高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xeACuA,xeA.

2.德摩根公式

弓(An8)=QAuCc,B;Cu(AuB)=GAnCo8.

3.包含關(guān)系

An8=AoAU8=8?AcB?CL,BcCVA

=An，B=(D=Q,AUB=R

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB一card(4PlB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)

—card(Afl5)—card(BDC)—card(CPlA)+card(/IPl5ClC).

5.集合｛%,出，…，《J的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1

個(gè)；非空的真子集有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(aH0);

(2)頂點(diǎn)式/(x)=a(x-/z)2+k(aW0);

(3)零點(diǎn)式/(x)=a(x-xj(x-x2)(a

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

M+N,M-Nf(x)-N,、

Q"(x)一---------1<----------=------>0

22M-fM

11

=-------->-------.

f(x)—NM-N

8.方程/(x)=0在的,七)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與/困)/(&)<0不等價(jià)，前者是后

者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程狽2+以+。=0(。。0)有且只有一個(gè)實(shí)根在

bk+k

(占，葭)內(nèi)，等價(jià)于/(占)/(心)<0,或/(匕)=0且％<—=<」一或/(葭)=0且

2。2

%+hb,

-------<------<k>

2la2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

b

二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aH0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在x=———處及區(qū)

2a

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

/?h

⑴當(dāng)a>0時(shí)，若X=-丁e［p，q］，則/(x)min=/(一丁)，/(X)max=max｛/(P)，/⑷｝；

2a2a

-一二任區(qū)引，/(x)

{/(P)，/⑷}，/OOmin=min{/(P)，/⑷}?

2amaxmax

b

⑵當(dāng)a<0時(shí)，若x=--e[p,q],則/Wmin=min{/(/?),/(<7)},若

x=-任[p,<d，則/(x)max=max{/(p)J(q)},/(x)min=min{/(p),/(^)}.

2a

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(機(jī))/(〃)<(),則方程/(x)=0在區(qū)間(根,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/(x)=/+px+q,貝ij

p2-4q>Q

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(九+8)內(nèi)有根的充要條件為〃M=O或《；

I\--2>m

)(祖)〉0

/(?)>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(〃z,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(〃?)/(〃)<0或1p2_4q20

m<----<n

I2

/(〃?)=0f/(n)=0

af(n)>0[af(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(x)=O在區(qū)間(-8,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(,”)<0或4p.

--<m

I2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(7,一)的子區(qū)間L(形如[a,￡],(—8,￡],[a,+8)不同)上含參數(shù)

的二次不等式/(x,f)20(f為參數(shù))恒成立的充要條件是/(x,z)min>0(xgL).

(2)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/(x,f)20(f為參數(shù))恒成立

的充要條件是

a>0

a<

(3)/(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要條件是?或《

八h~-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有(〃一1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(〃+1)個(gè)

對所有X,存在某X，

成立不成立p或q—1〃且一

對任何X,存在某X,

不成立成立P且q—ip或一

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若p=>q,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若q=>p,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且“np,則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

⑴設(shè)玉?3那么

(王一々)"(王)一/(々)]〉0=△^匕g>Oo/(x)在L，"上是增函數(shù);

(一一%2)[/0)—/(7)]<00JU)—〃々)<0=/(X)在[㈤上是減函數(shù).

X|—x2

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果

f\x)<0,則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減

函數(shù)；如果函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

y=/[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函

數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)>=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(—x—a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函

數(shù)，則/(x+a)=/(-x+a).

20.對于函數(shù)y=/(x)(xeR),f(x+a)=/(b—x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對稱軸是

函數(shù)兩個(gè)函數(shù)丁=/(犬+.)與>=f(b-x)的圖象關(guān)于直線％=V?對稱.

