高中數(shù)學：教學設計：導數(shù)的概念

3.1.2導數(shù)的概念

［教學目的］:

1.了解導數(shù)形成的背景、思想和方法；正確理解導數(shù)的定義、幾何意義；

2.使學生在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率，建立導數(shù)的概念；掌握用導數(shù)

的定義求導數(shù)的一般方法

3.在教師指導下，讓學生積極主動地探索導數(shù)概念的形成過程，鍛煉運用分析、

抽象、歸納、總結(jié)形成數(shù)學概念的能力，體會數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應用。

［教學重點和難點］:導數(shù)的概念是本節(jié)的重點和難點

［教學方法］:講授啟發(fā)，自學演練。

［授課類型］:新授課

［課時安排］：1課時

［教具］:多媒體、實物投影儀

［教學過程］

一、復習提問（導數(shù)定義的引入）

1.什么叫瞬時速度？（非勻速直線運動的物體在某一時刻tO的速度）

2.怎樣求非勻速直線運動在某一時刻tO的速度？

在高臺跳水運動中，如果我們知道運動員相對于水面的高度力（單位：m）

與起跳后的時間f（單位：s）存在關(guān)系M0=-4.9尸+6.5f+10,那么我們就會計

算任意一段的平均速度3,通過平均速度G來描述其運動狀態(tài)，但用平均速度不

一定能反映運動員在某一時刻的瞬時速度，那么如何求運動員的瞬時速度呢？問

題：2秒時的瞬時速度是多少？

二、新課

我們現(xiàn)在會算任意一段的平均速度，先來觀察一下2秒附近的情況。先計算

2秒之前的加時間段內(nèi)的平均速度1請同學們完成表格1左邊部分，（事先準

備好的），再完成表格的右邊部分〉

表格1

&<0時，在［2+8,2］這段時間內(nèi)&>0時，在［2,2+&］這段時間內(nèi)

-加2)-奴2+&)49&2+13.1&-凱2+4)-a(2)-4.9&2-13.1&

V=-------------=----------------

2-(2+&)-(2+A。-2&

=-13.1=-4.9母-13.1

當&=-0.01時，&=-13.051；。當&=0.01時，&=-13.0511

當&=-0.001時，&=-13.0951；，當&=0.001時，Az=-13.0951；，

當M=-0.001時，&=-13.09951；，當M=0.001時，4=-13.09955

當&=-0.0001時，&=-13.099951；，當&=0.0001時，&=-13.099951一

當&=-0.00001時，&=73.099951；，當&=0.00001時,&=-13.099951；，

...,...

表格2

加<0時，在［2+加,2］這段時間內(nèi)加>0時，在［2,2+4］這段時間內(nèi)

-_〃⑵-〃(2+加)_4442+1334__從2+加)_從2)__4.942_133加

2-(2+加)--M(2+Az)—2Az

=—4.9加一13.1=-4.9Ar-13.1

當，=—0.01時，v=-13.051；當加=0.01時，v=-13.149；

當，=—0.001時，＞=—13.0951；當4=0.001時,v=-13.1049；

當&=一0.0001時，v=-13.09951；當A/=0.0001時,v=-13.10049；

當&=一0.00001時，v=-13.099當4=0.00001時，3=—13.100049；

951；

當&=一0.000001時，v=-13.099當A/=0.000001時，＞=一13.100004

9951；9；

OOOOOOOOOOOO

問題：1你能描述一下你算得的這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律嗎？（表格2）

關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對嗎？

2.當4趨近于0時，即無論，從小于2的一邊，還是r從大于2的一邊趨近于2

時，平均速度都趨近于一個確定的值T3.1相/s。

3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一個數(shù)都可以是某一段［2+加,2］上的平均速

