高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (51)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（51）

一、單項選擇題（本大題共12小題，共60.（）分）

1.在四棱錐P-4BCO中，PA=2,PB=PC=PD=小，AB=AD=迎,BC=CD=2,則四

棱錐P-4BCD的體積為

A.2V3B.V3C.V5

2.如圖水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形

的周長是（）./______

一八~Af

A.Sent

B.item

C.2（14-\/3）cm

D.2（1+V2）cm

3.已知三棱錐P—ABC中，PA9PB,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1,則三棱錐P—ABC外接

球的表面積為（）

A.nB.A/3TTC.27rD.37r

4.如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面PADJ_平面ABC。，底面ABC。為久

正方形，mPAD是等邊三角形，AB=2,則四棱錐P-ABCD外接球的//\\

半徑為

D.V2

5.如圖，矩形A8CZ）中，AB=1,BC=近,E是A。的中點，將團(tuán)ABE沿8E折起至忸4BE,記

二面角4-BE-。的平面角為a,直線AE與平面BC0E所成的角為/?,AE與8c所成的角為y,

有如下兩個命題：①對滿足題意的任意的4的位置，a+0三兀；②對滿足題意的任意的4的位

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

6.已知〃為不重合的直線，a為平面，下列命題：

⑴若a〃b,aHa,則6〃a；

（2）若a〃a,bua,則a〃b；

（3）若aJLb,b//a,則a1a；

（4）若ala,bla,貝肪〃a,其中正確的有（）個

A.0B.IC.2D.3

7.已知回ABC中，AB=BC=4,/.ABC=90°,平面ABC外一點P滿足24=PB=PC=2通，

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是

A.327rB.367rC.257rD.16兀

8.體積為8的正方體內(nèi)有兩個半徑相同的球，則球的半徑的最大值為（）

A.V6-V3B.淮C，D.U

222

9.在四棱錐P-ABC。中，PA=2,PB=PC=PD=V7，AB=AD=巾,BC=CD=2,則四

棱錐P—4BCD的體積為（）

A.2V3B.V3C.V5D.3

10.一個各面均為直角三角形的四面體容器，有三條棱長為2,若四面體容器內(nèi)完全放進(jìn)一個球，

則該球的半徑最大值為（）

A.V2-1B.2-V2C.1D.2

11.在四棱錐P—ABCD中，P4=2,PB=PC=PD=y/7,AB=AD=巾,BC=CD=2,則四

棱錐P-48C。的體積為

A.2V3B.V3C.V5D.3

12.如圖，菱形ABC。中，/.ABC=60°,E,尸分別是邊AB,CO的中點，現(xiàn)將A4BC沿對角線AC

翻折，則直線EF與平面AC。所成角正切值的最大值為（）

B

二、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

13.如圖所示，在四面體ABC木塊中，P為AlMC的重心，過點尸作截

面EFGH,若截面EFGH是平行四邊形，則該截面把木塊分成兩部分

體積之比為.（填體積小與體積大之比）

14.如圖，在正方體ABCD-&B1GD1中，直線與4B1CD所成角大小為

15.正方體ABCD-&B1GD1棱長為4,M,N,P分別是棱為久，ArA,

的中點，則過M,N,P三點的平面截正方體所得截面的面積為

16.已知三棱錐P-ABC中，PA1平面ABC,PA=BC=2,^BAC=p則三棱錐P-ABC的外接

球的表面積為.

17.在三棱錐P-ABC中，AB=BC=CA=V3>PA=1,PB=2,二面角P-4B-C的平面角的

大小為半則此三棱錐的外接球表面積為.

18.在四面體ABC。中，三組對棱長分別相等且依次為百、V10,V13,則此四面體A8CZ)的外接

球表面積為.

19.三棱錐P-ABC中，AB=PA=PB=2,乙4cB=30。，當(dāng)三棱錐P-4BC體積最大時，其外接

球半徑為.

20.周長為3c〃?的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為____cm3.

21.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,Z.ACB=90%/為線段PC°卜

上一點，E為線段P8上一點，PA=AB=2,4。=雪，則當(dāng)力尸+尸6取

最小值時，AE與平面P8C所成角的正弦值為.隊\

三、解答題（本大題共9小題，共108.0分）

22.如圖，四棱錐S—48CD中，28〃CD,AD_L4B,S41DC,SB14C,CD=2AB=y[2AD=2,

SD=3,SE=2EB.