21.若f(x)^-f(-x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(y,0)對稱；若

/(x)=-/(x+a),則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

n

22.多項(xiàng)式函數(shù)尸(x)=anx+an_tx"-'+…+4的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱=f(a+x)=f(a-x)

=>f(2a-x)=f(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=+對稱=f(a+mx)^f(b-mx)

<=>f(a+b—mx)=f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=—mx)的圖象關(guān)于直線x=*對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=/t(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移6個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-a)+b的圖

象；若將曲線/(x,y)=O的圖象右移。、上移匕個(gè)單位，得到曲線/(x-a,)，一份=0的圖

象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=bofT(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(乙+6)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=L"T(x)-切，并不是

k

y="T伙x+。)，而函數(shù)y="T(履+切是);=_1"(%)一切的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)/(x)=cx,/(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)/(勸二優(yōu),f(x+y)=/(x)/(y)J(l)=。W0.

⑶對數(shù)函數(shù)/(x)=log.X,f(xy)=y(x)+/(y)J(a)=l(a>0,4H1).

(4)事函數(shù)/(x)=x",/(盯)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)，

/(0)=l,lim由2=1.

X

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或/(x+a)=--^—(/(x)H0)，

f(x)

^f(x+a)=--^—(/(x)H0),

/(x)

或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,1])，則”x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1——(/(x)中0)，則/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)/(x,+x2)=/乎旦且/(?)=1(/(玉)-/(x2)H1,0<1x,-x,l<2a)，則

f(x)的周期T=4a；

(5)/(x)+/(%+〃)+/(%+勿)/(x+3cz)+f(x+4a)

=/a)/(x+a)/(x+20/a+%)/(x+甸，則f(x)的周期T=5a；

(6)/(x4-a)=/(x)-/(x+a),則/(%)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

場1

(1)an--r——：(a>O,m,neN',且〃>1).

yjam

上1

⑵a"=—(。>0,冽,〃eN*,且〃>1).

an

31.根式的性質(zhì)

(1)(V^r=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，=\a\=<a"a.

—a,a<0

32.有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ara'-ar+s(a>O,r,seQ).

(2)(ar)s=ar'(a>O,r,seQ).

(3)(aby-arbr(a>O,b>O,reQ).

注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則才表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)辱的運(yùn)算性

質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)得都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log“N=8oa"=N(a>0,a，l,N>0)

34.對數(shù)的換底公式

logN

log0N=--—(。>0,且且wiHl,N>0).

log,”a

fl

推論log,”/?"=—log,*(a>0,Ka>1,且加Wl,N>Q).

am

35.對數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,a#LM>0,N>0,則

⑴log/MN)=log“M+log〃N;

M

⑵LOGAAF=1O86,M-1OS,,;V:

n

(3)log(,M=nlogflM(neR).

36.設(shè)函數(shù)，(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aH0),記△=/-4ac.若/(x)的定義域?yàn)?/p>

R,則a>0,且A<0;若/(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且A20.對于a=0的情形，需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0,b>0,x>0,x,則函數(shù)y=logM(/?x)

a

(D當(dāng)a>b時(shí)，在(0,-)和(，,+8)上y=logflt0x)為增函數(shù).

aa

(2)當(dāng)〃</?時(shí)，在(0-)和(L+8)上y=log“3x)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃,例>1，p>0，a>0>且QWI，貝IJ

⑴log』(〃+P)<log/?

/、1,T2m+n

(2)log“機(jī)log“〃<log”.

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+p),

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

(數(shù)歹I」｛a,,｝的前n項(xiàng)的和為s=a+a+???+a).

S"一s,i，“？2H12n

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=q+(n-V)d=dn+al-d(n&N)；

其前n項(xiàng)和公式為

+%)

=-/7"+(O|—-d)n.

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

nn

an=ayq~'=--q(neN*)；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

‘立㈡小

1-4

nax,q—\

或s“=彳l-<7.

n%,q=1

42.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=疝0+b)”_元(貸款&元,〃次還清，每期利率為h).

(1+/>)-1

43.常見三角不等式

JI

(1)若xw(0,—),則sinx<x<tanx.

2

(2)若工￡(0,工)，貝ijl<sinx+cosxW行.

2

(3)lsinxl+lcosxl>l.

