專題01 二次根式之十一大題型（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末真題分類匯編人教版

專題01二次根式之十一大題型二次根式的判別例題：（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期末）下列式子中，是二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的判斷，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題根據(jù)二次根式的定義“形如（）”可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可知是二次根式；故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·四川宜賓·期末）下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的識(shí)別．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的定義．根據(jù)二次根式的定義：形如的式子叫做二次根式，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由二次根式的定義可知：四個(gè)選項(xiàng)只有是二次根式，，的被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，不符合題意，是3次根式，不符合題意；故選A．2．（22-23八年級(jí)上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得到答案【詳解】解：，故A選項(xiàng)不符合題意，根指數(shù)是3，故B選項(xiàng)不符合題意，∵，∴，故C選項(xiàng)不符合題意，∵，∴，故D選項(xiàng)符合題意，故選D．3．（22-23八年級(jí)下·浙江麗水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)形如的式子叫二次根式進(jìn)行判斷．【詳解】解：．是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．中，不是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．二次根式有意義的條件例題：（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）使有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零即可．【詳解】解：若有意義，則，解得，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·四川遂寧·期末）要使有意義，則的取值范圍是（

）A． B．是一切實(shí)數(shù) C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列式求解即可．【詳解】解：∵有意義，∴，∴．故選D．2．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·期末）使有意義的x的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義的條件，分母不為0，二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0求解即可．【詳解】解：由題意得，且，解得且．故選：A．3．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·期末）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，分式有意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵有意義，∴，∴且，故選：B．同類二次根式例題：（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）下列各式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式性質(zhì)、最簡(jiǎn)二次根式定義、同類二次根式定義等知識(shí)，將選項(xiàng)中的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再由同類二次根式定義判定即可得到答案，熟記二次根式性質(zhì)及同類二次根式定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：；；；與是同類二次根式，可以合并，故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·福建南平·期末）下列二次根式中能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同類二次根式的定義，根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、由，則與可以進(jìn)行合并，符合題意；、由，則與不可以進(jìn)行合并，不符合題意；、由，則與不可以進(jìn)行合并，不符合題意；、由，則與不可以進(jìn)行合并，不符合題意；故選：．2．（23-24八年級(jí)上·山東德州·期末）下列二次根式中，與屬于同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式：二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，二次根式的性質(zhì)；把選項(xiàng)中不是最簡(jiǎn)二次根式的化為最簡(jiǎn)二次根式即可判斷．【詳解】解：，，則與是同類二次根式，故選：C．3．（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·期末）下列與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式的定義，二次根式的化簡(jiǎn)，正確理解同類二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵．把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義，即可判斷答案．【詳解】選項(xiàng)A，，與不是同類二次根式，不符合題意；選項(xiàng)B，，與是同類二次根式，符合題意；選項(xiàng)C，與的被開方數(shù)不相同，不是同類二次根式，不符合題意；選項(xiàng)D，與的被開方數(shù)不相同，不是同類二次根式，不符合題意；故選B．最簡(jiǎn)二次根式的判別例題：（23-24九年級(jí)上·四川眉山·期末）下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的判斷，掌握最簡(jiǎn)二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；C、被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·四川瀘州·期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念．最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)該根號(hào)里沒分母（或小數(shù)），分母里沒根式．被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，還需將被開方數(shù)進(jìn)行因式分解，然后再觀察判斷．【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；B、，不能化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，本選項(xiàng)符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可求出答案．【詳解】A選項(xiàng)：，故不是最簡(jiǎn)二次根式；B選項(xiàng)：，故不是最簡(jiǎn)二次根式；C選項(xiàng)：是最簡(jiǎn)二次根式；D選項(xiàng)：，故不是最簡(jiǎn)二次根式．故選：C．3．（22-23八年級(jí)下·云南迪慶·期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，掌握二次根式的性質(zhì)，理解最簡(jiǎn)二次根式的定義是正確解答的前提．根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是最簡(jiǎn)二次根式，因此選項(xiàng)A符合題意；，因此選項(xiàng)B不符合題意；，因此選項(xiàng)C不符合題意；，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)例題：（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）下列各式中，不正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷得出答案．