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文檔簡介
2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】了解離散型隨機變量的概念,會求離散型隨機變量的分
布列;理解離散型隨機變量的均值、方差、標準差的意義,會用離散型
隨機變量的均值、方差解決有關(guān)實際問題.【考情概述】離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征是解決情境中的概
率問題的重要工具之一,常以解答題的形式進行考查,屬于高頻考點,
難度中等.
知識梳理1.隨機變量(1)
隨機變量:對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一
的實數(shù)
X
(ω)與之對應(yīng),我們稱
X
為隨機變量.(2)
離散型隨機變量:可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量.(3)
隨機變量的線性關(guān)系:若
X
是隨機變量,
Y
=
aX
+
b
,
a
,
b
是常
數(shù),則
Y
也是隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)
一般地,設(shè)離散型隨機變量
X
的可能取值為
x
1,
x
2,…,
xn
,我
們稱
X
取每一個值
xi
的概率
P
(
X
=
xi
)=
pi
,
i
=1,2,…,
n
為
X
的
概率分布列,簡稱分布列.以表格的形式表示如下:
X
x
1
x
2…
xn
P
p
1
p
2…
pn
(2)
離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①
pi
(
i
=1,2,…,
n
)的取值范圍是
?;②
p
1+
p
2+…+
pn
=
?.[0,1]
1
3.離散型隨機變量的數(shù)字特征數(shù)字特征公式作用均值(期望)
E
(
X
)=
?反映了離散型隨機變量取值
的
?方差
D
(
X
)=
?
?刻畫了隨機變量
X
與其均值
的
?標準差說明:(1)
隨機變量的均值是常數(shù);樣本的平均數(shù)是變量,不確定.(2)
隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量的取值與其均值的
偏離程度,反映了隨機變量的取值的離散程度.方差或標準差越小,隨
機變量的取值越集中.
平均水平
E
(
X
))2
pi
偏離程度常用結(jié)論1.均值與方差的性質(zhì)(1)
E
(
aX
+
b
)=
(
a
,
b
為常數(shù)).(2)
D
(
aX
+
b
)=
(
a
,
b
為常數(shù)).(3)
E
(
X
1+
X
2)=
?.2.均值與方差的關(guān)系
aE
(
X
)+
b
a
2
D
(
X
)E
(
X
1)+
E
(
X
2)回歸課本1.判斷:(1)
(RA選三P60練習第2(1)題改編)拋擲甲、乙2顆質(zhì)地均勻的骰
子,“所得點數(shù)之和為3”表示1個樣本點,即“一顆的點數(shù)為1,一顆
的點數(shù)為2”.
(
?
)(2)
(RA選三P58性質(zhì)改編)在離散型隨機變量的分布列中,隨機變
量取各個值時的概率之和可以小于1.
(
?
)(3)
(RA選三P64性質(zhì)改編)
隨機變量的均值與樣本的均值一定相同.
(
?
)(4)
(RA選三P68定義改編)隨機變量的方差越大,則隨機變量的取
值越分散.
(
√
)???√2.(RA選三P61習題7.2第4題改編)某位射箭運動員命中目標箭靶的環(huán)
數(shù)
X
的分布列如下表:
X
678910
P
0.050.150.25
a
b
如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀,那么他一次射擊成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是
(
C
)A.0.35B.0.20C.0.55D.0.8C3.(RA選三P71習題7.3第7題改編)甲、乙兩種品牌的手表,它們的日
走時誤差分別為
X
和
Y
(單位:s),其分布列如下表:甲品牌手表的日走時誤差分布列
X
-101
P
0.10.80.1
Y
-101
P
0.150.70.15下列說法正確的是(
A
)A.甲種品牌手表的性能較好B.乙種品牌手表的性能較好C.兩種品牌手表的性能一樣好D.無法確定哪種品牌手表的性能較好A乙品牌手表的日走時誤差分布列4.(多選)(RA選三P71習題7.3第3題改編)某種果樹的產(chǎn)量
X
(單
位:千克)的分布列為
P
(
X
=0)=0.2,
P
(
X
=3)=
a
,
P
(
X
=
6)=
b
.已知
E
(
X
)=3,則下列說法正確的是(
ABD
)A.
a
=0.6B.
b
=0.2C.
D
(
X
)=12D.若每千克水果的利潤為8元,則利潤的期望為24元ABD5.(RA選三P71習題7.3第4題改編)在單項選擇題中,每道題有四個選
項,其中僅有一個選項正確.從四個選項中隨機選一個,選對的概率為
0.25.若選對得分
X
=
,選錯得分
Y
=
?,則隨機選擇時,每
題得分的均值為0.
(答案不唯一)3
-1
(答案不唯一)
總結(jié)提煉
1.利用分布列中隨機變量取各個值時的概率之和為1可求參數(shù)的值.2.注意檢驗,以保證隨機變量取各個值時的概率均為非負數(shù).考向2
數(shù)字特征的計算例2(1)
已知隨機變量
X
的分布列如下表:
X
012
P
2
a
-
b
a
a
+
b
則隨著
b
的增大,下列說法正確的是(
B
)BA.
E
(
X
)增大,
D
(
X
)越來越大B.
E
(
X
)增大,
D
(
X
)先增大后減小C.
