直線的方程教案

2.2直線的方程

知識梳理

1、直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率y=kx+b

與X軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率y—yo=R（x—M））

y~y\x-x\與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直

兩點式過兩點

y2-y\x2—x\線

不過原點且與兩坐標(biāo)軸均

截距式縱、橫截距

ab不垂直的直線

\

Ax+By+C=0

一般式所有直線

（上+尸加）

2、直線與x軸的交點伍,0)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距，與y軸的交點(0))的縱坐標(biāo)b叫做直

線在y軸上的截距。截距不是距離

3、兩直線平行的充要條件

直線/i：A|x+Biy+G=0與直線/2：A2x+B2)，+C2=0平行的充要條件是4星-A25=0且B2G翔(或

AC—A2c￥0).

4、兩直線垂直的充要條件

直線東4x+&y+G=0與直線6：4>+&，+。2=0垂直的充要條件是4A2+682=0.

知識典例

題型一直線方程

【例11求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過點A(-l,-3),傾斜角等于直線y瀉X的傾斜角的2倍；

(2)經(jīng)過點8(3,4),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形.

【答案】(1)由x-y+VJ—3=0(2)x-y+l=0或x+y-7=0.

【分析】

(1)根據(jù)傾斜角等于直線y=的傾斜角的2倍，求出直線的傾斜角，再利用點斜式寫出直線.

(2)與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形等價于直線的斜率為±1.

【詳解】

(1)已知tana=^^，k=tan2a=2f=6

31-tan4-a

直線方程為y+3=G(x+l)化簡得氐-y+-3=0

(2)由題意可知，所求直線的斜率為±1.

又過點(3,4),由點斜式得。一4=±(%-3),

所求直線的方程為x-y+i=o或x+y—7=o.

’七鞏固練習(xí)

求下列直線方程：

(1)求過點A(l,3),斜率是直線y=Tx的斜率的1的直線方程.

(2)求經(jīng)過點A(-5,2),且在x軸上的截距等于在>軸上截距的2倍的直線方程.

(3)求過A(2,l),8(加,3)兩點的直線/的方程.

【答案】(1)4x+3y-13=0；(2)2x+5y=0或x+2y+l=0；(3)2x-(m-2)y+m-6=0.

【分析】

(1)求出直線斜率，由點斜式方程即可得解；

(2)按照直線是否經(jīng)過原點分類，結(jié)合截距式方程即可得解；

(3)按照加=2、〃zw2分類，結(jié)合兩點式方程即可得解.

【詳解】

14

(1)設(shè)所求直線的斜率為A,依題意&=-4x—=-一,

33

又直線經(jīng)過點A(l,3),

4

，所求直線方程為丁一3=-一(x-1),即4x+3y-13=0；

(2)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為—+?=1,

2aa

-521

將(一5,2)代入可得——+—=1,解得。=一一，

2aa2

直線方程為x+2y+l=0；

當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為y="，

2

則一5左=2,解得女=一］,

2

，直線方程為y=即2x+5y=0；

故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+I=0；

(3)①當(dāng)加=2時，直線/的方程為x=2；

②當(dāng)加時，直線/的方程為匕土=』——，即2x-(〃z-2)y+m-6=0,

3-1m-2

???加=2時，代入方程2x—(〃z—2)y+加-6=0,即為x=2,

.?.直線/的方程為2x-(〃?-2)y+m-6=0.

題型二截距

1例21已知直線依+y-2+a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)。=()

A.1B.-1C.—2或1D.2或1

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意討論直線它在兩坐標(biāo)軸上的截距為0和在兩坐標(biāo)軸上的截距不為。時，求出對應(yīng)。的值，即可得

到答案.

【詳解】

由題意，當(dāng)一2+a=0,即a=2時，直線ax+y—2+a=0化為2x+y=0,

此時直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,滿足題意；

--*--H--y:--=1,

當(dāng)一2+a，0,即a/2時，直線ax+y-2+a=0化為"凹2-a，

a

2-a

由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得——=2-a,解得a=l；

a

綜上所述，實數(shù)a=2或a=l.

故選D.

鞏固練習(xí)

直線x-y-1=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

【答案】［

2

【分析】

分別計算出直線的橫截距和縱截距后可求三角形的面積.