此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，故A選項(xiàng)不正確，符合題意；，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·山東淄博·期末）下列各組數(shù)中，相等的一組數(shù)是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)大小比較以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，分別化簡(jiǎn)各數(shù)后再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：A．，故選項(xiàng)Ａ不符合題意；B．，，所以，故選項(xiàng)Ｂ不符合題意；C．，故選項(xiàng)Ｃ不符合題意；D．，，所以，，故選項(xiàng)D正確，故選：D2．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)，先把二次根式寫成絕對(duì)值的形式，再用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后計(jì)算．本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握二次根式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由圖知：，，，原式．故選：．3．（23-24八年級(jí)上·江西吉安·期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得，得出，即可求解．【詳解】解：依題意，，，∴，∴，故答案為：．比較二次根式的大小例題：（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期末）比較大?。海ㄌ睢?gt;”或“<”或“=”）．【答案】【分析】本題考查的是二次根式的大小比較，掌握二次根式的大小比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，而，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）比較大?。海ㄓ?、或連接）【答案】【分析】本題考查二次根式的大小比較，熟練掌握二次根式的大小比較的方法是解答的關(guān)鍵．將根號(hào)外的正因數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)，計(jì)算出被開方數(shù)，再比較被開方數(shù)的大小，即可得到答案．【詳解】解：，，且，，即，故答案為：．2．（23-24八年級(jí)上·四川遂寧·期末）比較大小（用，，號(hào)填寫）．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，通過比較與的平方即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴．故答案為：．3．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）比較大小：．【答案】【分析】本題考查了無理數(shù)的估算、二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將化成，根據(jù)無理數(shù)的估算、二次根式的化簡(jiǎn)可得，由此即可得．【詳解】解：，∵，，即，故答案為：．二次根式加減乘除混合運(yùn)算例題：（23-24八年級(jí)下·福建南平·期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算：（1）根據(jù)二次根式加減的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·云南昆明·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查算術(shù)平方根、立方根，平方差公式以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解算術(shù)平方根、立方根的定義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是正確解答的前提．（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義以及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)平方差公式，二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算：（1）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．3．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．（1）直接化簡(jiǎn)二次根式，再合并得出答案；（2）先利用平方差公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，同時(shí)進(jìn)行除法運(yùn)算后化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；【詳解】（1）解：；（2）解：．已知字母的值，化簡(jiǎn)求值例題：（23-24八年級(jí)上·福建福州·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中

【答案】；【分析】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，先根據(jù)分式四則混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，把代入得：原式．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·山東菏澤·期末）已知，求代數(shù)式的值．【答案】3【分析】根據(jù)完全平方公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后根據(jù)，可以得到，從而可以求得所求式子的值．【詳解】解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)求值的方法．2．（23-24八年級(jí)上·福建福州·期末）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的運(yùn)算，掌握分式和二次根式運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先算括號(hào)里面的，然后算括號(hào)外面的，最后代入求值．【詳解】解：＝＝＝＝，當(dāng)時(shí)，原式＝3．（22-23八年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得：，，，然后利用完全平方公式將轉(zhuǎn)化為，再代入相應(yīng)的值計(jì)算即可；（2）利用平方差公式將將轉(zhuǎn)化為，再代入相應(yīng)的值計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，，∴；（2）由（1）知：，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式，平方差公式，運(yùn)用了恒等變換和整體代入的思想．解題的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．二次根式的分母有理化例題：（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）[閱讀材料]把分母中的根號(hào)化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同時(shí)乘以同一個(gè)不等于0的數(shù)，以達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．例如：化簡(jiǎn)．解：．[理解應(yīng)用](1)化簡(jiǎn)：；(2)若是的小數(shù)部分，化簡(jiǎn)(3)化簡(jiǎn)：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）原式分子分母同時(shí)乘以有理化因式，化簡(jiǎn)即可；（2）求出的整數(shù)部分，進(jìn)而表示出小數(shù)部分確定出a，代入原式分母有理化計(jì)算即可；（3）原式各項(xiàng)進(jìn)行分母有理化，計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）解：（1）；（2）∵a是的小數(shù)部分，且，∴，∴；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算、平方差公式和估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方差公式和二次根式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·貴州六盤水·期末）請(qǐng)你閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時(shí)乘“”，分母就變成了4，例如：．(1)模仿材料中的計(jì)算方法，化簡(jiǎn)______；(2)求解：；(3)為正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了分母有理化，完全平方公式的變形求值：（1）仿照題意進(jìn)行求解即可；（2）先證明，再把所求式子裂項(xiàng)，最后化簡(jiǎn)即可得到答案；（3）先求出，進(jìn)而得到，則可推出；求出，，得到，即可求出．