勾股定理的應用

1.1直角三角形的性質和判定(Ⅱ)第2課時教案主備人：審核人：本章課時序號：4課題勾股定理的應用課型新授課教學目標1.能在較復雜圖形中，恰當地利用勾股定理求線段的長；2.掌握利用勾股定理的兩種方法：直接利用和建立方程；3.提高看圖用圖、作輔助線、綜合分析問題的能力；4.切實體會數學與生活的聯系，激發(fā)學習數學的興趣.教學重點1.學會利用勾股定理的兩種方法：直接利用和建立方程；2.具體問題具體分析，理清解答問題的步驟和方法.教學難點1.作輔助線，構造恰當的直角三角形；2.正確分析問題中圖形之間的相互關系，理清解題思路，確定解題方法.教學活動一、復習鋪墊1、回答問題：關于直角三角形三邊關系的性質定理是什么？PPT：勾股定理.直角三角兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，a2+b2=c2.2、在Rt△ABC中，∠C=90°，根據勾股定理填空：(1)c=a2+b(2)若a=5，c=13，則b=12；(3)若a=，b=，則c=5.二、教學新知，感悟方法1、出示問題：如圖，電工師傅把4m長的梯子AC靠在墻上，使梯腳C離墻腳B的距離為1.5m，準備在墻上安裝電燈.當他爬上梯子后，發(fā)現高度不夠，于是將梯腳往墻腳移近0.5m，即移動到C′處.那么，梯子頂端是否往上移動0.5m呢？2、理順思路(1)抽象出示意圖.(2)在Rt△ABC中，求出AB.(3)在Rt△A′BC′中，求出A′B.(4)計算AB-A′B，即得梯子往上移動的距離A′A.3、示范講解在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，AB==≈3.71(m).在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m，故A′B=≈3.87(m).因此A′A=3.87-3.71=0.16(m).即梯子頂端A點大約向上移動了0.16m，而不是移動0.5m.三、講解例題，學會方法例2“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深，葭長各幾何？”意思是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在池的中央，其出水部分為1尺.如果將蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.問水深與蘆葦長各為多少？分析：(1)根據題意，畫出水池截面示意圖，如右圖.設AB為蘆葦，BC為蘆葦出水部分長1尺，將蘆葦拉向岸邊，其頂部B點恰好碰到岸邊B′.(2)在Rt△AB′C中，B′C是正方形池塘邊長的一半，即B′C=5尺，而AB′，AC為未知.(3)設AC為x尺，根據AB′=AB，AB=AC+BC，BC=1尺，則AB′=(x+1)尺，從而可根據勾股定理建立方程求解.解：如圖，設水池深為x尺，則AC=x尺，AB′=AB=(x+1)尺.因為正方形池塘邊長為10尺，所以B′C=5尺.在Rt△ACB′中，根據勾股定理，得x2+52=(x+1)2.解得x=12.則蘆葦長為13尺.答：水池的深度為12尺，蘆葦長為13尺.四、鞏固練習，培養(yǎng)能力1、(慶陽中考)如圖所示是一張三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.現將紙片折疊，使點A與點B重合，那么折痕的長為.提示：將紙片折疊，使點A與點B重合，折痕就是線段AB的垂直平分線與AB，AC的交點之間D，E的線段.解：將紙片折疊，使點A與點B重合，折痕為AB的垂直平分線與AB，AC的交點之間的線段DE.連接BE，則BE=AE.設AE=BE=xcm，則CE=(8-x)cm.在Rt△BCE中，根據勾股定理，得CE2+BC2=BE2，即(8-x)2+62=x2解得x=.所以AE=cm.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，根據勾股定理，得AB=10，則AD=5.在Rt△AED中，AD=5，AE=，則DE=.因此，折痕長cm.2、(棗莊中考)如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM=4m，AB=8m，∠MAD=45°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD約為m(結果精確到0.1m，參考數據：≈1.41，≈1.73).解在Rt△AMD中，AM=4m，∠MAD=45°，∴DM=4m.設CD=xm，則CM=(x+4)m.∵在Rt△BMC中，∠B=30°，∠MBC=30°，MB=MA+AB=12m，CM=(x+4)m，∴BC=2(x+4)m.根據勾股定理，得MC2+MB2=BC2，即(x+4)2+122=[2(x+4)]2化簡得(x+4)2=48.解得x=4?4或x=?4?4(舍去).即CD=4?4≈4×1.73?4≈2.9(m).因此，警示牌的高CD約為2.9m。五、課堂總結，深化理解提問：如何利用勾股定理解答實際問題？學生回答，教師用PPT展示①根據實物圖畫出示意圖，作輔助線，構造直角三角形.②明確條件和問題，找出需要用到的直角三角形.③理清解題思路，確定解答步驟和運用勾股定理的方法：已知兩邊直接算；已知一邊或一條線段列方程.④根據要求取近似值，寫出答案.六、作業(yè)布置第13頁課后練習第1、2題1、如圖，一艘漁船以30海里/h的速度由西向東追趕魚群.在A處測得小島C在船的北偏東60°方向；40min后，漁船行至B處，此時測得小島C在船是北偏東30°方向.已知以小島C為中心，周圍10海里以內有暗礁，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群是否有觸礁的危險？解：作CD⊥AB于點D.∵∠BAC=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.∴BC=AB=30×=20(海里).又∵在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∴BD=BC=10(海里).∴CD===10＞10(海里).因此不會有觸礁的危險.2、如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，為了使電線CDE不影響汽車的正常行駛，電力部門在公路的另一邊豎立了一根高為6m的水泥撐桿BD，用于撐起電線.已知兩根桿子之間的距離為8m，電線CD與水平線AC的夾角為60°.求電線CDE的總長L(A，B，C三點在同一直線上，電線桿、水泥桿的粗細忽略不計).分析電線CDE的總長L就是CD+DE.過點D作DM⊥AE，在Rt△BDC中求出CD；過點D作DM⊥AE，在所得Rt△MED中求出DE，計算CD+DE即可求出電線總長L.解在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠BDC=30°.設BC=xm，則CD=2xm，而BD=6m，由勾股定理，得x2+62=(2x)2解得x=±2(負值舍去).因此電線CD的長為4m.在Rt△MED中，ME=AE-BD=6m，DM=8m，∴DE==10(m).∴