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文檔簡介

2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】了解離散型隨機變量的概念,會求離散型隨機變量的分

布列;理解離散型隨機變量的均值、方差、標準差的意義,會用離散型

隨機變量的均值、方差解決有關(guān)實際問題.【考情概述】離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征是解決情境中的概

率問題的重要工具之一,常以解答題的形式進行考查,屬于高頻考點,

難度中等.

知識梳理1.隨機變量(1)

隨機變量:對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一

的實數(shù)

X

(ω)與之對應(yīng),我們稱

X

為隨機變量.(2)

離散型隨機變量:可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量.(3)

隨機變量的線性關(guān)系:若

X

是隨機變量,

Y

aX

b

,

a

,

b

是常

數(shù),則

Y

也是隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)

一般地,設(shè)離散型隨機變量

X

的可能取值為

x

1,

x

2,…,

xn

,我

們稱

X

取每一個值

xi

的概率

P

X

xi

)=

pi

i

=1,2,…,

n

X

概率分布列,簡稱分布列.以表格的形式表示如下:

X

x

1

x

2…

xn

P

p

1

p

2…

pn

(2)

離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①

pi

i

=1,2,…,

n

)的取值范圍是

?;②

p

1+

p

2+…+

pn

?.[0,1]

1

3.離散型隨機變量的數(shù)字特征數(shù)字特征公式作用均值(期望)

E

X

)=

?反映了離散型隨機變量取值

?方差

D

X

)=

?

?刻畫了隨機變量

X

與其均值

?標準差說明:(1)

隨機變量的均值是常數(shù);樣本的平均數(shù)是變量,不確定.(2)

隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量的取值與其均值的

偏離程度,反映了隨機變量的取值的離散程度.方差或標準差越小,隨

機變量的取值越集中.

平均水平

E

X

))2

pi

偏離程度常用結(jié)論1.均值與方差的性質(zhì)(1)

E

aX

b

)=

a

,

b

為常數(shù)).(2)

D

aX

b

)=

a

,

b

為常數(shù)).(3)

E

X

1+

X

2)=

?.2.均值與方差的關(guān)系

aE

X

)+

b

a

2

D

X

)E

X

1)+

E

X

2)回歸課本1.判斷:(1)

(RA選三P60練習第2(1)題改編)拋擲甲、乙2顆質(zhì)地均勻的骰

子,“所得點數(shù)之和為3”表示1個樣本點,即“一顆的點數(shù)為1,一顆

的點數(shù)為2”.

?

)(2)

(RA選三P58性質(zhì)改編)在離散型隨機變量的分布列中,隨機變

量取各個值時的概率之和可以小于1.

?

)(3)

(RA選三P64性質(zhì)改編)

隨機變量的均值與樣本的均值一定相同.

?

)(4)

(RA選三P68定義改編)隨機變量的方差越大,則隨機變量的取

值越分散.

)???√2.(RA選三P61習題7.2第4題改編)某位射箭運動員命中目標箭靶的環(huán)

數(shù)

X

的分布列如下表:

X

678910

P

0.050.150.25

a

b

如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀,那么他一次射擊成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是

C

)A.0.35B.0.20C.0.55D.0.8C3.(RA選三P71習題7.3第7題改編)甲、乙兩種品牌的手表,它們的日

走時誤差分別為

X

Y

(單位:s),其分布列如下表:甲品牌手表的日走時誤差分布列

X

-101

P

0.10.80.1

Y

-101

P

0.150.70.15下列說法正確的是(

A

)A.甲種品牌手表的性能較好B.乙種品牌手表的性能較好C.兩種品牌手表的性能一樣好D.無法確定哪種品牌手表的性能較好A乙品牌手表的日走時誤差分布列4.(多選)(RA選三P71習題7.3第3題改編)某種果樹的產(chǎn)量

X

(單

位:千克)的分布列為

P

X

=0)=0.2,

P

X

=3)=

a

,

P

X

6)=

b

.已知

E

X

)=3,則下列說法正確的是(

ABD

)A.

a

=0.6B.

b

=0.2C.

D

X

)=12D.若每千克水果的利潤為8元,則利潤的期望為24元ABD5.(RA選三P71習題7.3第4題改編)在單項選擇題中,每道題有四個選

項,其中僅有一個選項正確.從四個選項中隨機選一個,選對的概率為

0.25.若選對得分

X

,選錯得分

Y

?,則隨機選擇時,每

題得分的均值為0.

(答案不唯一)3

-1

(答案不唯一)

總結(jié)提煉

1.利用分布列中隨機變量取各個值時的概率之和為1可求參數(shù)的值.2.注意檢驗,以保證隨機變量取各個值時的概率均為非負數(shù).考向2

數(shù)字特征的計算例2(1)

已知隨機變量

X

的分布列如下表:

X

012

P

2

a

b

a

a

b

則隨著

b

的增大,下列說法正確的是(

B

)BA.

E

X

)增大,

D

X

)越來越大B.

E

X

)增大,

D

X

)先增大后減小C.

E

X

)減小,

D

X

)先減小后增大D.