【詳解】（1）解：，故答案為：．（2）解：，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴；∵，∴，∴，∴，∴．2．（23-24八年級(jí)上·福建福州·期末）小明在解決問題：已知，求的值.他是這樣分析與解的：，.請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)觀察上面解答過程，請(qǐng)寫出；(2)化簡(jiǎn)；(3)若，請(qǐng)按照小明的方法求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化．（1）根據(jù)例題可得：對(duì)式子的分子和分母中同時(shí)乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同類二次根式即可求解；（2）將式子中的每一個(gè)分式進(jìn)行分母有理化，問題隨之得解；（3）根據(jù)小明的分析過程，得得，，再整體代入，即可求出代數(shù)式的值．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；（3）解：，，，即，，，．新定義型二次根式的運(yùn)算例題：（22-23八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)，，定義一種運(yùn)算“”如下，如，計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，直接利用題中新定義的運(yùn)算公式代值求解，進(jìn)而得出答案，正確理解題中新定義運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期末）對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)和，我們定義新運(yùn)算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴根據(jù)題中的新定義得：，即：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（19-20八年級(jí)上·遼寧沈陽·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算，例如．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由新定義運(yùn)算得，再求算術(shù)平方根即可；（2）由新定義運(yùn)算得方程組，再用加減法求解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：依題意得：，由得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，算術(shù)平方根，用加減法解二元一次方程組，理解新定義和熟練掌握加減法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的應(yīng)用．3．（21-22八年級(jí)下·貴州安順·期末）定義：若多項(xiàng)式與都是常數(shù)，且滿足，，則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式互為“黔一相依”多項(xiàng)式．(1)填空：的“黔一相依”多項(xiàng)式為______；(2)求證：若，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式互為“黔一相依”多項(xiàng)式．【答案】(1)(2)見解析【分析】根據(jù)“黔一相依”多項(xiàng)式列方程組可得結(jié)論；先計(jì)算對(duì)應(yīng)，，，，可得，，從而得結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得，的“黔一相依”多項(xiàng)式為，故答案為：；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，，若，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式互為“黔一相依”多項(xiàng)式．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)新定義：“黔一相依”多項(xiàng)式的理解和掌握，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解“黔一相依”多項(xiàng)式的定義．二次根式中的規(guī)律探究問題例題：（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③；(1)請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，寫出第④個(gè)等式：__________；(2)請(qǐng)利用上述規(guī)律計(jì)算（仿照上式寫出過程）；(3)請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了數(shù)式規(guī)律探究，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，此題是一個(gè)閱讀題目，通過閱讀找出題目隱含條件．總結(jié)：找規(guī)律的題，都要通過仔細(xì)觀察找出和數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）從三個(gè)式子中可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)加數(shù)都是1，第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是，結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子也是1，分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積．所以由此可得出第四個(gè)式子；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)規(guī)律得出算式，最后求出即可．【詳解】（1）解：；（2）解：根據(jù)規(guī)律得：；（3）解：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·期末）觀察下列各式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；…根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問題：(1)若；則______，______．(2)的值為_________．(3)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式（n是正整數(shù)，用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)，；(2)；(3)，證明見詳解；【分析】（1）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第8個(gè)等式，即可答案；（2）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第100個(gè)等式：即可答案；（3）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第個(gè)等式：，再證明即可【詳解】（1）解：由題意可得，，∴，，故答案為：，；（2）解：由題意可得，，故答案為：；（3）解：由題意可得，第n個(gè)等式為：，證明：左邊右邊，∴．2．（22-23八年級(jí)下·遼寧·期末）閱讀下列解題過程：第1個(gè)等式：．第2個(gè)等式：．第3個(gè)等式：．．．．．．．(1)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第4個(gè)等式：______；(2)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第（為正整數(shù)）個(gè)等式：______；(3)利用這一規(guī)律計(jì)算，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所列等式所呈現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行解答即可；（2）由規(guī)律得出一般情況，用含有的式子表達(dá)即可；（3）利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得：第4個(gè)等式為：，故答案為：；（2）解：，，，，第（為正整數(shù)）個(gè)等式為：，故答案為：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)以及等式所呈現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）下列各式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義即可解答．【詳解】解：A．，與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．