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文檔簡介
2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準復(fù)習(xí)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性與一元線性回歸分析01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時目標】結(jié)合實例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義;結(jié)合具體實
例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義,了解最
小二乘法原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法;針對
實際問題,會用一元線性回歸模型進行預(yù)測.【考情概述】成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性與一元線性回歸分析是高考中的
低頻考點,難度不大,但是計算量較大,注重考查閱讀理解、數(shù)據(jù)運算
及應(yīng)用能力.
知識梳理1.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)
兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定
另一個的程度,這種關(guān)系稱為
?.(2)
常見的兩個變量之間的關(guān)系有兩類:一類是確定性函數(shù)關(guān)
系,另一類是
?;與函數(shù)關(guān)系不同,相關(guān)關(guān)系是一種非
確定性關(guān)系.(3)
從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應(yīng)值也呈
現(xiàn)增加的趨勢,就稱這兩個變量
?;當一個變量的值增加時,
另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢,則稱這兩個變量
?.(4)
一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān),而且散點落
在一條直線附近,我們就稱這兩個變量
?.相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負相關(guān)線性相關(guān)
②
當
r
>0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當
r
<0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)負
相關(guān).③
|
r
|越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度
,|
r
|越接
近0,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度
?.越強越弱(2)
回歸方程①
最小二乘法:使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的豎直距離的平方和最
小的方法叫做最小二乘法.
截距系數(shù)回歸值
觀測值減去預(yù)測值
越
小越好越
大越差
???√2.(RA選三P118定義改編)有一散點圖如圖所示,在5個數(shù)據(jù)(
x
,
y
)中去掉
D
(3,10)后,下列說法正確的是(
A
)A.殘差平方和變小B.樣本相關(guān)系數(shù)
r
變小C.決定系數(shù)
R
2變小D.變量
x
與變量
y
的線性相關(guān)程度變?nèi)魽
A4.(多選)(RA選三教參P207本章學(xué)業(yè)水平測試題第2題改編)對于樣
本相關(guān)系數(shù),下列說法正確的是(
ABD
)A.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)的正、負相關(guān)性B.樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的,也可以是負的C.樣本相關(guān)系數(shù)越大,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強D.樣本相關(guān)系數(shù)
r
∈[-1,1]ABD
2
考點一
成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性考向1
相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)
某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率
y
和溫度
x
(單位:℃)的關(guān)系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,
由實驗數(shù)據(jù)(
xi
,
yi
)(
i
=1,2,…,20)得到如圖所示的散點圖.由
散點圖,得在10℃至40℃之間,下列四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)
芽率
y
和溫度
x
的回歸方程類型的是(
D
)DA.
y
=
a
+
bx
B.
y
=
a
+
bx
2C.
y
=
a
+
b
e
x
D.
y
=
a
+
b
ln
x
解:由散點圖可知,在10℃至40℃之間,發(fā)芽率
y
隨溫度
x
的增大而增
大,但增長的速度越來越慢,故最適宜作為發(fā)芽率
y
和溫度
x
的回歸方
程類型的是
y
=
a
+
b
ln
x
.(2)
對變量
x
,
y
,有觀測數(shù)據(jù)(
xi
,
yi
)(
i
=1,2,…,10),其
散點圖如圖①所示;對變量
u
,
v
,有觀測數(shù)據(jù)(
ui
,
vi
)(
i
=1,
2,…,10),其散點圖如圖②所示.由這兩個散點圖可以判斷
(
C
)
CA.變量
x
與變量
y
正相關(guān),變量
u
與變量
v
正相關(guān)B.變量
x
與變量
y
正相關(guān),變量
u
與變量
v
負相關(guān)C.變量
x
與變量
y
負相關(guān),變量
u
與變量
v
正相關(guān)D.變量
x
與變量
y
負相關(guān),變量
u
與變量
v
負相關(guān)解:由散點圖可知,變量
x
與變量
y
負相關(guān),變量
u
與變量
v
正相關(guān).[拓展探究]1.(2023·石家莊三模)觀察下列四幅殘差圖,其中滿足一元線性回歸
模型中對隨機誤差的假定的是(
B
)BABCD解:根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定,殘差應(yīng)是均值為0,
方差為σ2的隨機變量的觀測值.對于A,殘差與觀測時間有線性關(guān)系,故
A不符合題意.對于B,殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱
軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi),故B符合題意.對于C,殘差與觀測時間有非線性
關(guān)系,故C不符合題意.對于D,殘差的方差不是一個常數(shù),且隨著觀測
時間變大而變大,故D不符合題意.考向2
樣本相關(guān)系數(shù)例2(1)
(RA選三教參P208本章學(xué)業(yè)水平測試題第7題改編)下列四
幅散點圖所對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)及0的大小關(guān)系為
?