(1)求證：SD〃平面AEC.

(2)求點A到平面BEC的距離.

23.如圖，在直三棱柱ABC-4當(dāng)Ci中，△&B1G為等腰直角三角形，&Bi=B1G=2,D為棱BB〔

上的點，E為棱CCi的中點，BBi=24當(dāng)=gBiD.

(1)若M為BiG的中點，Aa上是否存在點M使得MN〃平面4DE?若存在，求出近-的值；若

不存在，請說明理由.

(2)求幾何體4DE-4B1G的體積.

24.如圖，四邊形A8CZ)為菱形，4ABe=120。，MN//AC,4BMD為

等邊三角形，且平面AMD與平面8NC無公共點.

(1)求證：CN〃平面ABM；

(2)若4B=2,AM=6,求三棱錐N-BCD的體積.

8

25.已知四棱錐P-4BC0中，PAIJgffiABCD,AD//BC,AB=3,BC=4,AC=5.

(1)當(dāng)PA變化時，點C到平面P48的距離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明

理由；

(2)若P4=3,求直線PC與平面PA。所成角的正弦值.

26.如圖，正三棱柱—中，E為AC的中點.

(1)求證：AB1〃平面BEC1；

(2)若該三棱柱各棱長為1,F為CG中點，AF交GE于點G,B建交BJ于H,求G4的長.

27.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PA。是正三角形，側(cè)面PAD1底面

ABCD,M是PO的中點.

(1)求證：AM1平面PCD;

(2)求側(cè)面PBC與底面ABC。所成二面角的余弦值.

28.如圖，在底面為梯形的四棱錐S-4BCD中，已知4D〃BC,4SC=60\AD=DC=V2,S/1

(1)求證：ACA.SD；

(2)求三棱錐B-S4D的體積。

29.如圖，在底面為梯形的四棱錐S-4BCO中，已知40〃BC,AASC60°,AD=DC-V2"SA

SC=SD=2.

D

(I)求證：ACLSD；

(n)求三棱錐B-SAD的體積.

30.如圖所示，在長方體ABCD-4道心。1中，點E和F分別是4cl和BBi

的中點.求證：EF〃平面ABCD

B

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題主要考察對棱錐體積的求解，余弦定理的應(yīng)用，屬于較難題.

解：設(shè)。/=%,0C=y,則％2—y2=7—4=3=>x2=y2+3,

2x2-4x2+y2-7

cosZ.POA=——=------------------

2x22xy

4-2y22(x2-y2)x-y

2xy2x(%+y)x

=xy=2,

222

x—y=x——=3=>x=2,y=lf

則4c=3.

OD=V7^4=V3，BD=2遮，

SABCD=1x2>/3x3=3A/3,

顯然△PAC中，AC邊上的高即為四棱錐的高，設(shè)其為兒

由余弦定理可得cos/APC=絲烏絲=亞，

2X2XV714

則sinN/lPC=—.

14

則有工x2xV7x—=ix3x/i

2142

h=V3,

，P-ABCD=3X3聒XV3=3,

故選D

p

/

2.答案：A

解析：

本題考查的知識點是平面圖形的直觀圖，其中斜二測畫法的規(guī)則，能夠幫助我們快速的在直觀圖面

積和原圖面積之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)直觀圖的畫法可知，在原幾何圖形中，O'A'B'C'為平行四邊形，且有O'B'IO'A,0舊=2內(nèi)

O'A'=1,由此可以求得原圖形的周長.

解：根據(jù)直觀圖的畫法可知，在原幾何圖形中，O'4'B'C'為平行四邊形，

且有O'B'J.。'4',O'B'=2V2,O'A'=1,

所以4B'=3,從而原圖的周長為8.

故選A.

3.答案：D

解析:

本題考查多面體外接球表面積的求法，訓(xùn)練了利用“分割補(bǔ)形法”求多面體的體積，是基礎(chǔ)題.

由三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直且相等，直接補(bǔ)形為正方體求解.

把三棱錐P-ABC補(bǔ)形為正方體，可得三棱錐P-ABC外接球的半徑R=人12+/+A=蟲.

22

三棱錐P-ABC外接球的表面積為47Tx4)2=37r.

故選：D.

4.答案：A

解析：

本題主要考查了三棱錐結(jié)構(gòu)特征以及三棱錐外接球半徑的求法，屬于中檔題.

