備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9.5三定問題及最值(精練)(原卷版+解析)

9.5三定問題及最值（精練）（提升版）題組一題組一定點(diǎn)1．（2022·成都模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，橢圓C的右頂點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4．（1）求橢圓C和拋物線E的方程；（2）設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則在x軸上是否存在點(diǎn)H，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由已知得，∴，．∴橢圓的方程為．∴橢圓的右頂點(diǎn)為．∴，解得．∴拋物線的方程為．（2）解：由題意知直線l的斜率存在且不為0．設(shè)直線的方程為，，．由消去y，得．∴，∴．∴，．∴．∴．∴，∴．∴，此時(shí)．∴直線l的方程為．假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分，則直線的斜率與直線的斜率之和為，設(shè)，，由消去，得．∴，即恒成立．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．解得．∴在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分．2．（2022·遼寧模擬）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段OP交圓于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，垂足R，過點(diǎn)Q作l的垂線，垂足為S．（1）求點(diǎn)S的軌跡方程C；（2）已知點(diǎn)，過的直線l交曲線C于M，N，且直線AM，AN與直線交于E，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)的中點(diǎn)是定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（1）（2）【解析】（1）解：設(shè)由題意可得所以，所以代入得點(diǎn)S的軌跡方程（2）證明：設(shè)直線l的方程為，直線AM方程為：，令直線AN方程為：，令所以E，F(xiàn)的中點(diǎn)為3．（2022·煙臺(tái)模擬）已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.又當(dāng)位于上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，即.又，所以，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：由題知，直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，設(shè)，，將直線代入橢圓的方程得：，由韋達(dá)定理得：，，直線的方程為，直線的方程為，所以，，所以以為直徑的圓為，整理得：.①因?yàn)?，令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點(diǎn).題組二題組二定值1（2022·河?xùn)|模擬）橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由橢圓的離心率，則，又，解得：，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）證明：因?yàn)?，P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為聯(lián)立整理得．則，故，則．所以又直線AD的方程為．聯(lián)立，解得由三點(diǎn)，共線，得，所以．的斜率為．則．為定值2．（2022·四川模擬）在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為3的線段AB的兩端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l與（1）中的軌跡E交于C，D兩點(diǎn)，是否存在定實(shí)數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在實(shí)數(shù)，使得為定值為5．【解析】（1）解：設(shè)由，得，即而，即．所以，即．（2）解：假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．由，消去y，得．則．所以，，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，若則．綜上，存在實(shí)數(shù)，使得為定值為5．3．（2022·西安模擬）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，、是離心率為的橢圓S的焦點(diǎn).（1）求橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過原點(diǎn)O的兩條直線和，，與橢圓S交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓S交于M、N兩點(diǎn).求證：原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：化拋物線C：的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即C：.得拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓S的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c.則由題意得，，得.∴，又橢圓S的焦點(diǎn)在y軸上.∴橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意知A、O、B共線，M、O、N共線，且，又由橢圓的對(duì)稱性，知，.∴四邊形AMBN為菱形，且原點(diǎn)O為其中心，AM、BN為一組對(duì)邊.∴原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等下面求原點(diǎn)O到直線AM的距離.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限.當(dāng)直線AM的斜率為零或不存在時(shí)，四邊形AMBN為正方形，直線AB和直線MN的方程分別為和，且軸或軸.設(shè)，則或.于是，有，得.原點(diǎn)O到直線AM的距離為.當(dāng)直線AM的斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)AM：.由，消去并整理得，且.設(shè)，，則，，∴.由，得，即，得，滿足.∴原點(diǎn)O到直線AM的距離為.∴原點(diǎn)O到直線BN的距離也為.綜上所述，原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.4．（2022·浙江模擬）已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，PF=2，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，且直線交軸于，直線交軸于．（1）求拋物線C的方程（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）設(shè)為原點(diǎn)，，，求證：為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，PF=1+2解得，故拋物線方程為：（2）解：由題意，直線的斜率存在且不為，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組可得，消可得，，且，解得，且，則，，又、要與軸相交，直線不能經(jīng)過點(diǎn)，即，故直線的斜率的取值范圍是；（3）證明：設(shè)點(diǎn)，，則，，因?yàn)?，所以，故，同理，直線的方程為，令，得，同理可得，因?yàn)?，，為定值．題組三題組三最值1．（2022·浙江模擬）如圖，已知點(diǎn)，分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)左側(cè)，過和的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）記，MD分別與直線FG交于Q，R兩點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）（2）24【解析】（1）解：由題意，橢圓，可得，可得，因?yàn)槭禽S上一點(diǎn)，且在點(diǎn)左側(cè)，設(shè)，其中，則直線的斜率，即直線斜率的取值范圍為（2）解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得，由，則，，，所以，，則，又由，則，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值是24.2．（2022·南充模擬）已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C相切于點(diǎn)，連接PF交拋物線于另一點(diǎn)A，過點(diǎn)P作l的垂線交拋物線于另一點(diǎn)B．（1）若，求直線l的方程；（2）求三角形PAB面積S的最小值．【答案】（1）（2）16【解析】（1）解：由得，．