E

X

)增大,

D

X

)先減小后增大(2)

(多選)(2022·菏澤??迹┮阎x散型隨機變量

X

的分布列

如下表:

X

01234

P

q

0.40.10.20.2若離散型隨機變量

Y

滿足

Y

=2

X

+1,則下列結(jié)果正確的有

(ABC)ABCA.

q

=0.1B.

E

X

)=2C.

E

Y

)=5D.

D

X

)=1.4[拓展探究]設(shè)

E

X

)=μ,

a

是不等于μ的常數(shù),探究

X

相對于μ的偏離程度與

X

對于

a

的偏離程度的大小,并說明結(jié)論的意義.解:設(shè)隨機變量

X

的所有可能取值為

x

1,

x

2,…,

xn

,對應(yīng)的概率分

別為

p

1,

p

2,…,

pn

,則

X

相對于μ的偏離程度

D

1=(

x

1-μ)2

p

1+

x

2-μ)2

p

2+…+(

xn

-μ)2

pn

.因為μ≠

a

,不妨設(shè)μ=

a

t

t

≠0),所以

X

相對于

a

的偏離程度

D

2=(

x

1-

a

)2

p

1+(

x

2-

a

)2

p

2+…+

xn

a

)2

pn

=(

x

1-μ+

t

)2

p

1+(

x

2-μ+

t

)2

p

2+…+(

xn

-μ

t

)2

pn

=[(

x

1-μ)2

p

1+(

x

2-μ)2

p

2+…+(

xn

-μ)2

pn

]+[2

t

x

1-μ)

p

1+2

t

x

2-μ)

p

2+…+2

t

xn

-μ)

pn

]+[

t

2

p

1+

t

2

p

2

+…+

t

2

pn

]=

D

1+2

t

[(

x

1-μ)

p

1+(

x

2-μ)

p

2+…+(

xn

-μ)

pn

]+

t

2=

D

1+2

t

[

x

1

p

1+

x

2

p

2+…+

xnpn

-μ(

p

1+

p

2+…+

pn

)]+

t

2=

D

1+2

t

(μ-μ)+

t

2=

D

1+

t

2>

D

1.所以

X

相對于

a

的偏離程度大

X

相對于μ的偏離程度.這個結(jié)論的意義是說明了

X

相對于μ的偏離程

度(即

X

的方差)是

X

相對于任意常數(shù)

a

的偏離程度中最小的,從而說

明了方差能很好地反映一組數(shù)據(jù)的集中與離散程度.[對點訓練]1.(2024·溫州模考)已知離散型隨機變量

X

的分布列如下表:

X

a

a

+1

a

+2

P

0.40.20.4則

D

X

)等于(

D

)A.0.4+

a

B.0.8+

a

C.0.4D.0.8D解:由分布列,可得

E

X

)=0.4

a

+0.2(

a

+1)+0.4(

a

+2)=

a

+1,所以

D

X

)=0.4(

a

a

-1)2+0.2(

a

+1-

a

-1)2+0.4(

a

+2-

a

-1)2=0.8.考點二

情境問題中的分布列例3某地發(fā)現(xiàn)6名疑似病例中有1人感染病毒,需要通過血清檢測確定

該感染人員,血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員,呈陰性表示沒感

染.擬采用兩種方案檢測:方案一:將這6名疑似病例的血清逐個檢測,直到能確定感染人員為止.方案二:將這6名疑似病例隨機分成2組,每組3人.先將其中一組的血清

混在一起檢測,若結(jié)果為陽性,則表示感染人員在該組中,然后再對該

組中的每份血清逐個檢測,直到能確定感染人員為止;若結(jié)果呈陰性,

則對另一組中每份血清逐個檢測,直到能確定感染人員為止.分別求出兩種方案中檢測次數(shù)的分布列.

X

12345

P

Y

23

P

Y

23P

總結(jié)提煉

離散型隨機變量的分布列的求解步驟(1)

確定取值:明確隨機變量的所有可能取值有哪些,以及每一個

取值所表示的意義.(2)

求概率:要弄清楚隨機變量的概率類型,利用相關(guān)公式求出變

量所對應(yīng)的概率.(3)

列表格:按規(guī)范形式寫出分布列.(4)

檢驗:利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.[對點訓練]

(2)

兩個回合后,用

X

表示A箱子中小球的個數(shù),用

Y

表示B箱子中小

球的個數(shù),求

X

Y

的分布列.

X

Y

-4-2024

P

X

7050-90

P

p

總結(jié)提煉

均值與方差的實際應(yīng)用(1)

隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了

隨機變量取值偏離于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變

量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較均

值,若均值相同,再用方差來決定.(2)

D

X

)表示隨機變量

X

E

X

)的偏離程度,

D

X

)越

大,表明偏離程度越大,說明

X

的取值越分散;反之,

D

X

)越

小,表明偏離程度越小,說明

X

的取值越集中.3.(2022·南通??迹┠持R競賽共有兩道不定項選擇題,每小題有4個

選項,并有多個選項符合題目要求.每題的評分標準

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