廣東省龍濤教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

廣東省龍濤教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，153．（3分）如圖，在?ABCD中，M是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．65° D．75°4．（3分）從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加詩詞大會(huì)比賽，經(jīng)過三輪初賽，他們的平均成績(jī)都是86.5分，方差分別是S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝3.5，S丁2＝3.68，你認(rèn)為派誰去參賽更合適（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（3分）下列命題中，假命題是（）A．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直平分 B．矩形的對(duì)角線相等 C．菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半 D．對(duì)角線相等的菱形是正方形6．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．2+4＝6 B．﹣＝ C．÷＝9 D．﹣（）2＝﹣27．（3分）下列有關(guān)一次函數(shù)y＝﹣2x+1的說法中，錯(cuò)誤的是（）A．y的值隨著x增大而減小 B．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1 C．函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1） D．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限8．（3分）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝6，∠A＝60°，連接四邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的面積為（）A．9 B．6 C．18 D．99．（3分）如圖，折線表示一騎車人離家的距離y與時(shí)間x的關(guān)系，騎車人9：00離開家，15：00回到家，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．騎車人離家最遠(yuǎn)距離是45km B．騎車人中途休息的總時(shí)間長(zhǎng)是1.5h C．從9：00到10：30騎車人離家的速度越來越大 D．騎車人返家的平均速度是30km/h10．（3分）對(duì)于函數(shù)y1＝k1x+b1（k1≠0，k1，b1為常數(shù)與函數(shù)y2＝k2x+b2（k2≠0，k2，b2為常數(shù)）．若k1+k2＝0，b1＝b2，則稱函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，下列結(jié)論：①若函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，則y1與y2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②若點(diǎn)（m1，n1）（m2，n2）分別在“對(duì)稱函數(shù)”y1與y2的圖象上，當(dāng)n1＝n2時(shí)，則m1+m2＝0；③若函數(shù)y＝（m+3）x+n﹣5與函數(shù)y＝（1﹣2n）x+m﹣2互為“對(duì)稱函數(shù)”，則（m+n）2023的值為1；④若函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，將函數(shù)y1向右平移|b2|個(gè)單位得到函數(shù)y3，當(dāng)y3＞y2，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題3分，共18分．）11．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（3分）一組數(shù)據(jù)2，3，k，4，5的平均數(shù)是4，則k＝．13．（3分）當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)y＝（m﹣2）是正比例函數(shù)．14．（3分）如圖，Rt△ABC中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)作正方形，面積分別記為S1、S2、S3．如果S1+S2﹣S3＝24，則陰影部分的面積為．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，則∠BOE的度數(shù)為．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①BM2+DN2＝MN2；②AE＝AF；③EA平分∠BEF；④△CEF的周長(zhǎng)等于2AB，其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（把你認(rèn)為所有正確的都填上）三、解答題（共72分）17．（4分）計(jì)算：．18．（4分）如圖，在?ABCD中，已知點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在AD和BC上，且BF＝DE，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．19．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一點(diǎn)，且CD＝12，BD＝8．求BC的長(zhǎng)．20．（6分）在抗擊新型冠狀病毒疫情期間，某校學(xué)生主動(dòng)發(fā)起為武漢加油捐款活動(dòng)，為了了解學(xué)生捐款金額（單位：元），隨機(jī)調(diào)查了該校的部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出統(tǒng)計(jì)圖①和圖②．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：①本次接受調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為，圖①中m的值為；②統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生捐款數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是；③根據(jù)統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生捐款數(shù)據(jù)的樣本數(shù)據(jù)，若該校共有1800名學(xué)生，估計(jì)該校此次捐款總金額為多少元？21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，∠FEC＝∠B．（1）求證：DE＝CF；（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四邊形DCFE的面積．22．（10分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運(yùn)動(dòng)頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員．冬奧會(huì)來臨之際，冰墩墩玩偶非常暢銷．小李在某網(wǎng)店選中A，B兩款冰墩墩玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．兩款玩偶的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：A款玩偶B款玩偶進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）2015銷售價(jià)（元/個(gè)）2518（1）第一次小李以1650元購進(jìn)了A，B兩款玩偶共100個(gè)，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個(gè)？