度；

4.靠近-13.1且比T3.1小的任何一個數(shù)都可以是某一段［2,2+加］上的平均速

度；

5.-13.1表示在2秒附近，運動員的速度大約是T3.lm/s。

分析：7=2秒時有一個確定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于

瞬時速度，所以比T3.1大的數(shù)作為2秒的瞬時速度不合理，比T3.1小的數(shù)作

為2秒的瞬時速度也不合理，因此，運動員在2秒時的瞬時速度是T3.lm/s。

這樣，我們就得到了2秒時的瞬時速度是-13.lm/s,現(xiàn)在我們一起回憶一

下是如何得到的：

首先，算出［2,2+4］上的平均速度"Q+加）-力⑵=_4.94—13.1,接著觀察當加

Ar

趨近于0時，上式趨近于一個確定的值-13.1,這個值就是運動員在2秒時的瞬

時速度。為了表述方便，我們用］帚（2+加）一碓）=_］3.］

表示“當”2,加趨近于0時，平均速度：趨近于確定值T3.1”。

思考：當4趨近于。時，平均速度3有什么樣的變化趨勢？

結(jié)論：當4趨近于0時，即無論f從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨

近于2時，平均速度G都趨近于一個確定的值-13.1.

從物理的角度看，時間|加|間隔無限變小時，平均速度J就無限趨近于史的瞬

時速度，因此，運動員在f=2時的瞬時速度是-13.%/s

為了表述方便，我們用+⑵=一13」

goZ

表示“當f=2,加趨近于0時，平均速度工趨近于定值-13.1”

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬

時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。

3.函數(shù)y=/（x）在x=/處的瞬時變化率如何表示？

導數(shù)的定義（板書）

函數(shù))=/(x)在x=X。處的瞬時變化率是lim竺=lim,

AsoAJC加TOAX

我們稱它為函數(shù)丁=/(X)在X=X0處的導數(shù)，記作[(X。)或丹-頻，

即r(x0)=lira且=lim/(/+0-"工。)o例如：2秒時的瞬時速度可以表示為

°AxAr-?oAr

〃(2)=-13.1或)，1=2=一13.1。

附注：①導數(shù)即為函數(shù)尸F(xiàn)(x)在尸為處的瞬時變化率；

②定義的變化形式：/(x)=lim旦=lim./.

—(Ax)-t。AJC

f(x)=lim'=lim/(x)Ta。)；f(x)=lim小。一9一八%)；

?fo(Ar)xf&x-xQ—--Ax

Ax=x-x0,當Ax.0時，x-%,所以/'(尢°)=lim~

-x-x0

③求函數(shù)y=/(x)在x=x。處的導數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”。

三.典例分析

例1.(1)求函數(shù)片37在尸1處的導數(shù).

分析：先求△六八y=f(1+△才)-[(1)=6△戶(△x)4再求包=6+Ax再求

△x

lim筮=6

As。AX

3r2-3.123(y2-I2)

解：法一(略)；法二：y'L.=lim---------=lim---------=lim3(x+l)=6

-1%—]x—>1x—|x—>1

(2)求函數(shù)〃*)=-爐在》=—i附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù).

解："=(T+Ax)2+(l+Ax)—2=33

AxAr

rt(nrAy-(-1+Ax)2+(—1+Ar)—2

f(-1)=lim——=-------------------------=hm(3-Ax)=3

As。AxzkrN—o

例2.(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油

進行冷卻和加熱，如果第動時，原油的溫度(單位：℃)為

/(X)=X2-7X+15(0<X<8),計算第2〃時和第6〃時，原油溫度的瞬時變化率，

并說明它們的意義.

解：在第2〃時和第6〃時，原油溫度的瞬時變化率就是f(2)和/'(6)

根據(jù)導數(shù)定義，立="2+")二/(』)

AxAx

22

(2+Ar)-7(2+Ax)+15-(2-7x2+15)A.

=---------------------------------=Ax—J

Ar

所以"2)=lim"=lim(Ar-3)=-3；同理可得：/(6)=5

—Ax—

在第2〃時和第6〃時，原油溫度的瞬時變化率分別為-3和5,說明在2〃附近，原

油溫度大約以3C//Z的速率下降，在第6人附近，原油溫度大約以5c的速率

上升.

注：一般地，f(x0)反映了原油溫度在時刻與附近的變化情況.

17世紀，力學、航