根據(jù)題意，取A。的中點F,連AC、BO相交于點E,結(jié)合題意確定球心位置，然后進(jìn)行計算即可得

到答案.

解：如圖，取AO的中點尸，連4C、80相交于點E,四棱錐P-ABCD的外接球的球心必定在過點

E且與平面A8C。垂直的直線上.EF=1,PF=同

22

設(shè)四棱錐P—ABCD的外接球的半徑為R,AE=五，0E=V/?-2./?=1+(百一0E『，可得R2=

1+(V3-VR^2)2-解得R=亨.

故選A.

BC

5.答案：A

解析：

本題考查空間角，解決問題的關(guān)鍵是做出對應(yīng)角a,0,y,結(jié)合運動過程分析所給命題即可.

作出二面角a的補(bǔ)角、線面角3、線線角y的補(bǔ)角，由此判斷出兩個命題的正確性.

【詳解】①如圖所示，過A作A。1平面垂足為0,連接0E,作。連接AM.

由圖可知乙4'M。=7T-a,/-A'EO=^<Z-A'MO=n-at所以戊+夕工加，所以①正確.

②由于BC〃DE,所以4E與BC所成角y=TT-N4EDS/4M。=兀一面所以a+yW〃，所以②

正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：4

6.答案：A

解析：

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

由空間中的線面關(guān)系逐個核對四個命題得出答案

解：(1)錯，若a〃b,a//a,則b〃a或bua；

(2)錯，若可/a,bua,則a與6平行或異面；

(3)錯,若aJLb,b//a,則a1a或a〃a或相交不垂直，

(4)錯，若a_La,61a,貝肪//a或bua.

故選A.

7.答案：B

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、球的表面積，考查空間想象能力.

三棱錐P-4BC的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點P在底面ABC的射影為△ABC的外心，即可得.

解：???PA=PB=PC=2V6,

.??棱錐頂點P在底面投影為△ABC的外心。1，

所以POi_LAC,如圖所示：

???先求△48c外接圓半徑r,

又因為在△ABC中，AB=BC=4,Z.ABC=90°,

?.?CA2=42+42=32,則CA=4vL

???r=-r--=2>/2,

2sin90°

???P01=-COl=4，

所以在RtZsBOg中，BO?=8。工+。1。2,即R2=（2&『+（4-R）2,解得R=3,

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積是47r-32=367r.

故選8.

8.答案：D

解析：

本題考查了空間簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征、正方體的體積計算、三角形相似，屬于中檔題.

根據(jù)題意當(dāng)兩球外切且盡可能與正方體面相切時球的體積最大，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征去解答.

解：???因為正方體的體積為8,

其梭長為2,

正方體的兩最大內(nèi)切球的軸截面圖如下圖所示

設(shè)圓的半徑為r,矩形的長為2e，寬為2,則對角線長為2b,

三角形相似得到高:=盍，

解得r=上遺，

2

故選D

9.答案：D

解析:

本題考查四棱錐的體積，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

先證明BO_L平面P.AC',此時轉(zhuǎn)化為/MBCD=[SAPA「BD,再設(shè)B。=X,在△「?!（：中，構(gòu)造等

式cos/POA+cos4POC=0求出x的值，即可分別求出8。=2x=2百，ShPAC=再代入公式

就可求解.

解：如圖所示：

B

連接AC,BD,記交點為。，

由于48=40=夕，BC=CD=2,則。為8Q的中點，

則801AC,

連接P0,在△PBD中，由于PB=PD,

則BD_LP。，

而P。C\AC=0f

則BD±平面PAL,

故"-ABCD—^P-ABC+^P-ACD

=^B-PAC+^D-PAC

11

=?BO+-S^PAC-DO

=gSaPAC.BD,

設(shè)B。=x,

則04=>J7—x2,0C=V4—x2,OP=V7—x2,

則匕一弓>?，得。<尤2<4,

(4-xz>0

在△PAC中，

由于4P0A+Z-POC=n,

則cos/POZ+cosZ-POC=0,

4日0d+0「2-Ap2OC2+OP2-PC2c

彳寸-----------F----------------=0

20A0P20C0P

Ulll7-X2+7-X2-44-X2+7-X2-7_n

人」訪皇室哀十云赤字石字=u'

化簡得：備裝，

兩邊平方整理得，X4-11X2+24=0,

即(/一3)(/—8)=0,

由于0</<%

得/=3,

故。4=2,0C=1,BD=2x=2V3.

