專題02 勾股定理與勾股定理逆定理之九大題型（原卷版）-2024學年八年級數學下學期期末真題分類匯編人教版

專題02勾股定理與勾股定理逆定理之九大題型勾股數的判斷例題：（23-24八年級上·甘肅蘭州·期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國在著名的數著作《周髀算經》中，下列各組數中，是“勾股數”的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5【變式訓練】1．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）下列各組數中，是勾股數的一組（

）A．0.3，0.4，0.5 B．1，，2 C．6，8，10 D．2，2，2．（22-23八年級上·云南文山·期末）下面三組數中是勾股數的一組是（

）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．9，16，25 D．18，24，303．（23-24八年級上·江西萍鄉(xiāng)·期末）若正整數a，b，c是一組勾股數，則下列各組數一定是勾股數的為（

）A．，， B． C．，， D．以直角三角形三邊為邊長的圖形面積例題：（22-23八年級下·四川瀘州·期末）如圖，直線l上方有三個正方形a，b，c，且正方形a和c的一邊在直線1上，正方形b的一個頂點在直線l上，有兩個頂點分別與a和c的一個頂點重合．若a，b的面積分別為1和9，則c的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式訓練】1．（21-22八年級上·吉林長春·期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面積依次為，則正方形的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．122．（23-24八年級上·吉林長春·期末）如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑向上作三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作和．若，則長是（

）

A． B． C．4 D．53．（23-24八年級上·陜西咸陽·期末）如圖、在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形、面積分別記為，，．若．則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B． C．5 D．用勾股定理解三角形例題：（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在銳角中，點E是邊上一點，，于點D，與交于點G．(1)求證：；(2)若，，G為中點，求的長．【變式訓練】1．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，是邊上的高．(1)若點是的中點，求證：；(2)若，，求的長．2．（23-24八年級上·湖南衡陽·期末）定義：如果一個三角形中有兩個內角滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．(1)若是近直角三角形，，，則______．(2)在中，，，，若是的平分線．①求證：為近直角三角形．②求的長．3．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）學習完《勾股定理》一章，李凱和張亮剪了一張直角三角形和一張長方形紙片，進行如下操作：操作一：在中，，，，如圖①，將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，點C與點E重合，請求出的長；操作二：如圖②，在長方形中，，，在邊上取一點P，將沿直線折疊，點C恰好與邊上的點E重合，求的長．勾股定理與網格問題例題：（23-24八年級上·河南洛陽·期末）如圖，在的網格中，每個格點小正方形的邊長均為1，的三個頂點A，B，C都在網格點的位置上，則的邊上的高為．

【變式訓練】1．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，于點D，則BD的長為．

2．（23-24七年級上·山東淄博·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，P為上任一點，則的值是．

3．（22-23八年級下·天津和平·期末）【問題背景】在中，，，三邊的長分別為，，，求這個三角形的面積．小明在解答這道題時，先建一個正方形網格每個小正方形的邊長為，再在網格中畫出格點，如圖所示，這樣不需求的高，借助網格就能計算三角形的面積．（）直接寫出的面積，；【思維拓展】（）若的三邊長分別為，，，請在圖的正方形網格紙中畫出每個小正方形的邊長為，并直接寫出的面積，．勾股定理與折疊問題例題：（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，中，，，點D為線段上一個動點，將沿直線翻折得到，線段交直線于點F．若為直角三角形，則的長是．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川成都·期末）如圖，在長方形中，，，將此長方形沿折疊，使點與點重合，則的長度為．2．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數為________；(2)若，，求的長；(3)當的面積為時，求的周長．（用含的代數式表示）3．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，點落在點處，交于點，重合部分是，，點是對角線上一點，于點，于點．

(1)求證：是等腰三角形；(2)求的值；(3)若．求的面積．勾股定理的應用例題：（23-24八年級下·福建南平·期末）如圖，、是兩條公路，，沿公路方向離點O為160米的點A處有一所學校，當重型運輸卡車沿道路方向行駛時，在以重型運輸卡車所在的點P為圓心，長為半徑的圓形區(qū)域內都會受到卡車噪聲的影響，且點P與點A的距離越近噪聲影響越大．假設重型運輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時．

(1)求對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離；(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間．【變式訓練】1．（23-24八年級上·遼寧遼陽·期末）消防云梯的作用主要是用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層建筑的火災現場，如圖，已知云梯最多只能伸長到米（即米），消防車高米，救人時云梯伸長至最長，在完成從米（即米）高的處救人后，還要從米（即米）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？2．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，為海中的兩座小島，為海岸上的信號塔．已知小島A在信號塔C的北偏西方向80海里處，小島B在信號塔C的南偏西方向60海里處．(1)求小島A與小島B之間的距離；(2)一艘輪船從小島A出發(fā)，沿直線向小島B航行．若信號塔的信號有效覆蓋半徑為50海里，問：輪船在航行過程中，能否收到信號塔C的信號？3．（23-24八年級上·四川巴中·期末）如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，發(fā)現將繩子拉直，繩子末端落在點處，此時點到旗桿底部的距離為米，小明拉緊繩子的末端，將繩子的末端放在米高的觀賽臺上的點處，測得此時點到旗桿的水平距離為米，求旗桿的高度為多少米？小明不完整的求解過程如下：(1)設米，則（用含的代數式表示）(2)請幫小明求出的值．判斷能否構成直角三角形例題：（22-23八年級上·浙江臺州·期末）滿足下列條件的是直角三角形的有個（

）①；②：：：：；③；④是上的中線，且．A． B． C． D．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川成都·期末）能判斷是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．，2．（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）在中，，，的對邊分別是a、b、c．下列條件中，可以判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．3．（23-24八年級上·四川成都·期末）滿足下列條件時，不是直角三角形的是(

)A． B．C． D．利用勾股定理的逆定理求解例題：（23-24八年級上·廣東梅州·期末）如圖所示，在四邊形中，，，，．

(1)求的長；(2)四邊形的面積．【變式訓練】1．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期末）已知，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．2．（23-24八年級上·上海長寧·期末）如圖，在四邊形中，，，．

(1)求證：：(2)如果平分，且，求的面積．3．（23-24八年級上·北京通州·期末）如圖，在中，，，，是的邊上的高，為垂足，且，.