44.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2^4-cos2=1,tan0-^^,tan6-cotO=1.

cos。

45,正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

.,nn、(一I/sina,（n為偶數(shù)）

sm(—+a)=<?

23

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

為偶數(shù))

rIt(n

，〃兀、(-l/cosa,

cos(—+?)=四(n為奇數(shù))

(-1)2sina,

45.和角與差角公式

sin(a±/?)=sinacos4土cosasin尸；

cos(a±')=cosacosP干sinasin,；

/,Q、tana±tan/?

tan(a±夕)=----------.

1+tan6ztan{5

sin(a+/?)sin(a-/?)usin?a-sin20(平方正弦公式);

cos(a+p)cos(a-p}-cos2a-sin2p.

asina+Ocosa=Js?+/sin（a+〃）（輔助角夕所在象限由點(diǎn)（a,。）的象限決

士b、

定，tan(p——).

a

46.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

2tana

tan2a=

l-tan26r

47.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（0x+°）,x￡R及函數(shù)y=cos（0x+Q）,x￡R（A,3,Q為常數(shù)，且AHO,

3>0）的周期T=生；函數(shù)丁=tan（&x+8）,工。%乃+乙,攵￡Z（A,3,9為常數(shù)，且A

co2

rr

W0,3>0)的周期7=—.

CO

48.正弦定理

上=工=-=2R.

sinAsinBsinC

49.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA;

h2=c2+/-2cacosB;

c2=a2+/-2abeosC.

50.面積定理

(1)5--ah=—bh=—ch(A>h>也.分別表示a、b^c邊上的高).

22h2h

(2)S=—ahsinC=—hesinA=-easinB.

222

22

(3)SSOAB=Iyl(\OA\\OB\)-(OAOB).

51.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+6+C=〃=C=萬一(A+8)

C7tA+8~1n、

—=-------------2c=2萬一2(A+B).

222

52.簡單的三角方程的通解

sinx=a=x=女兀+(—1)“arcsinaeZ,lal<1).

cosx=aQx=2上〃±arccosa(AeZ,lal<l).

tanx=a=x=k%+arctana(keZ,aeR).

特別地,有

sina=sin0=a=氏+(-1)?伙keZ).

cosa=cos￡=a=2k兀±0(kwZ).

tana=tan/3=>a=k7V+j3(keZ).

53.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、口為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：A(\ia)=(Xp)a；

(2)第一分配律:(X+p)a=Xa+iia;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

54.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a,b=b,a(交換律)；

(2)(Aa),b=A(a?b)=2a,b=a,(Ab);

(3)(a+b)?c=a,c+b?c.

55.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一■平面內(nèi)的任一向量，有且

只有一對實(shí)數(shù)入I、入2,使得a=A?l+%202.

不共線的向量白、6叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

56.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)2=(占，H)4=(》2，%)，且b/0,則ab(b/O)<=>x,y2-x2yt=0.

57.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a,b=abIcos0.

58.a-b的幾何意義

數(shù)量積a,b等于a的長度lai與b在a的方向上的投影Iblcos0的乘枳.

59.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(X|,yJ,b=(x2,y2),則a+b=(占+々，州+力)?

(2)設(shè)a=(x,,j1),b=(x2,y2),則a-b=(x,-x2,yl-y2).

(3)設(shè)A(玉，yj,BC^,%)，則AB=OB-OA=(x2-xi,y2-y1).

(4)設(shè)a=(x,y)"eR,則4a=(2r"y).

a

⑸設(shè)a=(X1,yJ,b=(X2，%)，則,b=(x1x2+>'(y2).

60.兩向量的夾角公式

cose=/,絲+,??,(牛(再，弘)，b=(々，％))?

J芍+>：，?+貨

61.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAH=\AB\=y^ABAB

=小2-玉)2+(》2-弘)2(A(XQ]),B(x2,y2)).

62.向量的平行與垂直

設(shè)a=(X]，M),b=(九2，%)，且bWO,貝U

Ab=b=入a<^>x}y2-x2y{=0.

a_l_b(aHO)=a,b=0=xtx2+y,y2=0.