（2）第二次小李進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小李計(jì)劃購進(jìn)兩款玩偶共100個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？23．（10分）在矩形紙片ABCD中，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：求作折痕EF；（2）若，求的值．24．（12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖①，過點(diǎn)P作PE⊥PB交邊DC于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí)，求證：PB＝PE；（2）如圖②，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)不變的值；若變化，試說明理由．（3）如圖③，若點(diǎn)Q是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足AP＝CQ，設(shè)BP+BQ＝t，請(qǐng)直接寫出t2的最小值．25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，直線交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．（1）如圖1，連接BC，求△BCD的面積；（2）如圖2，在直線上存在點(diǎn)E，使得∠ABE＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OE，過點(diǎn)E作CD的垂線交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P在直線EF上，在平面中存在一點(diǎn)，使得O，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．＝，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；C．＝3，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．＝2，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（3分）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵12+（）2＝3，（）2＝3，∴12+（）2＝（）2，∴能構(gòu)成直角三角形，故B符合題意；C、∵42+62＝52，82＝64，∴42+62≠82，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；D、∵122+52＝169，152＝225，∴122+52≠152，∴不能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意；故選：B．3．（3分）如圖，在?ABCD中，M是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．65° D．75°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠BCD＝135°，∴∠MCD＝180°﹣∠DCB＝180°﹣135°＝45°．故選：A．4．（3分）從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加詩詞大會(huì)比賽，經(jīng)過三輪初賽，他們的平均成績(jī)都是86.5分，方差分別是S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝3.5，S丁2＝3.68，你認(rèn)為派誰去參賽更合適（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成績(jī)最穩(wěn)定，∴派甲去參賽更好，故選：A．5．（3分）下列命題中，假命題是（）A．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直平分 B．矩形的對(duì)角線相等 C．菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半 D．對(duì)角線相等的菱形是正方形【解答】解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不一定垂直，故錯(cuò)誤，是假命題；B、矩形的對(duì)角線相等，正確，是真命題；C、菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，正確，是真命題；D、對(duì)角線相等的菱形是正方形，正確，是真命題，故選：A．6．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．2+4＝6 B．﹣＝ C．÷＝9 D．﹣（）2＝﹣2【解答】解：A、2與4不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、與不能合并，所以B選項(xiàng)不符合題意；C、原式＝＝3，所以C選項(xiàng)不符合題意；D、原式＝2，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．7．（3分）下列有關(guān)一次函數(shù)y＝﹣2x+1的說法中，錯(cuò)誤的是（）A．y的值隨著x增大而減小 B．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1 C．函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1） D．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴y的值隨著x增大而減小，正確，不符合題意；B、∵k＝﹣2＜0，∴y的值隨著x增大而減小，∴當(dāng)x＞0時(shí)，y＜1，錯(cuò)誤，符合題意；C、∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），正確，不符合題意；D、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，正確，不符合題意，故選：B．8．（3分）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝6，∠A＝60°，連接四邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的面積為（）A．9 B．6 C．18 D．9【解答】解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，∵E，F(xiàn)，G，H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF＝BD，GH＝BD，EF∥BD∥HG，EH＝AC，F(xiàn)G＝AC，EH∥AC∥FG，∴EF＝GH，EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAC＝60°，∴AC⊥BD，∠BAC＝30°，AC＝2AO，BD＝2BO，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴四邊形EFGH為矩形，∴S四邊形EFGH＝EH?EF＝BD?AC，∵AC⊥BD，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BO＝AB＝3，AO＝3，∴BD＝6，AC＝，∴S四邊形EFGH＝×6××＝．故選：D．9．（3分）如圖，折線表示一騎車人離家的距離y與時(shí)間x的關(guān)系，騎車人9：00離開家，15：00回到家，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．