2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準復(fù)習(xí)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性與一元線性回歸分析

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準復(fù)習(xí)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性與一元線性回歸分析01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時目標】結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義；結(jié)合具體實

例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最

小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法；針對

實際問題，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測.【考情概述】成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性與一元線性回歸分析是高考中的

低頻考點，難度不大，但是計算量較大，注重考查閱讀理解、數(shù)據(jù)運算

及應(yīng)用能力.

知識梳理1.變量間的相關(guān)關(guān)系（1）

兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定

另一個的程度，這種關(guān)系稱為

?.（2）

常見的兩個變量之間的關(guān)系有兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)

系，另一類是

?；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非

確定性關(guān)系.（3）

從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈

現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量

?；當一個變量的值增加時，

另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個變量

?.（4）

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落

在一條直線附近，我們就稱這兩個變量

?.相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負相關(guān)線性相關(guān)

②

當

r

＞0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當

r

＜0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負

相關(guān).③

｜

r

｜越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度

，｜

r

｜越接

近0，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度

?.越強越弱（2）

回歸方程①

最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的豎直距離的平方和最

小的方法叫做最小二乘法.

截距系數(shù)回歸值

觀測值減去預(yù)測值

越

小越好越

大越差

???√2.（RA選三P118定義改編）有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)（

x

，

y

）中去掉

D

（3，10）后，下列說法正確的是（

A

）A.殘差平方和變小B.樣本相關(guān)系數(shù)

r

變小C.決定系數(shù)

R

2變小D.變量

x

與變量

y

的線性相關(guān)程度變?nèi)魽

A4.（多選）（RA選三教參P207本章學(xué)業(yè)水平測試題第2題改編）對于樣

本相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（

ABD

）A.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)的正、負相關(guān)性B.樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負的C.樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強D.樣本相關(guān)系數(shù)

r

∈[－1，1]ABD

2

考點一

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性考向1

相關(guān)關(guān)系的判斷例1（1）

某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率

y

和溫度

x

（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，

由實驗數(shù)據(jù)（

xi

，

yi

）（

i

＝1，2，…，20）得到如圖所示的散點圖.由

散點圖，得在10℃至40℃之間，下列四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)

芽率

y

和溫度

x

的回歸方程類型的是（

D

）DA.

y

＝

a

＋

bx

B.

y

＝

a

＋

bx

2C.

y

＝

a

＋

b

e

x

D.

y

＝

a

＋

b

ln

x

解：由散點圖可知，在10℃至40℃之間，發(fā)芽率

y

隨溫度

x

的增大而增

大，但增長的速度越來越慢，故最適宜作為發(fā)芽率

y

和溫度

x

的回歸方

程類型的是

y

＝

a

＋

b

ln

x

.（2）

對變量

x

，

y

，有觀測數(shù)據(jù)（

xi

，

yi

）（

i

＝1，2，…，10），其

散點圖如圖①所示；對變量

u

，

v

，有觀測數(shù)據(jù)（

ui

，

vi

）（

i

＝1，

2，…，10），其散點圖如圖②所示.由這兩個散點圖可以判斷

（

C

）

CA.變量

x

與變量

y

正相關(guān)，變量

u

與變量

v

正相關(guān)B.變量

x

與變量

y

正相關(guān)，變量

u

與變量

v

負相關(guān)C.變量

x

與變量

y

負相關(guān)，變量

u

與變量

v

正相關(guān)D.變量

x

與變量

y

負相關(guān)，變量

u

與變量

v

負相關(guān)解：由散點圖可知，變量

x

與變量

y

負相關(guān)，變量

u

與變量

v

正相關(guān).[拓展探究]1.（2023·石家莊三模）觀察下列四幅殘差圖，其中滿足一元線性回歸

模型中對隨機誤差的假定的是（

B

）BABCD解：根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為0，

方差為σ2的隨機變量的觀測值.對于A，殘差與觀測時間有線性關(guān)系，故

A不符合題意.對于B，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱

軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故B符合題意.對于C，殘差與觀測時間有非線性

關(guān)系，故C不符合題意.對于D，殘差的方差不是一個常數(shù)，且隨著觀測

時間變大而變大，故D不符合題意.考向2

樣本相關(guān)系數(shù)例2（1）

（RA選三教參P208本章學(xué)業(yè)水平測試題第7題改編）下列四

幅散點圖所對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)及0的大小關(guān)系為

?

