備戰(zhàn)2024高考二輪復(fù)習(xí)講義第3講 分類(lèi)討論思想在解析幾何中的應(yīng)用

第3講分類(lèi)討論思想在解析幾何中的應(yīng)用在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)。有時(shí)會(huì)遇到很多情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐步求解，然后綜合理解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯方法。是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零，積零為整的思想，與歸類(lèi)整理的方法有關(guān)。分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的。邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理和概括性。解析幾何中的分類(lèi)討論思想涉及到直線(xiàn)的方程、圓與圓的位置關(guān)系，圓錐曲線(xiàn)的概念以及性質(zhì)等問(wèn)題。也是高考?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)?！緫?yīng)用一】分類(lèi)討論思想在直線(xiàn)、圓中的應(yīng)用1、直線(xiàn)方程的幾種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線(xiàn)斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線(xiàn)兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線(xiàn)都適用2、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．相離相切相交圖形量化方程觀(guān)點(diǎn)Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀(guān)點(diǎn)deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r【例1.1】（2023四川南充高三模擬）過(guò)作圓的切線(xiàn)，則其切線(xiàn)方程為_(kāi)___________.．【思維提升】涉及到直線(xiàn)的方程問(wèn)題。若設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、斜截式方程必須考慮直線(xiàn)的斜率是否存在，特別是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是要驗(yàn)證斜率不存在的情況。這種問(wèn)題也是經(jīng)?？疾橐彩菍W(xué)生最容易丟分的問(wèn)題?！咀兪?.1】（2023·山西·統(tǒng)考一模）經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．無(wú)法確定【變式1.2】（2022年重慶市第八中學(xué)高三模擬試卷）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為（）A. B.3 C.3或 D.或6【變式1.3】（202江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中）（多選題）已知圓：，圓：，下列直線(xiàn)中，與圓，都相切的是（

）A． B． C． D．【變式1.4】（2022·遼寧鞍山·高二期中）過(guò)點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的方程為（

）A．或 B．C．或 D．【應(yīng)用二】分類(lèi)討論思想在圓錐曲線(xiàn)定義中的應(yīng)用1、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線(xiàn)段；(3)若a＜c，則集合P為空集．2、雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)；(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線(xiàn)；(3)當(dāng)a＞c時(shí)，點(diǎn)P不存在．3、拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．【例2.1】（四川省雙流中學(xué)2022年高三上學(xué)期期中）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件（為常數(shù)，且），則點(diǎn)的軌跡是______.【思維提升】涉及到圓錐曲線(xiàn)的定義問(wèn)題一定要考慮定義要滿(mǎn)足的條件，否則軌跡就不一定是圓錐曲線(xiàn)，如橢圓中忽略條件就有可能軌跡是線(xiàn)段，或者不存在。在求圓錐曲線(xiàn)的方程式特別是橢圓、雙曲線(xiàn)要判斷焦點(diǎn)在x軸，還是y軸。否則就要討論。【變式2.1】（福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中聯(lián)考）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓：和：，其中常數(shù)滿(mǎn)足，一個(gè)動(dòng)圓與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡可以是（）A．兩個(gè)橢圓 B．兩個(gè)雙曲線(xiàn)C．一個(gè)雙曲線(xiàn)和一條直線(xiàn) D．一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)【變式2.2】（2022寧夏隆德高三期末）若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則橢圓的方程（）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)【變式2.3】（2022湖北師大附中期末）若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則橢圓的方程（）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)【應(yīng)用三】分類(lèi)討論思想在圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)中的應(yīng)用1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a，短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b22、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線(xiàn)y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線(xiàn)段A1A2叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線(xiàn)段B1B2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)3、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線(xiàn)x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)【例3.1】【2020年山東卷09】已知曲線(xiàn)C:mxA．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為y=±D．若m=0，n>0，則C是兩條直線(xiàn)【思維提升】圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)的考查關(guān)鍵要注意焦點(diǎn)在什么軸上，進(jìn)而確定a,b.c的值。不易明確的就要進(jìn)行分類(lèi)討論?！咀兪?.1】（2022福建·莆田錦江中學(xué)高二期末）若橢圓的焦距為2，則（）A．3 B．5 C．2 D．1【變式3.2】（2023·廣東廣州·高三月考）已知曲線(xiàn)C：，則下列命題中為真命題的是（）A．若，則C是圓B．若，且，則C是橢圓C．若，則C是雙曲線(xiàn)，且漸近線(xiàn)方程為D．若，則C是橢圓，其離心率為【變式3.3】【江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性檢測(cè)（三模）】已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y212=1a>0，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A鞏固練習(xí)1、（2022·河北唐山·高二期末）若橢圓的離心率為，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或82、（2023·廣東江門(mén)·統(tǒng)考一模）（多選題）已知曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若曲線(xiàn)表示兩條平行線(xiàn)，則B．