又在APH。中，

40=2,AP=2,0P=2,

故NPA。=60°,

則SAPACsin600=-x2x3x—=—,

ccj=-2\APXACX222

故/TBCD=[SAPAC,BD=1x苧x2g=3，

故選〃.

10.答案：A

解析：

本題考查簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查四面體的內(nèi)切球，屬于中檔題.

根據(jù)四面體的形狀通過等積法計算其內(nèi)切球的半徑的大小可得結(jié)果.

解：如圖，在四面體A8C。中，平面BCD,BO1BC時滿足各面均為直角三角形，

此時只能是4。=BD=BC=2,貝ijAB=CD=2dLAC=2百，

要滿足題意則當(dāng)球與四面體各面均相切時半徑最大，

此時設(shè)球心為O,則原四面體可看成以。為頂點，其余各面為底面的4個四面體組合而成,

且這4個四面體的高均為內(nèi)切球的半徑，

設(shè)內(nèi)切球半徑為廣，

由等積法有；x23=；r(2x2+2x2+2x2V2+2x2或),

66

解得r=&一1，

即滿足題意的內(nèi)切球的最大半徑為/-1.

故選A.

11.答案：D

解析：

本題考查四棱錐的體積，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

先證明B。平面尸AC,此時轉(zhuǎn)化為VPTBCD=：SAPAC?BD,再設(shè)8。=X,在△P4C中，構(gòu)造等式

C0SNP04+coszPOC=0求出x的值，從而得S”.=手，再代入公式就可求解.

解：如圖所示:

p

連接AC,BD,記交點為。，

由于4B=an=V7，BC=CD=2,則。為8。的中點，BDVAC,

連接P0,在APB。中，由于PB=PD,

則BC1PO,而p。nac=0,

則B。L平面PAC,

故力-ABCD—Vp-ABC+^P-ACD

—VB-PAC+^D-PAC

11

=g5APzic,BO+-S^PAC?DO

=1"".BD,

設(shè)B。=x,

則。4=V7-%2,OC=V4-x2,OP=V7-x2-

則E一號>?,得0</<4,

(4—xz>0

在△P4C中，

由于4P。/+Z-POC=71,

則C0S4P04+CQSZ-POC=0,

^eOA2+OP2-AP2,OC2+OP2-PC2c

彳寸-----------------F----------------=0

2OAOP2OCOP

2222

|J||I7-X+7-X-44-X+7-X-7_0

人J訪予京哀十五方字石堂=u'

化簡得：備裝，

兩邊平方整理得，X4-11X2+24=0,

即(7一3)(/—8)=0,

由于0<%2<4,

得/=3,

故。4=2,0C=1,BD=2x=2V3.

又在APH。中，

A0=2,AP=2,0P=2,

故NP4。=60°,

則SAP/IC=：x4PxACXsin60°

=，2x3x^=幽

222

故%-4BCD=|^AP?C-BD

=ix—x2V3=3>

32

故選。.

12.答案：C

解析：

本題主要考查直線與平面所成角，題目較難.

先作EG垂直于平面ADC交平面ADC于G點，過G點作平行于OC的直線交A尸于H點,連接HE,

得到NGFE即為所求角，根據(jù)對稱性，DB=BC,依據(jù)正切函數(shù)的公式即可推出結(jié)論.

解：菱形ABCD中，乙4BC=60。，E,F分別是邊AB,CO的中點

若將△ABC沿對角線AC翻折，如圖所示，

作EG垂直于平面ADC交平面ADC于G點，過G點作平行于DC的直線交A產(chǎn)于“點，連接“E,

所以4GFE即EF和平面40c所成的線面角，

又因為AEGHGG//F都為直角三角形，EG<EH,GF>HF

tanNEFG二零，所以當(dāng)G點和，點重合時，線面角正切值最大，

此時EH垂直于平面ADC,

根據(jù)對稱性，DB=BC,設(shè)4。=1,則4尸=立，BF=—,AE=

222

EF=主,則直線EF與平面ACO所成角的正切值為tauNEF"=3互=1+追=追，

2EF222

故選C.

13.答案:]

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的體積，是中檔題.

