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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.2.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.43.已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A.16,13 B.14.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則()A.1 B.-1 C.2 D.-26.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.9.已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,則球O的表面積為()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.12.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng),若,則的取值范圍是.14.在△ABC中,a=3,,B=2A,則cosA=_____.15.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.16.在中,,是的角平分線,設(shè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.(1)判斷點(diǎn)是否在直線上?說明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心,點(diǎn)到軸的距離為,點(diǎn),求的最大值.18.(12分)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,為棱的中點(diǎn).(1)面出過點(diǎn)且與直線垂直的平面,標(biāo)出該平面與正方體各個(gè)面的交線(不必說明畫法及理由);(2)求與該平面所成角的正弦值.19.(12分)已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn),且動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,為圓與曲線的公共點(diǎn),若直線的斜率,且,求的值.20.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng);結(jié)合特殊值,即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項(xiàng)A,B;又∵當(dāng)時(shí),,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
將fx整理為3sinωx+π3,根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時(shí),又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得:ω∈本題正確選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題,關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限,從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.4、C【解析】
判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為,B選項(xiàng)漸近線為,C選項(xiàng)漸近線為,D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)f(x)是R上的奇函數(shù),并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期為4,而由x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-m及f(x)是奇函數(shù),即可得出f(0)=1-m=0,從而求得m=1,這樣便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù),且;∴;∴;∴的周期為4;∵時(shí),;∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得;∴;∴時(shí),;∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值,此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期,利用函數(shù)的周期變換來求解,考查理解能力和計(jì)算能力,屬于中等題.6、C【解析】
求導(dǎo),先求出在單增,在單減,且知設(shè),則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,解得,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng),,且,故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法:(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)(易求,可解),轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等,畫出的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解;(2)定理法:先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).7、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)?,且,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.8、B【解析】
先設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因?yàn)閳A與直線的切點(diǎn)為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.9、D【解析】
由題意畫出圖形,找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O,通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑,則答案可求.【詳解】如圖;設(shè)AB的中點(diǎn)為D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB為直角三角形,且斜邊為AB,故其外接圓半徑為:rAB=AD=2;設(shè)外接球球心為O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2?R2=(R)2+r2?R;∴球O的表面積為:4πR2=4π.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,考查思維能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.10、A【解析】
設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于常考題.11、D【解析】
由半圓面積之比,可求出兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.12、C【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:顯然,又,①當(dāng)時(shí),,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是(1,1)和,從而②當(dāng)時(shí),,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點(diǎn):不等式、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.14、【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.【詳解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn),∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn),,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點(diǎn)睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.16、【解析】
設(shè),,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設(shè),,,由得:,化簡(jiǎn)得,由于,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)不在,證明見詳解;(2)【解析】
(1)假設(shè)直線方程,并于拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,計(jì)算,可得,然后驗(yàn)證可得結(jié)果.(2)分別計(jì)算線段中垂線的方程,然后聯(lián)立,根據(jù)(1)的條件可得點(diǎn)的軌跡方程,然后可得焦點(diǎn),結(jié)合拋物線定義可得,計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)直線方程,根據(jù)題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡(jiǎn)可得,所以則直線方程為,所以直線過定點(diǎn),所以可知點(diǎn)不在直線上.(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由,所以上式化簡(jiǎn)為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為,所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),有最大所以【點(diǎn)睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用,第(1)問中難點(diǎn)在于計(jì)算處,第(2)問中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理,屬難題.18、(1)見解析(2).【解析】
(1)與平面垂直,過點(diǎn)作與平面平行的平面即可(2)建立空間直角坐標(biāo)系求線面角正弦值【詳解】解:(1)截面如下圖所示:其中,,,,分別為邊,,,,的中點(diǎn),則垂直于平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則.不妨取,則,所以與該平面所成角的正弦值為.(若將作為該平面法向量,需證明與該平面垂直)【點(diǎn)睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法,中檔題.19、見解析【解析】
(1)設(shè),則點(diǎn)到軸的距離為,因?yàn)閳A被軸截得的弦長(zhǎng)為,所以,又,所以,化簡(jiǎn)可得,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,因?yàn)橹本€的斜率,所以可設(shè)直線的方程為,由及,消去可得,所以,,所以.設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則,,所以直線的斜率為,所以,所以,所以.易得圓心到直線的距離,由圓經(jīng)過點(diǎn),可得,所以,整理可得,解得或,所以或,又,所以.20、另一個(gè)特征值為,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【解析】
根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得,再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為,最后利用求特征向量的一般步驟,可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為:,是方程的一個(gè)根,,解得,即方程即,,可得另一個(gè)特征值為:,設(shè)對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為:則由,得得,令,則,所以矩陣另一個(gè)特征值為,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量,需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求得切線的斜率,則切線方程得解;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),對(duì)參數(shù)分類討論,求得函數(shù)的單調(diào)性,以及最值,即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則.所以.又,故所求切線方程為,即.(Ⅱ)依題意,得,即恒成立.令,則.①當(dāng)時(shí),因?yàn)?,不合題意.②當(dāng)時(shí),令,得,,顯然.令,得或;令,得
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