63.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(Xi，y)、B(x2,y2),C(X3,丫3),則aABC的重心的坐

標(biāo)是G(一+々+七，％+%+%).

64.點(diǎn)的平移公式

x=x+hx=x-h——；———：

<Q<QOP=OP+PP.

y=y+k[y=y—k

注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形廠上的對應(yīng)點(diǎn)為尸(x,y),且港的

坐標(biāo)為(九左).

65.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(〃,A)平移后得到點(diǎn)P(x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(〃,Z)平移后得到圖象C,則C'的函數(shù)解析式

為y=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(力，口平移后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)

解析式為y=/(x+力)一%.

(4)曲線C:〃x,y)=0按向量a=(%,A)平移后得到圖象C’,則?！姆匠虨?/p>

f(x-h,y-k)=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

66.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A45c所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對邊長分別為”,b,c,則

—2'—2

(1)。為的外心=OA^OB^OC.

(2)。為AA8C的重心=方+而+反=0.

(3)。為A48c的垂心Q次?麗=麗衣=玩用.

(4)。為AA6C的內(nèi)心oa萬+b赤+c瓦=0.

(5)。為A4BC的NA的旁心方=6礪+c近.

67.常用不等式：

(1)a]€/?=>1+從之2〃(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號).

(2)a,b&R+^—>4^b(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號).

2

(3)a3+b3+<?>3abe(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)\a,b,c,dwR.

(5)|a|-1/?|<+Z>|<|a|+|/?|.

68.極值定理

已知x,)，都是正數(shù)，則有

(1)若積xy是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2品；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積孫有最大值,$2.

推廣已知x,yeR,則有(x+y):=(x-y)2+2盯

(1)若積孫是定值，則當(dāng)lx-yI最大時(shí)，大+yI最大;

當(dāng)I工一yI最小時(shí)，Ix+yI最小.

(2)若和Ix+yl是定值，則當(dāng)lx-yl最大時(shí)，I孫I最小；

當(dāng)I工一yI最小時(shí)，IxyI最大.

69.一元二次不等式ax2++c>0(或<0)(aW0,A=/-4ac>0),如果。與

云+。同號，則其解集在兩根之外；如果。與。/+法+。異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

X[<X<尤2Q(X—X1)(尤-x2)<0(玉<x2);

了<士，或%>/2=(工一斗)(％_%2)>°(&<12),

70.含有絕對值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

\x\<ax2<a~-a<x<a.

兇〉。=工2>420%>?；蚬?lt;-a.

71.無理不等式

[/U)>0

⑴J/(x)>Jg(x)o<g(x)20

f(x)>g(x)

[/U)>0

/W>0

⑵"(X)>g(x)=?g(x)20或

g(x)<0

J(x)〉[g(x)f

/W>0

(3)J/(x)<g(x)Q<g(x)>0.

J(x)<[g(x)]2

72.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>l時(shí)，

afM>as(x)=/(x)>g(x)；

7(x)>0

log“/(x)>log”g(x)=<g(x)>0.

/(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，

a"x)>=/(X)<g(x)；

7(x)>0

log“/(x)>log.g(x)=<g(x)>0

/(x)<g(x)

73.斜率公式

^=—~~—(耳即弘)、P,(x2,y,)).

尤2f

74.直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=Mx-X1)(直線/過點(diǎn)<(X]，x),且斜率為A).

(2)斜截式y(tǒng)=Ax+8(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式■—―=—~五*(弘A%)(6(七，凹)、舄(工2，%)(%。%2)).

%一%々一再

(4)截距式三+上=1(”、b分別為直線的橫、縱截距，a、bHO)

ab

(5)一般式Ax+5)，+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

75.兩條直線的平行和垂直

(1)若4:y=k{x+b],l2:y=k2x-\-b2

①“I/20kl=k2,bt^b2-

②(JU?=A#2=-L

(2)若/]：4x+B/+G=0，/2：42%+82)?+。2=0,且A|、A2,B?都不為零,

①“I/,o&="聲三；

1

A2B2C2

②4以。44+5也=o；

76.夾角公式

⑴tana=1"^—-I.