若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則C．若，則曲線(xiàn)表示橢圓D．若，則曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸的橢圓3、（2021·廣東茂名·高三月考）（多選題）已知曲線(xiàn)：，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線(xiàn)與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)B．直線(xiàn)與曲線(xiàn)最多有三個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，時(shí)，的取值范圍為D．當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí)，記公共點(diǎn)為．則的取值范圍為4、【2021年新高考2卷11】（多選題）已知直線(xiàn)l:ax+by?r2=0與圓C:A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線(xiàn)l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線(xiàn)l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l與圓C相切5、（2022·山東日照·高三期末）（多選題）焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，方程的曲線(xiàn)記為是圓與軸的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列正確的是（）A．給定，對(duì)于任意，圓弧所對(duì)的圓心角B．對(duì)于給定的角，存在，使得圓弧所對(duì)的圓心角C．對(duì)于任意，該曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)內(nèi)接正D．當(dāng)時(shí)，存在面積大于2022的內(nèi)接正6、（2022·福建泉州·高二期中）已知兩直線(xiàn).若直線(xiàn)與不能構(gòu)成三角形，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)__________（寫(xiě)出一個(gè)即可）.7、（2022·對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）高二期中）過(guò)點(diǎn)作圓圓的切線(xiàn)，則的方程是___________.8、（2022·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校高二期中）已知點(diǎn)，圓：，則過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)__________.9、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓與拋物線(xiàn)的公共點(diǎn)，，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且位于軸右側(cè)，，則橢圓的離心率的最大值為_(kāi)_____．第3講分類(lèi)討論思想在解析幾何中的應(yīng)用在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)。有時(shí)會(huì)遇到很多情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐步求解，然后綜合理解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯方法。是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零，積零為整的思想，與歸類(lèi)整理的方法有關(guān)。分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的。邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理和概括性。解析幾何中的分類(lèi)討論思想涉及到直線(xiàn)的方程、圓與圓的位置關(guān)系，圓錐曲線(xiàn)的概念以及性質(zhì)等問(wèn)題。也是高考?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)?！緫?yīng)用一】分類(lèi)討論思想在直線(xiàn)、圓中的應(yīng)用1、直線(xiàn)方程的幾種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線(xiàn)斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線(xiàn)兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線(xiàn)都適用2、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．相離相切相交圖形量化方程觀(guān)點(diǎn)Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀(guān)點(diǎn)deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r【例1.1】（2023四川南充高三模擬）過(guò)作圓的切線(xiàn)，則其切線(xiàn)方程為_(kāi)___________.【答案】或【分析】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，方程是，通過(guò)驗(yàn)證圓心到直線(xiàn)的距離，得到符合題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑1，建立關(guān)于的方程，解之得，進(jìn)而得到直線(xiàn)的方程，最后綜合可得答案．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)斜率不存在，方程是，圓心到直線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)符合題意；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即．直線(xiàn)是的切線(xiàn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解之得，此時(shí)直線(xiàn)方程為．切線(xiàn)方程為或．故答案為：或．【思維提升】涉及到直線(xiàn)的方程問(wèn)題。若設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、斜截式方程必須考慮直線(xiàn)的斜率是否存在，特別是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是要驗(yàn)證斜率不存在的情況。這種問(wèn)題也是經(jīng)?？疾橐彩菍W(xué)生最容易丟分的問(wèn)題。【變式1.1】（2023·山西·統(tǒng)考一模）經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】先根據(jù)圓上三點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程及圓心半徑,再根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑之間的大小關(guān)系,得出圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系.【詳解】解:由題知,圓過(guò),,三點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以該圓是以為直徑的圓,可得圓心為,即,半徑,故圓的方程為,因?yàn)橹本€(xiàn)方程為:,所以圓心到直線(xiàn)的距離,當(dāng)時(shí),有,所以圓與直線(xiàn)相交,當(dāng)時(shí),有,所以圓與直線(xiàn)相交,綜上:圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是相交.故選：A.【變式1.2】（2022年重慶市第八中學(xué)高三模擬試卷）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為（）A. B.3 C.3或 D.