【詳解】

令x=0可得y=-l；

令y=?？傻?=1,

故所求三角形的面積為LX1X1=L

22

題型三兩直線位置關(guān)系

【例31已知直線/的方程為3x+4y-12=0,求下列直線「的方程，「滿足：

(1)過點(-1,3),且與/平行；

(2)過點(一1,3),且與/垂直；

【答案】(l)3x+4y-9=0;(2)4x-3y+13=0.

【分析】

(1)由直線平行可得直線斜率，進(jìn)而由點斜式即可得解；

(2)由兩直線垂直可得斜率之積為-1,從而得斜率，進(jìn)而利用點斜式即可得解.

【詳解】

⑴.二/的斜率為一士3

4

3

直線/的方程為：y-3=--(x+1),即3x+4y-9=0.

4

4

(2)r的斜率為一,

3

4

直線1'的方程為：y—3=§(x+l),即4x-3y+13=0.

w△鞏固練習(xí)

已知點p(—4,2)和直線/：3x—y—7=0.求：

(1)過點P與直線I平行的直線方程；

(2)過點P與直線I垂直的直線方程.

【答案】(1)3x-y+14=0；(2)x+3y-2=0.

【分析】

(1)由所求直線與直線/平行，先設(shè)所求直線的方程是3x-y+〃?=0,再將點尸坐標(biāo)代入即可求出結(jié)果;

(2)由所求直線與直線/垂直，先設(shè)出所求直線方程為x+3y+〃=0,再將點尸坐標(biāo)代入即可求出結(jié)果.

【詳解】

⑴設(shè)所求直線的方程是3x-y+m=0(m*-7),

???點尸(一4,2)在直線上，

.".3x(—4)-2+m=0,

；.m=14,即所求直線方程是3x-y+14=0.

(2)設(shè)所求直線的方程是x+3y+〃=0,

?.?點尸(一4,2)在直線上，

—4+3x2+n=0,

.-.n=-2,即所求直線方程是x+3y-2=0.

題型四中線所在的直線

【例4】已知AABC的三個頂點分別為A(2,8),5(-4,0),C(6,0),則過點B將八鉆C的面積平分的

直線方程為().

A.2x-y+4=0B.x+2y+4=0

C.2x+y-4=0D.x-2y+4=0

【答案】D

【分析】

由中點坐標(biāo)公式先求AC的中點坐標(biāo)為。(4,4),再利用直線的點斜式方程求解即可.

【詳解】

解：由A(2,8),C(6,0),則A,C的中點坐標(biāo)為0(4,4),

則過點B將AABC的面積平分的直線過點0(4,4),

4—0八

則所求直線方程為，八(x+4)，

4-(-4)

即x—2y+4=0,

故選D.

“人鞏固練習(xí)

已知△ABC的三個頂點B(2,0),C(4,4).

(1)求A3邊所在直線的方程；

(2)求8c邊上中線所在直線的方程.

【答案】(1)x+y-2=0

(2)x-2y+l=0

【分析】

(1)由直線的兩點式方程求解即可；

(2)先由中點坐標(biāo)公式求出中點。的坐標(biāo)，再結(jié)合直線的兩點式方程求解即可.

【詳解】

(1)因為A(l,l),8(2,0),

v—0x—2

由直線的兩點式方程可得：A8邊所在直線的方程—，

1-01-2

化簡可得x+y-2=o；

(2)由8(2,0),C(4,4),

2+40+4

則BC中點D(——,——),即0(3,2),

22

v—2x—3

則6c邊上中線AO所在直線的方程為2-=-~-，

1-21-3

化簡可得x-2y+l=0.

題型五定點問題

【例5】直線方程丘一尹2—3g0恒過定點()

A.(3,2)B.(2,3)C.(一3,2)D.(-2,3)

【答案】A

【分析】

將直線方程履一y+2—3后0,轉(zhuǎn)化為人(x—3)—y+2=0求解.

【詳解】

因為直線方程kx-y+2-3k=0,

即為3)-y+2=0

X—3=0

所以<

_y+2=o

解得｛x=3c

[y=2

所以直線恒過定點（3,2）.

故選：A

A以鞏固練習(xí)

直線履一y+l-3A=0當(dāng)上變化時，所有的直線恒過定點

【答案】（3,1）

【解析】

【分析】

x—3=0

先分離參數(shù)得到（x-3）k+Z-g=O,再解方程組〈八即得直線所經(jīng)過的定點.