騎車人離家最遠(yuǎn)距離是45km B．騎車人中途休息的總時(shí)間長(zhǎng)是1.5h C．從9：00到10：30騎車人離家的速度越來越大 D．騎車人返家的平均速度是30km/h【解答】解：A．由圖可知，騎車人離家最遠(yuǎn)距離是45km，故本選項(xiàng)不合題意；B．騎車人中途休息的總時(shí)間長(zhǎng)是：0.5+1＝1.5（h），故本選項(xiàng)不合題意；C．由圖可知，從9：00到10：30騎車人離家的速度不變，故本選項(xiàng)符合題意；D．騎車人返家的平均速度是45÷1.5＝30（km/h），故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．10．（3分）對(duì)于函數(shù)y1＝k1x+b1（k1≠0，k1，b1為常數(shù)與函數(shù)y2＝k2x+b2（k2≠0，k2，b2為常數(shù)）．若k1+k2＝0，b1＝b2，則稱函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，下列結(jié)論：①若函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，則y1與y2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②若點(diǎn)（m1，n1）（m2，n2）分別在“對(duì)稱函數(shù)”y1與y2的圖象上，當(dāng)n1＝n2時(shí)，則m1+m2＝0；③若函數(shù)y＝（m+3）x+n﹣5與函數(shù)y＝（1﹣2n）x+m﹣2互為“對(duì)稱函數(shù)”，則（m+n）2023的值為1；④若函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，將函數(shù)y1向右平移|b2|個(gè)單位得到函數(shù)y3，當(dāng)y3＞y2，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵函數(shù)y1與y2互為“對(duì)稱函數(shù)”，∴k1+k2＝0，b1＝b2，∴k1，k2互為相反數(shù)，∴y1與y2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意；②∵y1與y2是“對(duì)稱函數(shù)”，n1＝n2，∴m1與m2互為相反數(shù)∴m1+m2＝0，符合題意；③∵函數(shù)y＝（m+3）x+n﹣5與函數(shù)y＝（1﹣2n）x+m﹣2互為“對(duì)稱函數(shù)”，∴m+3+1﹣2n＝0，n﹣5＝m﹣2，即，求得：，∴（m+n）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，不符合題意；④∵函數(shù)y1向右平移|b2|個(gè)單位得到函數(shù)y3，∴y3＝k1（x﹣|b2|）+b2∴y3＞y2，即k1（x﹣|b2|）+b2＞k2x+b2解得：x＞或x＜，不符合題意．故選：B．二、填空題（每小題3分，共18分．）11．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥8．【解答】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣8≥0，解得：x≥8．故答案為：x≥8．12．（3分）一組數(shù)據(jù)2，3，k，4，5的平均數(shù)是4，則k＝6．【解答】解：∵數(shù)據(jù)2，3，k，4，5的平均數(shù)是4，∴（2+3+k+4+5）÷5＝4，解得k＝6；故答案為：6．13．（3分）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，函數(shù)y＝（m﹣2）是正比例函數(shù)．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣2）是正比例函數(shù)，∴，解得m＝﹣2．故答案為：﹣2．14．（3分）如圖，Rt△ABC中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)作正方形，面積分別記為S1、S2、S3．如果S1+S2﹣S3＝24，則陰影部分的面積為6．【解答】解：由題意得，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，∵S1+S2﹣S3＝24，∴AB2+BC2﹣AC2＝24，∴AB2+AB2+AC2﹣AC2＝24，∴AB2＝12，∴，故答案為：6．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，則∠BOE的度數(shù)為75°．【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形中OA＝OB，∴△ABO是等邊三角形，∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°故答案為：75°．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①BM2+DN2＝MN2；②AE＝AF；③EA平分∠BEF；④△CEF的周長(zhǎng)等于2AB，其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．（把你認(rèn)為所有正確的都填上）【解答】解：①將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，連接NH，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°，∵△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，又AN＝AN，∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN＝HN，而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，∴MN2＝BM2+DN2，故①正確；②對(duì)于AE＝AF，只需舉出反例即可，當(dāng)E與C重合時(shí)，∵∠EAF＝45°，∴F與D重合，此時(shí)AE＝AC，AF＝AD，而AC≠AD，故②錯(cuò)誤；過A作AG⊥AE，交CD延長(zhǎng)線于G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（ASA），∴BE＝DG，AG＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∠AEB＝∠G＝∠AEF，故③正確；∴△CEF的周長(zhǎng)＝EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝（DG+DF）+EC+CF＝BE+CD+CE＝CD+BC＝2AB，故④正確．故答案為：①③④．三、解答題（共72分）17．（4分）計(jì)算：．【解答】解：＝﹣+3＝﹣+3＝4﹣+3＝4+2．18．（4分）如圖，在?ABCD中，已知點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在AD和BC上，且BF＝DE，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．19．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一點(diǎn)，且CD＝12，BD＝8．求BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝13，BD＝8，∴AD＝AB﹣BD＝5，∴AC＝13，CD＝12，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝4，即BC的長(zhǎng)是4．20．（6分）在抗擊新型冠狀病毒疫情期間，某校學(xué)生主動(dòng)發(fā)起為武漢加油捐款活動(dòng)，為了了解學(xué)生捐款金額（單位：元），隨機(jī)調(diào)查了該校的部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出統(tǒng)計(jì)圖①和圖②．