損失為2000元,因此,P(X=62000)=0.01,P(X=2000)=0.99.

22

采用方案3,P(X=60000)=0.01,P(X=10000)=0.25,P(X=0)=0.74.

于是，E(X)=3800,

1

E(X)=62000X0.01+2000X0.99=2600,

2

E(X)=60000X0.01+10000X0.25+0X0.74=3100.

3

因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.

達(dá)標(biāo)檢測

1.C[E(X)—(—1)X-1+0X^+lx|=—]

2636

2.解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;

P(X=2)=0.4X0.6=0.24;

2

P(X=l)=0.4X0.6=0.096;

3

P(X=O)=0.4=0.064.

所以E(X)=3X0.6+2X0.24+1X0.096+0X0.064=2.376.

答案:C

3.解析：因為:+t+：=l,所以t=4.

236

E(€)=ixi+2xi+3xi=-.

2636

E(n)=E(3&+2)=3E(C)+2=3X-+2=^.

62

答案與

4.解析：當(dāng)1的斜率k=±2&時，直線方程為±2夜x-y+l=O,此時d《;k=土百時，直線方程

為土V5x-y+l=0,此時d弓k=±爭寸,直線方程為土等-y+l=0,此時d3-|;k=0時,直線方程

為y-l=0,此時di=l.由等可能性事件的概率可得分布列為

112

X1

323

2221

P

7777

所以E(X)=X+*+|x_lX；/

答案:;

5.解：（1）隨機(jī)變量€的可能取值是2,3,4,5,6,

當(dāng)自=4時,其發(fā)生的概率最大.

因為P(g-2)或=白

8Z64

2

P(g二3)二2X3_189

-32,

n/e人2XX21

P(g=4)-3-+2--32=

64f

P(g=5)=^^123

8N64

P(W=6)=g=41

6416

故當(dāng)8=4時滿足題意.

(2)E(€)=2X—+3X—+4X—+5X—+6X—=15

4

《7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值》基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.甲、乙兩名射手一次射擊得分（分別用X”均表示）的分布列如下:

則甲、乙兩人的射擊技術(shù)相比（）

A.甲更好B.乙更好C.甲、乙一樣好D.不可比較

2.設(shè)&的分布列為

1234

1j_j_

P

6633

又設(shè)n=2g+5,則E（n）等于（）

3.某人進(jìn)行一項實驗，若實驗成功，則停止實驗，若實驗失敗，再重新實驗一次，若實驗

3次均失敗，則放棄實驗，若此人每次實驗成功的概率為（，則此人實驗次數(shù)&的期望是

（）

4「13八5八13

AA.-B.—C.-D.—

3937

4.某企業(yè)計劃加大技改力度，需更換一臺設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，A品牌

設(shè)備需投入60萬元，B品牌設(shè)備需投入90萬元，企業(yè)對兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)

行了抽樣調(diào)查：

A品牌的使用年限2345

概率0.40.30.20.1

B品牌的使用年限2345

概率0.10.30.40.2

更換設(shè)備技改后，每年估計可增加效益100萬元，從年均收益的角度分析：（）

A.不更換設(shè)備B.更換為A設(shè)備

C.更換為3設(shè)備D.更換為A或3設(shè)備均可

5.（多選題）已知隨機(jī)變量X的分布列為

X4a910

P0.30.1b0.2

若E（X）=7.5,則以下結(jié)論正確的是（）

A.a—1B.b=OA

c.E（aX）=52.5D.E（X+b）=7.9

6.（多選題）設(shè)Ovpvl,隨機(jī)變量J的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）

012

Pp-p2P2l-p

A.E（4）隨著〃的增大而增大B.隨著〃的增大而減小

C.P（=0）＜P（4=2）D.2（？=2）的值最大

二、填空題

7.設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為：

X123

J_2

pi-q

2q-q

則X的數(shù)學(xué)期望為.

8.已知某位運動員投籃一次命中的概率是未命中概率的4倍，設(shè)隨機(jī)變量X為他投籃一次

命中的個數(shù)，則X的期望是.

9.在一個不透明的摸獎箱中有五個分別標(biāo)有1,2,3,4,5號碼的大小相同的小球，現(xiàn)甲

、乙、丙三個人依次參加摸獎活動，規(guī)定：每個人連續(xù)有放回地摸三次，若得到的三個球編

號之和恰為4的倍數(shù)，則算作獲獎，記獲獎的人數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望為.

10.“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化

史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價值.為弘揚中國

優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動.某班有4位同學(xué)參賽，每人從

《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相

同.比賽時，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)

備的書的人數(shù)的均值為.

三、解答題

11.甲乙兩人為了培養(yǎng)自己的體育素養(yǎng)，分別進(jìn)行乒乓球和羽毛球兩場比賽，兩場比賽

中，勝者得2分、敗者得0分，每場比賽一定會分出勝負(fù)，其中甲在兩場比賽中勝出的概

率分別為：］3和女1，每場比賽相互獨立，誰最終得分多誰獲勝.

（1）求甲獲勝的概率;

(2)求甲得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.

12.某學(xué)校組織知識競賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一

類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類

問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個

問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0

分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能

正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

答案解析

一、選擇題

1.甲、乙兩名射手一次射擊得分(分別用X,,X,表示)的分布列如下:

A.甲更好B.乙更好C.甲、乙一樣好D.不可比較

【答案】B

【詳解】因為E(X)=1XO.4+2XO.1+3X0.5=2.1,E(X2)=1XO.1+2X0.6+3X0.3=

2.2,所以E(X2)>E(XJ,故乙的射擊技術(shù)更好.故選：B

2.設(shè)&的分布列為

g1234

\_]_]_

p

6633

又設(shè)n=2g+5,則E(n)等于()

【答案】D

【詳解】E(U=1X-+2X-+3X-+4X-=—,所以E(n)=E(2&+5)=2E(g)

66336

,1732

+5=2X——F5=——.

63

3.某人進(jìn)行一項實驗，若實驗成功，則停止實驗，若實驗失敗，再重新實驗一次，若實驗

2

3次均失敗，則放棄實驗，若此人每次實驗成功的概率為1,則此人實驗次數(shù)&的期望是

()

413513

A.-B.—C.—D.—

3937

【答案】B

21

【詳解】由題意可得自=123,每次實驗成功的概率為1,則失敗的概率為

2122