1+e占

(/|：3=占％+4,l1'.y=k2x+b2,k}k2w-l)

(2)tana=1—----I.

44+8]52

(4：4x+6|)，+C|=0,/2：Ax+52y+C2=Q),A^+B,B2HO).

直線/1_L/2時(shí)、直線6與6的夾角是弓.

2

77.4到4的角公式

葭—k,

⑴tana=----L.

1+k2kl

(4:丫=卜聲+瓦,l2：y=k2x+b2.kxk2W-l)

AB)—A>B,

(2)tana----—.

4A,+8]

(A:Ax+^y+G=012：421+嗎丁+。2=O,4]4+3]B2AO).

直線時(shí)，直線。到/2的角是弓.

?2

78.四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)％(公，孔)的直線系方程為y—%=k(x—/)(除直線

x=x0)，其中人是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn)4(Xo，%)的直線系方程為

A(x-/)+8()，一%)=0，其中A8是待定的系數(shù).

(2)共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過兩直線4:Ax+Bj，+&=0,4：&x+B2y+。2=°的交點(diǎn)

的直線系方程為(4'+片〉+6)+；1(4犬+6”+。2)=0(除4)，其中人是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線y=H+b中當(dāng)斜率k一定而b變動時(shí)，表示平行直線

系方程.與直線4%+8丁+。=0平行的直線系方程是4》+8)，+；1=0(；1，0),人是

參變量.

(4)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=O(ANO,BWO)垂直的直線系方程是

砍一4丁+4=0,人是參變量.

79.點(diǎn)到直線的距離

d=四；也丁0，(點(diǎn)P(x°,%)，直線/：Ax+力+C=0).

>JA2+B2

80.Ax+3y+C>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ai+6)，+C=0,則Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若8/0,當(dāng)8與Ax+By+C同號時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)8與Ax+8y+C

異號時(shí)，表示直線/的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.

若8=0,當(dāng)A與Ar+By+C同號時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax+8)，+C

異號時(shí).，表示直線/的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.

81.(4小+4》+6)(48+32》+。2)〉0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線。：(4%+用)，+。1)(42%+約)，+。2)=0(444鳥。0)，貝1J

(A1X+4)，+C,)(A2X++。2)〉0或<0所表示的平面區(qū)域是：

(4x+與y+C,XAx+B2y+C2)>Q所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(Ax+B,y+C,)(A2X+B2>-+C2)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

82.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-fe)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>0).

(3)圓的參數(shù)方程\..

y=/7+rsin6

(4)圓的直徑式方程(光―玉)(X—z)+(y—%)(y—%)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是

A(X|,y)、BQ2,當(dāng)))?

83.圓系方程

(1)過點(diǎn)的圓系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+/l[(x-x1)(yl-x2)]=0

>

<=>(x-xl)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+2(ax+/?>+c)=0,其中ax+by+c=O是直線

AB的方程，入是待定的系數(shù).

⑵過直線/:Ax+8)，+C=0與圓C：/+>2+。、+或+/=0的交點(diǎn)的圓系方程

是廠+),-+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,入是待定的系數(shù).

(3)過圓G:『+y?+￡)M+&y+"=0與圓C2：x?+寸+D^x+E^y+F,=0的交

點(diǎn)的圓系方程是d+y+Ax+gy+K+^d+V+Ax+my+BhO,入是待定的

系數(shù).

84.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

22

點(diǎn)P(x0,%)與圓(X-?)+(y—32=r的位置關(guān)系有三種

若d=J(a-x())2+()一%)2,則

d>r<=>點(diǎn)P在圓外；d=ro點(diǎn)P在圓上；d<r=點(diǎn)尸在圓內(nèi).

85.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+為+C=0與圓(x-a)?+(y-〃)2=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種：

d>r。相離=△<();

d=r。相切=△=();

1<廠=相交=△>().

|74<2+Bb+C|

其中4=

互+聲

86.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0”。2,半徑分別為n,r2,\0102\=d

d>八+4q外離<=>4條公切線；

d=八十-2=外切Q3條公切線；

,一々|<dv八+GQ相交Q2條公切線；

“=卜1-々|Q內(nèi)切=1條公切線；

0cde、一々|=內(nèi)含=無公切線.