由己知可得EH〃4C〃FG,且W/：VC=VE：VA=EH：AC=2：3,連接W7、VG.AG、AH,則

多面體EFGHVB的體積等于四棱錐U-EFGH的體積與三棱錐V-BFG的體積和，多面體EFGHAC

的體積等于四棱錐A-EFGH的體積與三棱錐H-4GC的體積和.找出各多面體體積的關(guān)系得答案.

解：如圖，

???四邊形EFG”為平行四邊形，

???EH=FG,S.EH//FG,

因為FGu平面ABC,EHC平面ABC,

EH〃平面ABC,乂EHu平面VAC,平面IMCn平面ABC=AC,

EH11AC,則EH//4C//FG,

vP為4IMC的重心，

???VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3,

而EH=FG,

:.BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3.

連接VF.VG.AG、AH,

則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐IZ-EFGH的體積與三棱錐V-BFG的體積和，

多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A-EFGH的體積與三棱錐H-4GC的體積和.

???四棱錐U-EFGH的高是四棱錐4-EFGH的高的2倍，底面積相等，

.??四棱錐V-EFGH的體積是四棱錐4-EFGH的體積的2倍；

???三棱錐V-BFG的底面積是三棱錐H-4GC的底面積的g倍，高是3倍，

三棱錐U-BFG的體積是三棱錐4-AGC的體積的4倍.

設(shè)棱錐H-AGC的體積為匕，則三棱錐H-AFG的體積為|匕，有四棱錐A-EFGH的體積是g匕.

???多面體EFGHAC的體積等于（匕，多面體EFGHVB的體積等于4匕+：匕=g%,

???多面體EFGHAC的體積與多面體EFGHVB的體積比等于親

故答案為：

14.答案：30°

解析：

本題考查線面角的求法，考查推理能力和計算能力，屬于一般題.

連接CBi，取CBi的中點O,連接04，先說明NB4。就是直線與4B1CD所成角，再利用三角知

識即可求解.

解：連接C&,取CB］的中點。，連接。公,

在正方體ABCD-AiBiGCi中，!_平面BCGB「

BOu平面BCQBi，則4出1B0,

又BO1CBignA/i=Bi，CB”AiBiu平面A/CD,BO仁平面&B1CD,

所以8。L平面&B1CD,又為。u平面A&CD,

所以80140,即A40B為直角三角形,

所以NBA1。就是直線與&B1CD所成角,

又sin/BA]。=券=：,且/BA。G[0°,90°],

所以NB&。=30°,即直線與4B1CD所成角大小為30

故答案為300.

15.答案:12V5

解析:

本題考查了空間中的平行關(guān)系與平面公理的應(yīng)用問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意，取正方體ABCD-481C1D1棱AB、BC、CG的中點L、K、Q,連接NL,LK、KQ、QP,

得出六邊形PQKLNM是所得的截面，求出該六邊形的面積即可.

取正方體ABCD-AiBiGDi棱43、BC、CQ的中點L、K、Q,

連接NL,LK、KQ、QP,

由立方體幾何性質(zhì)以及中位線性質(zhì)得NL〃&B〃￡?iC〃PQ,同理KL〃MP,MN〃KQ,PQKLNM共

面.

則六邊形PQKLNM是過M,N,尸三點的平面截正方體所得的截面,

該六邊形是正六邊形，其邊長為!NQ=2&,

其面積為6x|x(2V2)2Xy=12A/3.

故答案為12g.

16.答案：87r

解析:

本題考查三棱錐的外接球表面積，屬于基礎(chǔ)題.

將三棱錐還原成直三棱柱，則三棱錐與直三棱柱的外接球相同.

解：將三棱錐還原成直三棱柱，設(shè)直三棱柱的外接球球心為0,

￡>'、力分別為上下底面的外接圓圓心，。為。。'的中點，AO為底面外接圓的半徑,

由正弦定理可得：9」4°n=B不C:一，則4。=1,

由0D=1,

則外接球半徑R=A0=V2,

所以外接球的表面積為：4兀/?2=8兀.

故答案為87r.

137r

17.答案:

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及二面角與球的表面積公式，考查空間思維能力，屬于較難題目.

先得出24148,作出二面角P-AB-C的平面角，取。H=HF=FC=｝過點H作。H_LCD交EF

于點0,連接EF,由NE0C=g。6=；22=；可得2。尸￡'=：,則。”=3,再由勾股定理求出

32266

外接球的半徑得出外接球的表面積即可.