所以，y=x24?所以在點(diǎn)P處的切線l方程為：，即．（2）解：設(shè)，，，由，則，．因?yàn)锳、F、P三點(diǎn)共線，所以．所以，由于，故，即．所以．由于，所以得．直線PB方程：，即．設(shè)A到直線PB的距離為d，則又所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以面積的最小值為16．題組四定直線題組四定直線1．（2022·宜賓模擬）設(shè)拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)為8．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的兩條直線分別與曲線交于點(diǎn)A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點(diǎn)在直線上．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）解：：的準(zhǔn)線：設(shè)到的距離為，由已知得，∴，∴，∴∴的方程為（2）證明：設(shè)，∵，∴∴，∴代入得∴∴∵點(diǎn)N在拋物線內(nèi)部，∴，，∴同理∴，是關(guān)于的方程的兩根，∴，∴∴的中點(diǎn)在直線上．2．（2022·和平模擬）已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設(shè)過點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【答案】見解析【解析】（1）解：由，由，，故，∴，∴，∴，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：假設(shè)滿足條件的直線存在，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合題意，不妨設(shè)直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?，，得，即?），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.3．（2022·齊齊哈爾模擬）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，且，直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，直線AM與BN交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在定直線上．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由可知，拋物線C的準(zhǔn)線為：，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線定義：，，拋物線C的方程為；（2）解：設(shè)，，，，，．，，由，，得，即，同理，由得…①，由得…②，①②兩式相加得，即，，，點(diǎn)T在定直線上．綜上，拋物線C的方程為.4．（2022·聊城模擬）已知橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，M為C上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，），直線，相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由橢圓C的離心率為得①，由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)M為橢圓上（或下）頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，②，又，結(jié)合①②可解得，，所以橢圓C的方程為.（2）證明：由過的直線l不過，，可設(shè)其直線方程為，把代入，得，，即，設(shè)，，則，，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，則，把及代入上式，得，整理得，故點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上，得證.5．（2022·河南模擬）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)G，證明：點(diǎn)G在定直線上，并求出此定直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)镃過點(diǎn)，所以，解得．所以C的方程為．（2）證明：由題意，設(shè)，則，．由，整理得，則，解得且，，．由得：，所以點(diǎn)G在定直線上．9.5三定問題及最值（精練）（提升版）題組一題組一定點(diǎn)1．（2022·成都模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，橢圓C的右頂點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4．（1）求橢圓C和拋物線E的方程；（2）設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則在x軸上是否存在點(diǎn)H，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2022·遼寧模擬）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段OP交圓于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，垂足R，過點(diǎn)Q作l的垂線，垂足為S．（1）求點(diǎn)S的軌跡方程C；（2）已知點(diǎn)，過的直線l交曲線C于M，N，且直線AM，AN與直線交于E，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)的中點(diǎn)是定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)3．（2022·煙臺(tái)模擬）已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).題組二題組二定值1（2022·河?xùn)|模擬）橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．2．（2022·四川模擬）在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為3的線段AB的兩端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l與（1）中的軌跡E交于C，D兩點(diǎn)，是否存在定實(shí)數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2022·西安模擬）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，、是離心率為的橢圓S的焦點(diǎn).（1）求橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過原點(diǎn)O的兩條直線和，，與橢圓S交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓S交于M、N兩點(diǎn).求證：原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.4．（2022·浙江模擬）已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，PF=2，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，且直線交軸于，直線交軸于．（1）求拋物線C的方程（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）設(shè)為原點(diǎn)，，，求證：為定值．題組三題組三最值1．（2022·浙江模擬）如圖，已知點(diǎn)，分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)左側(cè)，過和的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）記，MD分別與直線FG交于Q，R兩點(diǎn)，求面積的最小值.2．（2022·南充模擬）已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C相切于點(diǎn)，連接PF交拋物線于另一點(diǎn)A，過點(diǎn)P作l的垂線交拋物線于另一點(diǎn)B．（1）若，求直線l的方程；（2）求三角形PAB面積S的最小值．題組四定直線題組四定直線1．（2022·宜賓模擬）設(shè)拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)為8．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的兩條直線分別與曲線交于點(diǎn)A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點(diǎn)在直線上．2．（2022·和平模擬）已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設(shè)過點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.3．（2022·齊齊哈爾模擬）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物