（用“＞”連接）.

r

1＞

r

3＞0＞

r

4＞

r

2

（2）

（2022·全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了

綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹

木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），

得到如下數(shù)據(jù)：樣本號

i

根部橫截面積

xi

/m2材積量

yi

/m310.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.36樣本號

i

根部橫截面積

xi

/m2材積量

yi

/m380.070.4690.070.42100.060.40總和0.63.9

①

估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量.

A.若

r

1＞

r

2，則第一組變量比第二組變量的線性相關(guān)程度強B[拓展探究]考點二

一元線性回歸分析考向1

經(jīng)驗回歸方程及其應(yīng)用例3為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合

種植A，B兩種經(jīng)濟作物，可以通過種植這兩種經(jīng)濟作物鞏固脫貧成果.

通過大量考察研究，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：經(jīng)濟作物A的畝產(chǎn)量約為300千

克，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：年份編號

x

12345年份20192020202120222023收購價格y/（元/千克）1820232529經(jīng)濟作物B的收購價格始終為25元/千克，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如

圖所示.（1）

若經(jīng)濟作物A的收購價格

y

（單位：元/千克）與年份編號

x

具有線

性相關(guān)關(guān)系，請求出

y

關(guān)于

x

的經(jīng)驗回歸方程，并估計2024年經(jīng)濟作物A

的收購價格.

[拓展探究]3.（2024·常州期中）某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團進行了一項實驗研究，采

集了變量

x

，

y

的一組數(shù)據(jù)如下表：

x

234567

y

52.54540302517.5該社團對上述數(shù)據(jù)進行了分析，發(fā)現(xiàn)

y

與

x

之間具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）

畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖，并指出

y

與

x

之間的樣本相關(guān)系數(shù)

r

是正

還是負；解：（1）

散點圖如圖所示，

r

是負的.

考向2

非線性回歸問題（可轉(zhuǎn)化為線性回歸問題）例4（2023·廣東?？迹┠称髽I(yè)為了提升行業(yè)競爭力，加大了科研投入.

該企業(yè)連續(xù)6年來的科研投入

x

（單位：百萬元）與收益

y

（單位：百萬

元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：科研投入x/百萬元24681012收益y/百萬元5.66.512.027.580.0129.2并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖如圖所示.根據(jù)散點圖的特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)型函數(shù)

y

＝

c

·2

bx

的圖象的

周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理，如下表：43.54.5854.034.712730.470.0

（1）

①

請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立

y

關(guān)于

x

的經(jīng)驗回歸方程（精確到

0.1）；②

根據(jù)所建立的經(jīng)驗回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億

元，則科研投入至少為多少（log25≈2.3）？

②

由題意，令20.5

x

＋1＝200，則0.5

x

＋1＝log2200，即

x

＝4＋

4log25≈13.2.所以若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億元，則科研投入至

少為13.2百萬元.

解：（2）

甲建立的回歸模型的殘差如

下表：

yi

5.66.512.027.580.0129.2481632641281.6－1.5－4－4.5161.2

4.經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)

y

與溫度

x

（單位：℃）有關(guān)，現(xiàn)將

收集到的溫度

xi

和產(chǎn)卵數(shù)

yi

（

i

＝1，2，…，10）的10組觀測數(shù)據(jù)進行

了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量如下表：30054.513603588[拓展探究]

（2020·山東適應(yīng)性考試）如圖所示為根據(jù)我國2012～2018年水果人均

占有量

y

（單位：kg）和年份代碼

x