”[17=0

【詳解】

x—3=0

由題得（x-3）k+l-y=C>,所以八，解之得x=5,g=1,所以直線過定點（3,1）.

l-y=0

題型六對稱問題

【例6】已知直線1：x+y—2=0,一束光線從點P（0,1+百）以120°的傾斜角投射到直線1上，經(jīng)1反

射，求反射光線所在的直線方程.

【答案】x+島—（1+用=0

【分析】

根據(jù)題意求出入射光線所在直線的方程，解方程組可得入射光線與直線/的交點坐標(biāo)Q（1,1）,然后根據(jù)反

射原理得到點P關(guān)于直線y=x（過Q與直線/垂直的直線）的對稱點P'（6+1,0）在反射光線所在直線

上，最后根據(jù)兩點式方程可得所求.

【詳解】

如圖，設(shè)入射光線與/交于點Q,反射光線與x軸交于點P'

由入射光線傾斜角為120°可得入射光線所在直線的斜率為一6

又入射光線過點P(0,1+6),

入射光線所在的直線方程為>一(1+百)=一瓜,

即百x+y—(l+G)=0.

V3x+y-(l+>/3)=0\x-\

解方程組｛I'得

x+y—2=0=l

所以點Q的坐標(biāo)為(1,1).

過點Q作垂直于/的直線1',

顯然1'的方程為丫=*.

由反射原理知，點P(0,1+百)關(guān)于1'的對稱點P'(石+1,0)必在反射光線所在的直線上.

所以反射光線所在直線PQ的方程為上於="一(/+1),

1-01-(V3+1)

即x+Gy-(l+G)=0.

鞏固練習(xí)

一束光線從A(1，O)點處射到y(tǒng)軸上一點6(0,2)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是()

A.x+2y-2=0B.2x—y+2=0

C.x-2y+2=()D.2x+y-2=0

【答案】B

【分析】

由反射定律得點A關(guān)于y軸的對稱點，又因為B點也在直線上，根據(jù)截距式可得直線方程.

【詳解】

由題得點A(l,o)關(guān)于y軸的對稱點A(-1,0)在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點8(0,2)也在反射光線所

在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為二+上=1,即2x-y+2=0,故選B.

-12

鞏固提升

1、若直線y=2x與直線(a2-a)x-y+a+l=0平行，則。=()

A.a=-\B.a=2C.。=一1或2D.。=1或一2

【答案】B

【分析】

因為兩直線平行，所以斜率相等，從而求出a的取值，再根據(jù)取值情況，檢驗是否重合.

【詳解】

解：因為直線y=2x與直線(/一。)》一丁+。+1=0平行，所以/一。=2,解得：。=2或。=一1,檢

驗：當(dāng)。=一1時，兩直線重合，不成立，所以a=2.

故答案為B.

2、經(jīng)過點(—3,2),傾斜角為60。的直線方程是()

r

A.y+2=^(x-3)B.y—2=三(%+3)

C.y-2=V3(x+3)D.y+2=-^-(x-3)

【答案】c

【分析】

求出直線的傾斜角的正切值即為直線的斜率，又直線過點(-3,2),則由求出的斜率和點的坐標(biāo)寫出直線的

方程即可

【詳解】

由直線的傾斜角為60°,得到直線的斜率k=tan60°=G

又直線過點(—3,2)

則直線的方程為y-2=G(x+3)

故選C

3、設(shè)直線5x+3y-15=0在x軸上截距為。，在＞軸上的截距為b,則()

A.a=5,b=3B.ci—3,b=5C.a=-3,b=5D.a=-3,b=-5

【答案】B

【分析】

由截距的定義，分別求出直線在x軸和y軸的截距即可.

【詳解】

由直線5x+3y-15=0

令y=0,x=3

令x=0,y=5

即a=3,匕=5

故選B

4、下面說法正確的是（）.

A.經(jīng)過定點尸（不，%）的直線都可以用方程y一%=攵（％一毛）表示

B.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程二+2=1表示

ab

C.經(jīng)過定點40/）的直線都可以用方程y=fcr+%表示

D.經(jīng)過任意兩個不同的點「（4,x）,Q（々,%）的直線都可以用方程

（%一%＞（y一。）=（%一。）。一司）表示

【答案】D

【分析】

根據(jù)點斜式、截距式、斜截式法、兩點式方程特征逐一分析判斷.