解：VAB=BC=CA=V3.PA=1,PB=2,

：.PA2+AB2=PB2,

???PA1.AB,

取4。的中點。，PB的中點E,連接C￡>,DE,

可得DE14B,CDLAB,

??.NCDE即為二面角P-4B-C的平面角，即:,

<5

DE=\PA=l,CD=^AB=l，

223

-CD=-x-=1

332

取DH=HF=FC=^,過點〃作OH1CD交EF于點O,連接EF,

?：4EDC=&OE=：P4=；可得NOFE:,則OH=夜,

322（16

???外接球的半徑R=J曲2+/=等

???外接球的表面積為47m247rx吸空.

363

故答案為r.

?）

18.答案：1-lTT

解析：

本題考查的知識點是球的表面積，其中利用割補(bǔ)法，補(bǔ)充四面體成長方體，進(jìn)而求出其外接球的半

徑是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由已知中四面體ABC。中，三組對棱棱長分別相等，且其長分別為麻，V10,V13,故可將其補(bǔ)充

為一個長方體，根據(jù)外接球的直徑等于長方體的對角線，求出球的半徑，代入球的表面積公式，即

可求出答案.

解：因為四面體ABCQ中，三組對棱棱長分別相等，

故可將其補(bǔ)充為一個三個面上對角線長分別為有，V10,V13,的長方體，

則其外接球的直徑2R=J|(5+10+13)=V14.

所以R=近，

2

所以四面體外接球的表面積s1-R2117T.

故答案為147r.

19.答案：叵

3

解析：

本題考查三棱錐的外接球問題，屬于中檔題.

因為△P4B是邊長為2的等邊三角形所以AP4B面積確定，要使三棱錐P-ABC體積最大，既要使點

C到平面PA8的距離最大，只有當(dāng)平面ABC_L平面尸AB時，體積最大，即點C到邊A8的距離最大，

三棱錐的體積最大，即可求出結(jié)果.

解：取AB的中點。，連接8,

設(shè)三角形ABC的外接圓的圓心為E,三角形PAB的外接圓的圓心為F,

△面積確定，要使三棱錐P-4BC體積最大，即要使點C到平面PAB的距離最大，只有當(dāng)平面

ABC,平面PAB時;體積最大，即點C到邊AB的距離最大，三棱錐的體積最大，

因為44cB=30°,且48=2,△4BC外接圓E的半徑CE=；X=2,

2sin30

所以C在△ABC外接圓上運動，如圖所示，當(dāng)點C滿足C4=CB時，點C到邊AB的距離最大，三

棱錐的體積最大，

此時三棱錐的高為8的長，此時AABC外接圓E的圓心E在C。上，根據(jù)球的性質(zhì)可知，OE1CE,

OFIDF,OF//ED,故四邊形EOF。為矩形，

故0E=DF=-x—x2

323

在Rt△CE。中，球的半徑為C。=VCF2+0E2=(4+-=—.

733

故答案為且.

3

20.答案：5

解析：

本題考查的知識點是圓柱的體積，其中根據(jù)已知條件，設(shè)出圓柱的長和寬，然后可以寫出圓柱體積

的表達(dá)式，是解答本題的關(guān)鍵.

由已知中周長為3的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，我們設(shè)出圓柱的長和寬，然后可以寫出圓柱

體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，分析出體積取最大值時，自變量的值，代入即可求出圓柱體積的最大

值.

解：???矩形的周長為3,設(shè)矩形的長為x,則寬為|-x,設(shè)繞其寬旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，

則圓柱的底面半徑為x,高為|一跖則圓柱的體積1/=兀/?2?%=兀必（|一為，

則，'=-37TX2+37TX,令W=0,則％=0,或%=1,

故當(dāng)％=1,圓柱體積取最大值，此時P=|TT,

故答案為：!?r.

21.答案：叵

7

解析：

本題考查線面角的求法，以及立體幾何中沿表面爬行問題中的最值問題，中檔題

沿PB展開，使得A,F,E共線，則4ELPB時，AF+FE最小，求出此時立體圖形中的AE,過P

作4G_LPC,則4G_L平面P8C,4AEG為4E與平面P8C所成角，繼而可得答案.

解：如圖所示：

因為PA1底面ABC,BCu底面ABC,所以P4JLBC,

又N4CB=90。，即BC_L4C,KACCtPA=A,

所以8cl面PAC,乂PCu底面PAC,

所以BC1PC,

RtAPE中，PC=<PA2+AC2=^V3,

從而cos/APC=3=夜，即N4PC=30。，

PC2

RtAPB4中，PB=\lPA2+AB2=2五,

由△.ABC'中，BC=y/AB2-AC2=—.