87.圓的切線方程

⑴已知圓x24-y24-￡）x+Ey+F=0.

①若已知切點(diǎn)（小，為）在圓上，則切線只有一條，其方程是

￡>(%+x)?E(%+y)?F=o.

■v+%y+

22

D（X°+X）++尸=表示過兩個(gè)切點(diǎn)

當(dāng)（Xo,%）圓外時(shí)，x（）x+%y+0

22

的切點(diǎn)弦方程.

②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為X。），再利用相切條件求k,這時(shí)必

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=+再利用相切條件求b,必有兩條切線.

（2）已知圓x2+y2=r2.

①過圓上的q）（Xo,%）點(diǎn)的切線方程為修彳+乂）/=/;

②斜率為k的圓的切線方程為y=kx土Rl+k）.

7

_2x=acos0

88.橢圓fx+y=1（。>6>0）的參數(shù)方程是<

CTFy=bsin0

2y2

89.橢圓一xf+=1（。>匕>0）焦半徑公式

aF

22

\PF^=e{x+-),\PF2\=e(--x).

cc

90.橢圓的的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓f+。~=1(〃>人>0)的內(nèi)部Q-v+<1-

a"ha"b"

2222

（2）點(diǎn)尸（玉）,y0）在橢圓—+=1（。>Z?>0）的外部<=>—^+電">1.

abab~

91.橢圓的切線方程

（1）橢圓.+與=13>b>0）上一點(diǎn)尸（玉P%）處的切線方程是誓+斗=1.

ahab?

22

（2）過橢圓,+3=l（a>b>0）外一點(diǎn)P（x0,九）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

寫+浮=1.

a2h2

X2v2

(3)橢圓f+2T=1(Q>6>0)與直線Ax+By+C=O相切的條件是

Q-b~

A2a2+B2h2=c2.

22

92.雙曲線二-J=1(。>0,b>0)的焦半徑公式

ab

22

\PFt\=\e(x+—)\,\PF2\^e(---x)l.

93.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)尸(Xo，y°)在雙曲線三一斗=l(a>0/>0)的內(nèi)部=存一4>1.

aab

2222

(2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線二一2=1(。>0,b>0)的外部=與一4<1.

ah~a~h~

94.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

(1)若雙曲線方程為「一斗=In漸近線方程：「一「=0=y=±2x.

a2b2a2b2-a

22

(2)若漸近線方程為y=±2xQ±±2=0n雙曲線可設(shè)為二一勺='.

aahab

2222

(3)若雙曲線與J-4=l有公共漸近線，可設(shè)為0-與,=九(X>0,焦點(diǎn)在x

a2b-a2b2

軸上，X<0,焦點(diǎn)在y軸上).

95.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線二—2=1(。>0力>0)上一點(diǎn)P(x0,%)處的切線方程是寫一邪=1.

ab-ab-

x2y2

(2)過雙曲線二一2T=13>“b>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

ab

a2b2

x2y2

(3)雙曲線—-2v=i(?>0,^>0)與直線Ax+By+C^0相切的條件是

a'b"

A2a2-B2b2=c2.

96.拋物線V=2px的焦半徑公式

拋物線V=20工5>0)焦半徑|?？?工0+].

過焦點(diǎn)弦長=X]+與++]="I+%2+P.

2

97.拋物線產(chǎn)=2px上的動點(diǎn)可設(shè)為P(江,以)或尸(2p〃,2pf)或P(x0,y。)，其中

2P

4=2px。.

98.二次函數(shù))，=o?+bx+c=a(x+=)2+'~匕(a。0)的圖象是拋物線：(1)頂

2a4。

點(diǎn)坐標(biāo)為(―")；(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(一2,4"°一'+1)；(3)準(zhǔn)線方程是

2。4。2a4。

4ac-b2-1