(用“>”連接).
r
1>
r
3>0>
r
4>
r
2
(2)
(2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了
綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹
木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),
得到如下數(shù)據(jù):樣本號
i
根部橫截面積
xi
/m2材積量
yi
/m310.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.36樣本號
i
根部橫截面積
xi
/m2材積量
yi
/m380.070.4690.070.42100.060.40總和0.63.9
①
估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量.
A.若
r
1>
r
2,則第一組變量比第二組變量的線性相關(guān)程度強B[拓展探究]考點二
一元線性回歸分析考向1
經(jīng)驗回歸方程及其應(yīng)用例3為了鞏固脫貧成果,某農(nóng)科所實地考察,研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合
種植A,B兩種經(jīng)濟作物,可以通過種植這兩種經(jīng)濟作物鞏固脫貧成果.
通過大量考察研究,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):經(jīng)濟作物A的畝產(chǎn)量約為300千
克,其收購價格處于上漲趨勢,最近五年的價格如下表:年份編號
x
12345年份20192020202120222023收購價格y/(元/千克)1820232529經(jīng)濟作物B的收購價格始終為25元/千克,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如
圖所示.(1)
若經(jīng)濟作物A的收購價格
y
(單位:元/千克)與年份編號
x
具有線
性相關(guān)關(guān)系,請求出
y
關(guān)于
x
的經(jīng)驗回歸方程,并估計2024年經(jīng)濟作物A
的收購價格.
[拓展探究]3.(2024·常州期中)某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團進行了一項實驗研究,采
集了變量
x
,
y
的一組數(shù)據(jù)如下表:
x
234567
y
52.54540302517.5該社團對上述數(shù)據(jù)進行了分析,發(fā)現(xiàn)
y
與
x
之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(1)
畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖,并指出
y
與
x
之間的樣本相關(guān)系數(shù)
r
是正
還是負;解:(1)
散點圖如圖所示,
r
是負的.
考向2
非線性回歸問題(可轉(zhuǎn)化為線性回歸問題)例4(2023·廣東??迹┠称髽I(yè)為了提升行業(yè)競爭力,加大了科研投入.
該企業(yè)連續(xù)6年來的科研投入
x
(單位:百萬元)與收益
y
(單位:百萬
元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:科研投入x/百萬元24681012收益y/百萬元5.66.512.027.580.0129.2并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖如圖所示.根據(jù)散點圖的特點,甲認為樣本點分布在指數(shù)型函數(shù)
y
=
c
·2
bx
的圖象的
周圍,據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理,如下表:43.54.5854.034.712730.470.0
(1)
①
請根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立
y
關(guān)于
x
的經(jīng)驗回歸方程(精確到
0.1);②
根據(jù)所建立的經(jīng)驗回歸方程,若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億
元,則科研投入至少為多少(log25≈2.3)?
②
由題意,令20.5
x
+1=200,則0.5
x
+1=log2200,即
x
=4+
4log25≈13.2.所以若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億元,則科研投入至
少為13.2百萬元.
解:(2)
甲建立的回歸模型的殘差如
下表:
yi
5.66.512.027.580.0129.2481632641281.6-1.5-4-4.5161.2
4.經(jīng)觀測,長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)
y
與溫度
x
(單位:℃)有關(guān),現(xiàn)將
收集到的溫度
xi
和產(chǎn)卵數(shù)
yi
(
i
=1,2,…,10)的10組觀測數(shù)據(jù)進行
了初步處理,得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量如下表:30054.513603588[拓展探究]
(2020·山東適應(yīng)性考試)如圖所示為根據(jù)我國2012~2018年水果人均
占有量
y
(單位:kg)和年份代碼
x
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