3

RtAPCB中，cosZ.CPS=sinZCPB=—,

33

沿P8剪開，使得4,F,E共線，

則展開圖中，力E1PB時，4F+FE最小，如下圖,

C

展開圖中cos乙4PE=cos(zCPB+30°)==包，

所以展開圖中PE="衣，

3

則立體圖中，根據(jù)余弦定理得到4E=回，

3

立體圖中，過A作AGJ.PC,垂足為G,連接EG,

IffiPAC,AGu面PAC中，

所以BC1AG,

又BCCPG=C,

所以AG上面PCB,

所以44EG是直線AE與平面PBC所成角，

PAAC

又AG=1,

PC

.…cAG1，21

bt、isinZzlhG="rzr=-"7==------

所以AEv^l7.

-iF

故答案為豆.

7

22.答案：解：（1）證明：連接8。交AC于點。連接E。,

vAB//CD,???△ABOfCDO,

.BO_AB_1

——,

DOCD2

又空=三，則絲=些=三，

SE2DOSE2

：.OE//SD,

又OEu平面AEC,且SDC平面AEC,

ASD〃平面AEC-,

(2)點A到平面BEC的距離即點A到平面SBC的距離，設(shè)為h,

由401AB得AD1CD,

又SA1DC,SADAD=A,SA,ADu平面SAD,

得CD1平面SAD,

又SOu平面SAD,則CD1SD,

由4。J.4B得BO=V5，由⑴，得8。=匏0=冬

由4D1CD得4C=&,由⑴，得40="C=當(dāng)，

5LBO2+AO2=AB2,則ACO

又SBLAC,SBCBD=B,SB、BDu平面SB。，得AC_L平面SBO,則4clsD,

"ACLSD,CD1SD,CDn>4C=C,CD、ACu平面ABC￡),

SD_L底面ABCD,SD是三棱錐S-ABC的高，

vSB=yJSD2+BD2=2?BC=V3，SC=y/SD2+CD2=V13,

SB2+BC2-SC21Ijni.聞

3s乙SBC=————=則smz_SBC=——，

2SBBC66

S&SBC=-BC-sinzSFC=苧，

?S-BC=\AB.AD=寺

-*?Vs-ABC='S&ABC,SD=虧,VA-SBC=7^ASBC,后,

OZ0

由%-ABC=0-SBC，得￥=[?兒解得色=等裂，

故點人到平面BE。的距離為粵?

解析：本題考查線面平行的判定，考查空間中的距離，考查棱錐的體積計算，考查空間想象能力,

考查分析與計算能力，屬于中檔題.

(1)利用線面平行的判定定理證得SD〃平面AEC即可；

(2)點A到平面BEC的距離即點A到平面SBC的距離，利用等體積法，計算求解即可.

23.答案：解：(1)存在，如圖，取EO的中點F,連接MF.

因為M為B1G的中點，E為CCi的中點，

4

A1B1=2,BB]=2A1B1=~B^Df

，

所以8當(dāng)=4,BXD=3,CrE=2,MF=1(C1￡4-fi1D)=|,MF//BrD//ArA.

取M4=m，則MF=N4又MF〃N4

所以四邊形MEAN為平行四邊形.

故MN〃凡4,又MN仁平面ADE,R4u平面4OE,

所以MN〃平面AOE.

所以史1=上=三.

(2)如圖，過點E作平行于平面&B1G的截面QPE,分別交44],BB1于點Q,P.

在直三棱柱ABC-AiGG中，乙4祖(?1=90°,

所以PE平面4CPQ.

則所求兒何體的體積

'ADE-ABICI=匕IBIQ-QPE+VE-ADPQ=1X2X2X2+|X1X(1+2)X2X2=6.

解析：本題考查線面平行的判定及棱柱、棱錐的體積計算，考查空間思維能力及計算求解能力，屬

于中檔題目.

(1)取E。的中點凡連接MF,利用線面平行的判定定理得出MN〃平面AOE,進(jìn)而得出段的值.

(2)將幾何體分解利用棱柱的體積公式及棱錐的體積公式求出即可.