(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的長.勾股定理逆定理的實際應用例題：（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，某人從A地到B地共有三條路可選，第一條路是從A到B，為10米，第二條路是從A經過C到達B地，為8米，為6米，第三條路是從A經過D地到B地共行走26米，若C、B、D剛好在一條直線上．(1)求證：；(2)求的長．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）在一條東西走向河的一側有一村莊，河邊原有兩個取水點，，其中，由于某種原因，由到的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．(1)問是否為從村莊到河邊的最近路？請通過計算加以說明；(2)求原來的路線的長．2．（22-23八年級上·貴州貴陽·期末）如圖1是一個嬰兒車，圖2為其簡化結構示意圖．現測得，，其中與之間由一個固定為的零件連接（即）．

(1)求的長度；(2)根據安全標準需滿足，通過計算說明該車是否符合安全標準？3．（23-24八年級上·福建泉州·期末）如圖是某區(qū)域倉儲配送中心的部分平面圖，A區(qū)為商品入庫區(qū)，B區(qū)，C區(qū)是配送中心區(qū)．已知B，C兩個配送中心區(qū)相距250m，A，B區(qū)相距200m，A，C區(qū)相距150m，為了方便商品從庫區(qū)分揀傳送至配送中心，現有兩種搭建傳送帶的方案．甲方案：從A區(qū)直接搭建兩條傳送帶分別到B區(qū)，C區(qū)；乙方案：在B區(qū)，C區(qū)之間搭建一條傳送帶，再從A區(qū)搭建一條垂直于BC的傳送帶，兩條傳送帶的連接處為中轉站D區(qū)（接縫忽略不計）．(1)請判斷此平面圖形的形狀（要求寫出推理過程）(2)甲，乙兩種方案中，哪一種方案所搭建的傳送帶較短？請通過計算說明．一、單選題1．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）下列條件不能判定為直角三角形的是（）A． B．C． D．2．（22-23八年級下·河北邢臺·期末）如圖，釣魚竿的長為m，露在水面上的魚線長為m．釣魚者想看魚鉤上的情況，把釣魚竿轉到的位置，此時露在水面上的魚線長為m，則的長為（

）A．m B．m C．m D．m3．（22-23八年級下·四川廣安·期末）如圖，現有一長方體的實心木塊，有一螞蟻從A處出發(fā)沿長方體表面爬行到處，若長方體的長，寬，高，則螞蟻爬行的最短路徑是（

）A． B． C． D．4．（23-24七年級上·山東威海·期末）如圖，的頂點A，B，C都在邊長為1的小正方形網格的格點上，于點D，與網格線交于點F，取格點E，連接．對于四個說法：①，②，③，④點F在的平分線上，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（22-23八年級下·云南迪慶·期末）如圖，為等腰直角三角形，，以斜邊為直角邊作等腰直角三角形，再以為直角邊作等腰直角三角形，，按此規(guī)律作下去，則的長度為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，正方形和正方形的面積分別是100和36，，則以為直徑的半圓的面積是．7．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，網格內每個小正方形的邊長都是個單位長度，都是格點，與相交于點，則．8．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，有一直角三角形紙片，，，，于點．，分別是線段，上的點，，Ⅰ分別是線段，上的點，沿，折疊，使點，恰好都落在線段上的點處．當時，的長是．9．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）清代數學家李銳在其著作《勾股算術細草》中利用三個正方形出入相補的方法證明了勾股定理．如圖，在中，，和為邊，按如圖所示的方式作正方形，和，與交于點J，與交于點E，與交于點J，與交于點E．若四邊形和的面積和為5，四邊形和的面積和為12，則的值為．10．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）定義：若一個三角形一邊上的中線、高線與這條邊有兩個交點，這兩個交點之間的距離稱為這條邊上的“中高距”．如圖，中，為邊上的中線，為邊上的高線，則的長稱為邊上的“中高距”．（1）若邊上的“中高距”為0，則的形狀是三角形；（2）若，則邊上的“中高距”為．三、解答題11．（23-24八年級上·四川成都·期末）如圖，在中，，，，．(1)請判斷的形狀，并證明；(2)過點B作于點E，交于點F，求和的長．12．（23-24八年級上·河南周口·期末）為推進鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路．如圖，現從A地分別向，，三地修了三條筆直的公路，，，地、地、地在同一筆直公路上，公路和公路互相垂直，又從地修了一條筆直的公路與公路在處連接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路，的長度．(2)若修公路每千米的費用是萬元，請求出修建公路的費用．13．（22-23八年級上·四川成都·期末）我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，，，．(1)請你利用這個圖形，推導勾股定理：；(2)若直角三角形ABE的面積為54，，求小正方形EFGH的邊長．14．（22-23八年級上·河南南陽·期末）學校有一塊四邊形的空地，之間有一條垂直于的小路，如圖．學校計劃在這塊空地上種植花卉．已知：米，米，米，米．

(1)這塊空地的面積是多少平方米？（小路的面積忽略不計）(2)頂點到小路的距離是多少米？15．（23-24八年級上·四川巴中·期