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：①本次接受調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為50，圖①中m的值為30；②統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生捐款數(shù)據(jù)的眾數(shù)是30，中位數(shù)是30；③根據(jù)統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生捐款數(shù)據(jù)的樣本數(shù)據(jù)，若該校共有1800名學(xué)生，估計(jì)該校此次捐款總金額為多少元？【解答】解：①8+12+15+10+5＝50（人），m%＝15÷50×100%＝30%，即m＝30，故答案為：50，30；②觀察條形統(tǒng)計(jì)圖，∵在這組數(shù)據(jù)中，30出現(xiàn)了15次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30．∵將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是30，，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為30．故答案為：30，30；③∵在所抽取的樣本中，平均數(shù)為（20×8+25×12+30×15+35×10+40×5）＝29.2（元），∴估計(jì)這1800名學(xué)生捐款總金額約為1800×29.2＝52560（元）．答：該校此次捐款總金額約為52560元．21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，∠FEC＝∠B．（1）求證：DE＝CF；（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四邊形DCFE的面積．【解答】證明：（1）在△CDE和△ECF中，∵∠ACB＝∠ECF＝90°，點(diǎn)D、E是分別是AB、BC的中點(diǎn)．∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠DCE，∠CED＝∠ECF＝90°，又∵∠FEC＝∠B．∴∠FEC＝∠DCE，又∵CE＝EC∴△CDE≌△ECF（ASA），∴DE＝CF；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴，∵點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴DE∥CF，又DE＝CF，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴，∴．22．（10分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運(yùn)動(dòng)頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員．冬奧會(huì)來臨之際，冰墩墩玩偶非常暢銷．小李在某網(wǎng)店選中A，B兩款冰墩墩玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．兩款玩偶的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：A款玩偶B款玩偶進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）2015銷售價(jià)（元/個(gè)）2518（1）第一次小李以1650元購進(jìn)了A，B兩款玩偶共100個(gè)，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個(gè)？（2）第二次小李進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小李計(jì)劃購進(jìn)兩款玩偶共100個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【解答】解：（1）設(shè)小李購進(jìn)A款冰墩墩a個(gè)，則購進(jìn)B款冰墩墩（100﹣a）個(gè)，由題意可得：20a+15（100﹣a）＝1650，解得a＝30，∴100﹣a＝70，答：小李購進(jìn)A款冰墩墩30個(gè)，購進(jìn)B款冰墩墩70個(gè)；（2）設(shè)小李購進(jìn)A款冰墩墩x個(gè)，則購進(jìn)B款冰墩墩（100﹣x）個(gè)，利潤(rùn)為w元，由題意可得w＝（25﹣20）x+（18﹣15）（100﹣x）＝2x+300，∴w隨x的增大而增大，∵網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．∴x≤（100﹣x），解得x≤33，∵x為整數(shù)，∴當(dāng)x＝33時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝366，100﹣x＝67，答：小李購進(jìn)A款冰墩墩33個(gè)，購進(jìn)B款冰墩墩67個(gè)時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是366元．23．（10分）在矩形紙片ABCD中，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：求作折痕EF；（2）若，求的值．【解答】解：（1）如圖，EF即為所求．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA．設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O，由題意可得，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．由折疊可知，AE＝CE，∴四邊形AFCE是菱形．∴AC⊥EF，OE＝OF＝，∵，∴設(shè)AB＝3x，AD＝4x，∴AC＝＝5x，∴AO＝x，∵∠AOE＝∠D＝90°，∠EAO＝∠DAC，∴△AOE∽△ADC，∴，∴，∴OE＝x，∴EF＝2OE＝x，∴AF＝AE＝＝x，∴＝＝．24．（12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖①，過點(diǎn)P作PE⊥PB交邊DC于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí)，求證：PB＝PE；（2）如圖②，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)不變的值；若變化，試說明理由．（3）如圖③，若點(diǎn)Q是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足AP＝CQ，設(shè)BP+BQ＝t，請(qǐng)直接寫出t2的最小值．【解答】（1）證明：連接PD，如圖①所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠PCB＝∠PCD＝45°，在△PCB和△PCD中，，∴△PCB≌△PCD（SAS），∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝∠BCE＝90°，∴∠CBP+∠CEP＝180°，∵∠CEP+∠PED＝180°，∴∠PED＝∠CBP，∴∠PED＝∠CDP，∴PE＝PD，∴PB＝PE；（2）解：PF的長(zhǎng)度不變．理由如下：連接BD，與AC相交于點(diǎn)O，如圖2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝3，∴OB＝，∴PF＝OB＝．∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長(zhǎng)度不變，值為；（3）解：過點(diǎn)C作CR⊥AC，使CR＝AB＝3，連接QR、BR，過點(diǎn)R作RT⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于T，如圖③所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AC