與是同類二次根式，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C．，與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）估計(jì)的值在（）A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間【答案】C【分析】本題考查了二次根式的乘法，無理數(shù)的估算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)無理數(shù)的估算得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴估計(jì)的值在8到9之間，故選：C．3．（22-23八年級(jí)下·河北廊坊·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的加減乘除運(yùn)算．利用二次根式的加減法的法則對(duì)A項(xiàng)和B項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可，利用二次根式的乘法和除法法則對(duì)C項(xiàng)和D項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：A、和，不是同類二次根式，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．4．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最簡(jiǎn)二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式需要滿足兩個(gè)條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開方開的盡因式或因數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①，②，③，④，⑤中，是二次根式的是，，共2個(gè)；故選B．5．（23-24八年級(jí)上·廣西桂林·期末）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則該三角形的面積為．已知的三邊長(zhǎng)分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的三邊長(zhǎng)分別為，∴，故選：C．二、填空題6．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期末）比較大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了算術(shù)平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū容^兩個(gè)數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．先把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，再比較即可．【詳解】解：，，∵，∴∴，故答案為：．7．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于零、分式的分母不能為零是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件列不等式組求解即可．【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：且．故答案為：且．8．（23-24八年級(jí)上·山東濱州·期末）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟悉掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵有意義，∴，解得，故答案為：．9．（23-24八年級(jí)上·湖北十堰·期末）已知分別為等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，且滿足，此三角形的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的意義、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由則即分別為等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)故該等腰三角形是以為腰，為底故周長(zhǎng)為：故答案為：．10．（22-23八年級(jí)下·云南楚雄·期末）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，，定義一種運(yùn)算，，例如，則．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分母有理化，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：由題意得：，故答案為：三、解答題11．（23-24九年級(jí)上·湖南衡陽·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再利用二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再利用二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（22-23八年級(jí)下·云南昆明·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．（1）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）．13．（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來如圖所示．請(qǐng)化簡(jiǎn)：．

【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，化簡(jiǎn)算術(shù)平方根和絕對(duì)值，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊比左邊的大，判斷出實(shí)數(shù)和式子的符號(hào)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，∴原式．14．（23-24八年級(jí)上·廣西來賓·期末）先化簡(jiǎn)再求值：，其中，．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，其關(guān)鍵步驟是分式的化簡(jiǎn)，熟悉混合運(yùn)算的順序是解題關(guān)鍵．先算括號(hào)，再根據(jù)分式計(jì)算法則化簡(jiǎn)，代入x，y值即可計(jì)算．【詳解】解：原式當(dāng)，時(shí)，原式．15．（23-24八年級(jí)上·山東青島·期末）計(jì)算：(1)；(2)；(3)如果規(guī)定“⊙”為一種新的運(yùn)算：，例如：，仿照例子計(jì)算，當(dāng)時(shí)，的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算；（1）根據(jù)二次根式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）仿照例子根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）∵，∴．16．（23-24九年級(jí)上·四川宜賓·期末）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．(1)化簡(jiǎn)：_______；______．(2)若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求a的值．【答案】(1)，(2)．【分析】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根及二次根式的化簡(jiǎn)，數(shù)軸，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握．（1）由數(shù)軸可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義列方程求解即可．【詳解】（1）由數(shù)軸得：，，．故答案為：，；（2）解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，，解得：（不合題意，舍去）或．∴17．（22-23八年級(jí)下·江西贛州·期末）觀察下列含有規(guī)律的式子：①．，②．，③．，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成下面各題：(1)按照這個(gè)規(guī)律，寫出第④個(gè)式子：__________；(2)若式子（為正整數(shù)）符合以上規(guī)律，則__________；(3)請(qǐng)你用含有正整數(shù)的式子，表示出你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：__________；(4)請(qǐng)你通過計(jì)算，驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的式子是正確的．【答案】(1)(2