【詳解】

經(jīng)過定點P（E，%）且斜率存在的直線才可用方程y一刊=攵（工一事）表示，所以A錯；

不經(jīng)過原點且與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線才可以用方程土+上=1表示，所以B錯；

ab

經(jīng)過定點且斜率存在的直線才可用方程丁=履+力表示，所以c錯；

當(dāng)工產(chǎn)w時，經(jīng)過點P（X,乂），。（馬，力）的直線可以用方程y一切=6三口一西），即

X2~X\

伍一不）,3—,）=（必一y）（x—x）表示，

當(dāng)時，經(jīng)過點P（玉,y）,Q（w，%）的直線可以用方程x=x，即

（3一石）.（丁一。）=（%一。）（兀一百）表示，

因此經(jīng)過任意兩個不同的點P（玉,y）,。（芻,%）的直線都可以用方程

（3-%>（丁一。）=（%一。）（。一段）表示，所以D對;

故選：D

5、若直線區(qū)+（1—左）y-3=0和直線（左一l）x+（2左+3）y-2=0互相垂直，則4=（）

A.一3或一1B.3或1C.-3或1D.一1或3

【答案】C

【分析】

直接利用兩直線垂直的充要條件列方程求解即可.

【詳解】

因為直線"+（l-Z）y_3=0和直線（％—l）x+（2左+3）y-2=0互相垂直，

所以左（左一1）+（1—左）（2女+3）=0,

解方程可得攵=1或左=一3,故選C.

6,（多選）下列說法正確的是（）

A.直線y=?-3。+2（。GR）必過定點（3,2）

B.直線y=3x-2在y軸上的截距為—2

C.直線氐+y+l=o的傾斜角為60。

D.過點（-1,2）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y=0

【答案】ABD

【分析】

將方程化為點斜式，即可判斷A；令％=0,得出在>軸上的截距，進(jìn)而判斷B：將一般式方程化為斜截

式，得出斜率，進(jìn)而得出傾斜角，從而判斷C；由兩直線垂直得出斜率，最后由點斜式得出方程，進(jìn)而判

斷D.

【詳解】

y=3a+2（aeR）可化為y_2=a（x-3）,則直線y=ox_3a+2（aeR）必過定點（3,2）,故A正

確;

令％=0,則y=-2,即直線y=3x-2在>軸上的截距為_2,故B正確；

Jir+y+l=O可化為y=-"v-l,則該直線的斜率為一G，即傾斜角為120。，故C錯誤；

設(shè)過點(-1,2)且垂直于直線工-2y+3=0的直線的斜率為k

因為直線x-2y+3=0的斜率為所以-1,解得攵=一2

22

則過點(T,2)且垂直于直線x-2y+3=0的直線的方程為y—2=-2(x+1),即2x+y=0,故D正確;

故選：ABD

7、若直線x-y+2機(jī)=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不小于8,則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】m>2,或〃zW-2

【分析】

先求出直線的橫縱截距，再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】

解：令x=0,得y=2機(jī)，

令y=0,得x=-2m,

由直線x-y+2m=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不小于8,

則2M>16,

解得/找22或mW-2,

故實數(shù)機(jī)的取值范圍為加之2或加4一2.

8、傾斜角為直線y=-Gx+l的傾斜角的一半且經(jīng)過點(-4,1)的直線方程為.

【答案】丫-1=百。+4)

【分析】

由直線的斜率可知傾斜角為120。，所求直線的傾斜角為60°,由點斜式可求得直線方程.

【詳解】

直線丫=一，^+1的傾斜角為120°,所以所求直線的傾斜角為60°,即斜率為水.

又直線過定點(-4,1),由點斜式可得直線方程為y-l=g(x+4)

9,已知直線(3后一l)x+(k+2)y—左=0,則當(dāng)上變化時，所有直線都通過定點

【答案】（于2力1.

【分析】

利用（ax+by+c）+A.（mx+ny+p）=O過定點即ax+by+c=O和mx+ny+p=O的交點，解方程組求得定點的坐標(biāo).

【詳解】

直線（3k-1）x+（k+2）y-k=0即-x+2y+k（3x+y-1）=0,

—x+2y=0

3x+y—1=0

但21

得x=-,y=一，

77

2I

故定點的坐標(biāo)為（一，一），

77

…上“，21、

故答案為：（一，一）.

77

10、直線3x-2y+左=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2,則實