微專題提優(yōu)講義6 兩曲線的公切線問題答案

微專題提優(yōu)講義6兩曲線的公切線問題兩曲線的公切線問題是高考的熱點題型之一.其中單一曲線的切線問題相對簡單，但兩曲線的公切線問題相對較復(fù)雜，其解題關(guān)鍵是“公切線”這一條件的轉(zhuǎn)化，即f'（x1）＝g'（x2）＝f（x具體做法為:設(shè)公切線在上的切點,在上的切點,則.一、共切點的公切線問題【例1】已知定義在（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）＝x2－m，h（x）＝6lnx－4x，設(shè)兩曲線y＝f（x）與y＝h（x）在公共點處的切線相同，則m＝5.解析：依題意，設(shè)曲線y＝f（x）與y＝h（x）在公共點（x0，y0）處的切線相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6lnx－4x，∴f'（x）＝2x，h'（x）＝6x－4，∴f（x0）＝?（x0),f'(x0點評求共切點的公切線的一般思路：①設(shè)兩曲線的公共切點P0（x0，y0）；②列關(guān)系式f（x0）＝?（x0),f'(x0）＝?'(x0);③求公共切點P0的橫坐標x0，再代入y＝f（x）或y＝h（x），求y0；④所求公切線方程為y－y0＝f'（x0）（x二、不同切點的公切線問題【例2】（1）已知曲線f（x）＝x3＋ax＋14在x＝0處的切線與曲線g（x）＝－lnx相切，則a的值為－e－（2）已知f（x）＝ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）＝lnx＋2，直線l是f（x）與g（x）的公切線，則直線l的方程為y＝ex或y＝x＋1.解析：（1）由f（x）＝x3＋ax＋14，得f'（x）＝3x2＋a.∵f'（0）＝a，f（0）＝14，∴曲線y＝f（x）在x＝0處的切線方程為y－14＝ax.設(shè)直線y－14＝ax與曲線g（x）＝－lnx相切于點（x0，－lnx0），g'（x）＝－1x，∴－lnx0－14＝ax0①，a＝－1x0②，將②代入①（2）設(shè)l與f（x）＝ex的切點為（x1，y1），則y1＝ex1，f'（x）＝ex，所以f'（x1）＝ex1，所以切點為（x1，ex1），切線斜率k＝ex1，所以切線方程為y－ex1＝ex1（x－x1），即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1①，同理設(shè)l與g（x）＝lnx＋2的切點為（x2，y2），所以y2＝lnx2＋2，又g'（x）＝1x，所以g'（x2）＝1x2，切點為（x2，lnx2＋2），切線斜率k＝1x2，所以切線方程為y－（lnx2＋2）＝1x2（x－x2），即y＝1x2·x＋lnx2＋1②，由題意知，①與②相同，所以ex1＝1x2?x2＝e－x1③，－x1ex1＋ex1＝lnx2+1④，把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x點評求兩曲線不同切點的公切線的一般思路：①分別設(shè)出兩曲線的切點P1（x1，y1），P2（x2，y2）；②分別求兩曲線的切線方程y1＝h1（x），y2＝h2（x）；③由公切線轉(zhuǎn)化為兩切線方程對應(yīng)項系數(shù)相同，列方程組消元求解x1或x2，再求公切線方程.三、公切線條數(shù)的判斷【例3】曲線y＝－1x（x＜0）與曲線y＝lnx的公切線的條數(shù)為1解析：設(shè)（x1，y1）是公切線和曲線y＝－1x的切點，則切線斜率k1＝（－1x）'｜x＝x1＝1x12，切線方程為y＋1x1＝1x12（x－x1），整理得y＝1x12·x－2x1.設(shè)（x2，y2）是公切線和曲線y＝lnx的切點，則切線斜率k2＝（lnx）'｜x＝x2＝1x2，切線方程為y－lnx2＝1x2（x－x2），整理得y＝1x2·x＋lnx2－1.令1x12＝1x2，－2x1＝lnx2－1，消去x2得－2x1＝lnx12－1.設(shè)t＝－x1＞0，即2lnt－2t－1＝0，點評兩曲線公切線條數(shù)的判斷方法：①由兩曲線公切線的幾何特征，構(gòu)建等量關(guān)系式f'（x1）＝g'（x2）＝f（x1)?g（x2）x1－x2；②跟蹤訓(xùn)練1.若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，則l的方程為()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)解析:易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y＝kx＋b，則eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),5)①．設(shè)直線l與曲線y＝eq\r(x)的切點坐標為(x0，eq\r(x0))(x0>0)，則y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)＝k②，eq\r(x0)＝kx0＋b③，由②③可得b＝eq\f(1,2)eq\r(x0)，將b＝eq\f(1,2)eq\r(x0)，k＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)代入①得x0＝1或x0＝－eq\f(1,5)(舍去)，所以k＝b＝eq\f(1,2)，故直線l的方程y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)．2.已知函數(shù)f（x）＝2x2e2＋ex，g（x）＝3lnx，若直線l與曲線y＝f（x）及y＝g（x）均相切，且切點相同，則公切線l的方程為y解析：設(shè)切點坐標為（x0，y0），由f（x0）＝g（x0),f'(x0）＝g'(x0),得2x02e2＋ex3.已知函數(shù)f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2－x－12（a＞0），若直線y＝2x－b與函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）的圖象均相切，則a＝32解析：f'（x）＝2x，設(shè)直線y＝2x－b與曲線y＝f（x）相切于點（x0，2lnx0），則2x0＝2，所以x0＝1，所以切點為（1，0），所以切線方程為y＝2x－2，與y＝g（x）＝ax2－x－12（a＞0）聯(lián)立得ax2－3x＋32＝0，所以Δ＝9－4a×32＝04.已知（為自然對數(shù)的底數(shù)），，請寫出與的一條公切線的方程______．詳解:設(shè)公切線與相切于點，與相切于點，，，公切線斜率；公切線方程為：或，整理可得：或，，即，，解得：或，公切線方程為：或.5.已知直線l與曲線、都相切，則直線l的方程為______．詳解：由得，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：；由得，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：．所以，，消去得，故或，所以直線l的方程為：或．故答案為：或6.已知曲線f(x)＝lnx＋1與g(x)＝x2－x＋a有公共切線，則實數(shù)a的取值范圍為．解析:設(shè)切線與f(x)＝lnx＋1相切于點P(x0，lnx0＋1)，f′(x0)＝eq\f(1,x0)，∴切線方程為y－(lnx0＋1)＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(1,x0)x＋lnx0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x0)x＋lnx0，,y＝x2－x＋a，))得x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x0)))x＋a－lnx0＝0，∴Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x0)))2－4(a－lnx0)＝0，即eq\f(1,x\o\al(2,0))＋eq\f(2,x0)＋1－4a＋4lnx0＝0，即4a＝eq\f(1,x\o\al(2,0))＋eq\f(2,x0)＋1＋4lnx0有解，令φ(x)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＋1＋4lnx(x>0)，φ′(x)＝－eq\f(2,x3)－eq\f(2,x2)＋eq\f(4,x)＝eq\f(4x2－2x－2,x3)＝eq