或6【答案】B【解析】【詳解】直線(xiàn)：與直線(xiàn)：平行，所以，解得：或，①當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，：，：，均為，此時(shí)，重合，舍去，故，故選：B【變式1.3】（202江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中）（多選題）已知圓：，圓：，下列直線(xiàn)中，與圓，都相切的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】解：、，，∴兩圓相切，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以?xún)?nèi)公切線(xiàn)方程為，整理得．設(shè)外公切線(xiàn)方程為，到外公切線(xiàn)的距離為，解得或，∴外公切線(xiàn)方程為或．故選：ACD．【變式1.4】（2022·遼寧鞍山·高二期中）過(guò)點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的方程為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【詳解】若切線(xiàn)與軸垂直，則切線(xiàn)方程為，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為，合乎題意；當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，所求切線(xiàn)的方程為.綜上所述，所求切線(xiàn)方程為或.故選：C.【應(yīng)用二】分類(lèi)討論思想在圓錐曲線(xiàn)定義中的應(yīng)用1、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線(xiàn)段；(3)若a＜c，則集合P為空集．2、雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)；(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線(xiàn)；(3)當(dāng)a＞c時(shí)，點(diǎn)P不存在．3、拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．【例2.1】（四川省雙流中學(xué)2022年高三上學(xué)期期中）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件（為常數(shù)，且），則點(diǎn)的軌跡是______.【答案】線(xiàn)段或橢圓【分析】利用基本不等式求得，然后分和兩種情況討論，結(jié)合橢圓的定義可得出點(diǎn)的軌跡.【詳解】，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.①若，則點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段；②若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓.綜上所述，點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段或橢圓.故答案為：線(xiàn)段或橢圓.【思維提升】涉及到圓錐曲線(xiàn)的定義問(wèn)題一定要考慮定義要滿(mǎn)足的條件，否則軌跡就不一定是圓錐曲線(xiàn)，如橢圓中忽略條件就有可能軌跡是線(xiàn)段，或者不存在。在求圓錐曲線(xiàn)的方程式特別是橢圓、雙曲線(xiàn)要判斷焦點(diǎn)在x軸，還是y軸。否則就要討論。【變式2.1】（福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中聯(lián)考）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓：和：，其中常數(shù)滿(mǎn)足，一個(gè)動(dòng)圓與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡可以是（）A．兩個(gè)橢圓 B．兩個(gè)雙曲線(xiàn)C．一個(gè)雙曲線(xiàn)和一條直線(xiàn) D．一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)【答案】BC【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定和的關(guān)系，確定它的軌跡．【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，已知兩圓相離，動(dòng)圓可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，①若均內(nèi)切，則，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，當(dāng)，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.②若均外切，則，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，當(dāng)，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.③若一個(gè)外切，一個(gè)內(nèi)切，不妨設(shè)與圓內(nèi)切，與圓外切，則，，.同理，當(dāng)與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，.此時(shí)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，與①中雙曲線(xiàn)不一樣.故選：BC．【變式2.2】（2022寧夏隆德高三期末）若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則橢圓的方程（）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C【變式2.3】（2022湖北師大附中期末）若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則橢圓的方程（）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】由題意可得，解得，，由于橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.【應(yīng)用三】分類(lèi)討論思想在圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)中的應(yīng)用1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a，短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b22、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線(xiàn)y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線(xiàn)段A1A2叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線(xiàn)段B1B2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)3、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線(xiàn)x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)【例3.1】【2020年山東卷09】已知曲線(xiàn)C:mxA．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為y=±D．若m=0，n>0，則C是兩條直線(xiàn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若m>n>0，則mx2+n因?yàn)閙>n>0，所以1m即曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若m=n>0，則mx2+n此時(shí)曲線(xiàn)C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為nn對(duì)于C，若mn<0，則mx2+n此時(shí)曲線(xiàn)C表示雙曲線(xiàn)，由mx2+n對(duì)于D，若m=0,n>0，則mx2+ny=±nn，此時(shí)曲線(xiàn)C表示平行于故選：ACD.【思維提升】圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)的考查關(guān)鍵要注意焦點(diǎn)在什么軸上，進(jìn)而確定a,b.c的值。不易明確的就要進(jìn)行分類(lèi)討論。【變式3.1】（2022福建·莆田錦江中學(xué)高二期末）若橢圓的焦距為2，則（）A．3 B．5 C．2 D．1【答案】AB【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)計(jì)算，注意分類(lèi)討論．【詳解】由題意或，解得或．故選：AB．【變式3.2】（2023·廣東廣州·高三月考）已知曲線(xiàn)C：，則下列命題中為真命題的是（）A．若，則C是圓B．若，且，則C是橢圓C．若，則C是雙曲線(xiàn)，且漸近線(xiàn)方程為D．