24.答案：解：(1)因為平面AMD與平面BNC無公共點，所以平面AMD〃平面8NC,

因為MN〃AC,所以4,C,N,M四點共面，

因為平面4CNMn平面AMD=AM,平面4CNMn平面BNC=CN,所以4M〃CN,

又AMu平面ABM,CNC平面ABM,所以CN〃平面ABM.

(2)設(shè)AC與8。相交于點O,連接OM,如圖所示：

因為四邊形ABCO為菱形，所以8014C,。為8。的中點，

因為△BMD為等邊三角形，所以BCJ.OM,

又4CnOM=。，所以BD_L平面ACMW,

因為BDu平面ABCD,所以平面4CNM_L平面ABCD,

過點M作MP1AC交AC于點P,

因為MPu平面ACNM,平面4CNMn平面4BCD=AC,所以MP，平面ABCD.

因為MN〃AC,ACABCD,所以MN〃平面ABCD

所以點N到平面ABCD的距離等于點M到平面ABCD的距離.

在菱形ABCD中，由乙4BC=120。，AB=2,可得。A=g,BD=2,S^BCD=V3.

因為△BMD為等邊三角形，。為8。的中點，所以0M=百，

又AM=%,所以0A=OM=AM,所以△力?！盀榈冗吶切危訫P=|,

所以三棱錐N-BCD體積為VN_BCD=VM-BCD=^SABCD-MP=|xV3x|=y.

解析：⑴由題意可知，平面AMD〃平面BNC,由MN〃/1C可得4M〃CN,再利用線面平行的判定定

理即可得到CN〃平面ABM.

(2)先證出MN〃平面ABCD.所以點N到平面ABCD的距離等于點M到平面ABCD的距離，再利用等

體積法得到0_BCD=VM-BCD＞進(jìn)而求得三棱錐N-BCD的體積.

本題主要考查了線面平行的判定定理，以及等體積法求三棱柱的體積，是中檔題.

25.答案：解：(1)由48=3,BC=4,AC=5知4辟+BC?=力小，

則AB1BC,

由24IffiABCD,BCu面ABCD得241BC,

由P4n4B=4PA,ABc?PAB,

貝|」8。_1面厚8,則點C到平面PAB的距離為一個定值，BC=4.

(2)設(shè)直線PC與平面PA力所成的角為a,

由40〃BC,AB1BC^^ABLAD,

5LPAIffiABCD,ABc?ABCD,故PAJ.48,PAnAD=A,

貝IJ4B，面PAD,

則B點到平面PAD的距離為4B=3,

由BC〃4C知點C與點B到平面PAD的距離相等,

則點C到平面PAD的距離為d=AB=3,

由PA=3,AC=5知PC=y/PA2+AC2=V34.

故sina=W=^=逅.

ACx/3434

解析：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，線面角的求法，求線面角，一是可以利用

等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值.

(1)根據(jù)幾何關(guān)系得到BC上面PAB,進(jìn)而得到點面距離:

(2)首先根據(jù)幾何關(guān)系以及平行關(guān)系轉(zhuǎn)化得到點C與點B到平面的距離相等,d=AB=3,PC

yJPA2+AC2=V34,sina=*求解即可.

26.答案：證明：(1)連接交BQ于點0,

因為E,。為中點，所以E。為I2C4B1中位線，

所以481//E0,又因為4當(dāng)C平面BEG，EOu平面BEC「

所以力Bi〃平面BEC「

解:⑵因為券=戢，

由(1),因為平面0平面BGE=GH,4/u平面A/F,

所以4B//GH,

所以絲=烈=工，

“1bAAB】F8i3

即GH=-AB=—.

313

解析：本題主要考查線面平行的判定及性質(zhì)，考查推理能力及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)連接BiC交BQ于點。，利用中位線證明AB"/E0,結(jié)合線面平行判定定理即可證明；

(2)利用線面平行性質(zhì)定理得到AB//GH,結(jié)合比例黑=詈=§即可計算G4的長.

/iDirDi15

27.答案：(1)證明：以為△PAD為正三角形，且M為PO中點，

所以AM1PD,

又底面4BC￡＞為正方形，所以CD1AD,

又面P/W1面ABCD,

且面PAOn面4BC0=AD,CDu面ABCD,

因為CD_L面PAD,又因為AMu面PAD,

所以CD1AM,

因為POClCD=D,AM1CD,AM1PD,CD、P￡＞都在平面PC。內(nèi),

所以AM1面PCD.

(2)解：