E
(
X
)減小,
D
(
X
)先減小后增大D.
E
(
X
)增大,
D
(
X
)先減小后增大(2)
(多選)(2022·菏澤??迹┮阎x散型隨機變量
X
的分布列
如下表:
X
01234
P
q
0.40.10.20.2若離散型隨機變量
Y
滿足
Y
=2
X
+1,則下列結(jié)果正確的有
(ABC)ABCA.
q
=0.1B.
E
(
X
)=2C.
E
(
Y
)=5D.
D
(
X
)=1.4[拓展探究]設(shè)
E
(
X
)=μ,
a
是不等于μ的常數(shù),探究
X
相對于μ的偏離程度與
X
相
對于
a
的偏離程度的大小,并說明結(jié)論的意義.解:設(shè)隨機變量
X
的所有可能取值為
x
1,
x
2,…,
xn
,對應(yīng)的概率分
別為
p
1,
p
2,…,
pn
,則
X
相對于μ的偏離程度
D
1=(
x
1-μ)2
p
1+
(
x
2-μ)2
p
2+…+(
xn
-μ)2
pn
.因為μ≠
a
,不妨設(shè)μ=
a
+
t
(
t
≠0),所以
X
相對于
a
的偏離程度
D
2=(
x
1-
a
)2
p
1+(
x
2-
a
)2
p
2+…+
(
xn
-
a
)2
pn
=(
x
1-μ+
t
)2
p
1+(
x
2-μ+
t
)2
p
2+…+(
xn
-μ
+
t
)2
pn
=[(
x
1-μ)2
p
1+(
x
2-μ)2
p
2+…+(
xn
-μ)2
pn
]+[2
t
(
x
1-μ)
p
1+2
t
(
x
2-μ)
p
2+…+2
t
(
xn
-μ)
pn
]+[
t
2
p
1+
t
2
p
2
+…+
t
2
pn
]=
D
1+2
t
[(
x
1-μ)
p
1+(
x
2-μ)
p
2+…+(
xn
-μ)
pn
]+
t
2=
D
1+2
t
[
x
1
p
1+
x
2
p
2+…+
xnpn
-μ(
p
1+
p
2+…+
pn
)]+
t
2=
D
1+2
t
(μ-μ)+
t
2=
D
1+
t
2>
D
1.所以
X
相對于
a
的偏離程度大
于
X
相對于μ的偏離程度.這個結(jié)論的意義是說明了
X
相對于μ的偏離程
度(即
X
的方差)是
X
相對于任意常數(shù)
a
的偏離程度中最小的,從而說
明了方差能很好地反映一組數(shù)據(jù)的集中與離散程度.[對點訓練]1.(2024·溫州模考)已知離散型隨機變量
X
的分布列如下表:
X
a
a
+1
a
+2
P
0.40.20.4則
D
(
X
)等于(
D
)A.0.4+
a
B.0.8+
a
C.0.4D.0.8D解:由分布列,可得
E
(
X
)=0.4
a
+0.2(
a
+1)+0.4(
a
+2)=
a
+1,所以
D
(
X
)=0.4(
a
-
a
-1)2+0.2(
a
+1-
a
-1)2+0.4(
a
+2-
a
-1)2=0.8.考點二
情境問題中的分布列例3某地發(fā)現(xiàn)6名疑似病例中有1人感染病毒,需要通過血清檢測確定
該感染人員,血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員,呈陰性表示沒感
染.擬采用兩種方案檢測:方案一:將這6名疑似病例的血清逐個檢測,直到能確定感染人員為止.方案二:將這6名疑似病例隨機分成2組,每組3人.先將其中一組的血清
混在一起檢測,若結(jié)果為陽性,則表示感染人員在該組中,然后再對該
組中的每份血清逐個檢測,直到能確定感染人員為止;若結(jié)果呈陰性,
則對另一組中每份血清逐個檢測,直到能確定感染人員為止.分別求出兩種方案中檢測次數(shù)的分布列.
X
12345
P
Y
23
P
Y
23P
總結(jié)提煉
離散型隨機變量的分布列的求解步驟(1)
確定取值:明確隨機變量的所有可能取值有哪些,以及每一個
取值所表示的意義.(2)
求概率:要弄清楚隨機變量的概率類型,利用相關(guān)公式求出變
量所對應(yīng)的概率.(3)
列表格:按規(guī)范形式寫出分布列.(4)
檢驗:利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.[對點訓練]
(2)
兩個回合后,用
X
表示A箱子中小球的個數(shù),用
Y
表示B箱子中小
球的個數(shù),求
X
-
Y
的分布列.
X
-
Y
-4-2024
P
X
7050-90
P
p
總結(jié)提煉
均值與方差的實際應(yīng)用(1)
隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了
隨機變量取值偏離于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變
量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較均
值,若均值相同,再用方差來決定.(2)
D
(
X
)表示隨機變量
X
對
E
(
X
)的偏離程度,
D
(
X
)越
大,表明偏離程度越大,說明
X
的取值越分散;反之,
D
(
X
)越
小,表明偏離程度越小,說明
X
的取值越集中.3.(2022·南通??迹┠持R競賽共有兩道不定項選擇題,每小題有4個
選項,并有多個選項符合題目要求.每題的評分標準
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