若，則C是橢圓，其離心率為【答案】BC【分析】對(duì)于A：取特值，則，代入原方程可判斷；對(duì)于B：由已知得，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷；對(duì)于C：由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線(xiàn)方程可判斷；對(duì)于D：由已知得，可判斷曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，再由橢圓的離心率公式可判斷.【詳解】解：對(duì)于A：若，則，原方程為，此時(shí)曲線(xiàn)C不存在，故A不正確；對(duì)于B：由已知得，又，且，所以表示橢圓，故B正確；對(duì)于C：若，則C是雙曲線(xiàn)，但漸近線(xiàn)方程為，故C正確；對(duì)于D：由已知得，又，所以，則曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，，其離心率為，故D不正確，故選：BC.【變式3.3】【江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性檢測(cè)（三模）】已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y212=1a>0，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A【答案】3【詳解】記c=a2+12，若直線(xiàn)l與若直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，將x=c代入雙曲線(xiàn)方程可得y=±12a，此時(shí)當(dāng)2a=16時(shí)，則a=8，此時(shí)，24a=3；當(dāng)所以，雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)不可能同時(shí)為16；當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不重合時(shí)，記c=a2+設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+c，其中m≠0，設(shè)點(diǎn)Ax1聯(lián)立x=my+cx2a由題意可得12m2?Δ=由韋達(dá)定理可得y1+y所以，AB=24am所以，關(guān)于m的方程3a當(dāng)12m2?a2可得m2=2a2+3當(dāng)12m2?a2可得m2=2a2綜上所述，32故答案為：32鞏固練習(xí)1、（2022·河北唐山·高二期末）若橢圓的離心率為，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況，討論橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，則，離心率，則，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，則，離心率，則，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).綜上可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4或8.故選：D2、（2023·廣東江門(mén)·統(tǒng)考一模）（多選題）已知曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若曲線(xiàn)表示兩條平行線(xiàn)，則B．若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則C．若，則曲線(xiàn)表示橢圓D．若，則曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸的橢圓【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線(xiàn)表示兩條平行線(xiàn)，則有或，且.若，則，此時(shí)曲線(xiàn)的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時(shí)曲線(xiàn)的方程為，可得或，合乎題意，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則，由于且，則，可得，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線(xiàn)表示橢圓，則，解得且，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，則，曲線(xiàn)的方程可化為，此時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，D對(duì).故選：BD.3、（2021·廣東茂名·高三月考）（多選題）已知曲線(xiàn)：，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線(xiàn)與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)B．直線(xiàn)與曲線(xiàn)最多有三個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，時(shí)，的取值范圍為D．當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí)，記公共點(diǎn)為．則的取值范圍為【答案】ACD【分析】由題設(shè)討論的符號(hào)得到曲線(xiàn)的不同方程，結(jié)合所得方程對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合直線(xiàn)、并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，判斷它們與曲線(xiàn)的交點(diǎn)情況，并根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的不同求交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積或和的范圍.【詳解】由題設(shè)得：曲線(xiàn)為，A：由是和的漸近線(xiàn)，且與沒(méi)有公共點(diǎn)，故正確；B：由A中的分析知：與曲線(xiàn)最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C：由圖可知，若與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，，由對(duì)稱(chēng)性知，，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，∴，（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)時(shí)，由，則．（3）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意．（4）當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，綜上可知，C正確；D：由C的分析，時(shí)與曲線(xiàn)有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則，即．當(dāng)時(shí)，與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，此點(diǎn)為．此時(shí)．故正確．故選：ACD．4、【2021年新高考2卷11】（多選題）已知直線(xiàn)l:ax+by?r2=0與圓C:A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線(xiàn)l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線(xiàn)l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l與圓C相切【答案】ABD圓心C(0,0)到直線(xiàn)l的距離d=r若點(diǎn)A(a,b)在圓C上，則a2+b則直線(xiàn)l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi)，則a2+b則直線(xiàn)l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a,b)在圓C外，則a2+b則直線(xiàn)l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)A(a,b)在直線(xiàn)l上，則a2+b所以d=r2a2+故選：ABD.5、（2022·山東日照·高三期末）（多選題）焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，方程的曲線(xiàn)記為是圓與軸的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列正確的是（）A．給定，對(duì)于任意，圓弧所對(duì)的圓心角B．對(duì)于給定的角，存在，