2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及參考答案

2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思緒合理，環(huán)節(jié)對的，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數(shù).第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號為的四個答案，其中有且僅有一個是對的的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不管是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1．設，，且，則代數(shù)式的值為（）5.7.9.11.【答】.解由題設條件可知，，且，所以是一元二次方程的兩根，故，，因此.故選.2．如圖，設，，為三角形的三條高，若，，，則線段的長為（）.4...【答】.解由于，，為三角形的三條高，易知四點共圓，于是△∽△，故，即，所以.在Rt△中，.故選.3．從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是（）....【答】.解可以組成的兩位數(shù)有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20個，其中是3的倍數(shù)的數(shù)為12，15，21，24，42，45，51，54，共8個.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁（共9頁）所以所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是.故選.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁（共9頁）4．在△中，，，和分別是這兩個角的外角平分線，且點分別在直線和直線上，則（）...和的大小關系不擬定.【答】.解∵，為的外角平分線，∴.又，∴，∴.又，∴，∴.因此，.故選.5．現(xiàn)有價格相同的5種不同商品，從今天開始天天分別降價10％或20％，若干天后，這5種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為，則的最小值為（）....【答】.解容易知道，4天之后就可以出現(xiàn)5種商品的價格互不相同的情況.設5種商品降價前的價格為，過了天.天后每種商品的價格一定可以表達為，其中為自然數(shù)，且.要使的值最小，五種商品的價格應當分別為：，，，，，其中為不超過的自然數(shù).所以的最小值為.故選.6．已知實數(shù)滿足，則的值為（）.2023..1.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第2頁（共9頁）【答】.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第2頁（共9頁）解∵，∴，，由以上兩式可得.所以，解得，所以.故選.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．設，則.解∵，∴，∴.2．如圖，正方形的邊長為1，為所在直線上的兩點，且，，則四邊形的面積為解設正方形的中心為，連，則，,,∴.又，2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第3頁（共9頁），2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第3頁（共9頁）所以△∽△，故，從而.根據(jù)對稱性可知，四邊形的面積.3．已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點的橫坐標分別為，，且.設滿足上述規(guī)定的的最大值和最小值分別為，，則解根據(jù)題意，是一元二次方程的兩根，所以，.∵，∴，.∵方程的判別式，∴.，故，等號當且僅當時取得；，故，等號當且僅當時取得.所以，，于是.4．依次將正整數(shù)1，2，3，…的平方數(shù)排成一串：4…，排在第1個位置的數(shù)字是1，排在第5個位置的數(shù)字是6，排在第10個位置的數(shù)字是4，排在第2023個位置的數(shù)字是1.解到，結果都只各占1個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結果都只各占2個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結果都只各占3個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結果都只各占4個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結果都只各占5個數(shù)位，共占個數(shù)位；此時還差個數(shù)位.到，結果都只各占6個數(shù)位，共占個數(shù)位.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁（共9頁）所以，排在第2023個位置的數(shù)字恰好應當是的個位數(shù)字，即為1.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁（共9頁）第二試（A）一．（本題滿分20分）已知，對于滿足條件的一切實數(shù)，不等式（1）恒成立.當乘積取最小值時，求的值.解整理不等式（1）并將代入，得（2）在不等式（2）中，令，得；令，得.易知，，故二次函數(shù)的圖象（拋物線）的開口向上，且頂點的橫坐標在0和1之間.由題設知，不等式（2）對于滿足條件的一切實數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組（3）消去，得，所以或.又由于，所以或，于是方程組（3）的解為或所以的最小值為，此時的值有兩組，分別為和.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共9頁）2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共9頁）二．（本題滿分25分）如圖，圓與圓相交于兩點，為圓的切線，點在圓上，且.（1）證明：點在圓的圓周上.（2）設△的面積為，求圓的的半徑的最小值.解（1）連，由于為圓心，，所以△∽△，從而.由于，所以，所以，因此點在圓的圓周上.（2）設圓的半徑為，的延長線交于點，易知.設，，，則，，.由于,,，所以△∽△，所以，即，故.所以，即，其中檔號當時成立，這時是圓的直徑.所以圓的的半徑的最小值為.三．（本題滿分25分）設為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且（1）求，的值.解（1）式即，設，則（2）故，又，所以（3）2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共9頁）由（1）式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關于的一元二次方程（3）有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共9頁）不妨設（為自然數(shù)），則.由于和的奇偶性相同，且，所以只也許有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知.此時方程（3）的解為或（舍去）.把，代入（2）式，得.第二試（B）一．（本題滿分20分）已知，對于滿足條件的一切實數(shù)對，不等式（1）恒成立.當乘積取最小值時，求的值.解由可知.在（1）式中，令，得；令，得.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第7頁（共9頁）將代入（1）式，得，即2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第7頁（共9頁）（2）易知，，故二次函數(shù)的圖象（拋物線）的開口向上，且頂點的橫坐標在0和1之間.由題設知，不等式（2）對于滿足條件的一切實數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組（3）消去，得，所以或，又由于，所以或.于是方程組（3）的解為或所以滿足條件的的值有兩組，分別為和.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試（C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）設為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且滿足2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第8頁（共9頁）求的值.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第8頁（共9頁）解（1）式即，設，則（3）故，又，所以（4）由（1）式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關于的一元二次方程（4）有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).不妨設（為自然數(shù)），則.由于和的奇偶性相同，且，所以只也許有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知，此時方程（4）的解為或（舍去）.把，代入（3）式，得，即.代入（2）式得，所以，，因此.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第9頁（共9頁）2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第9頁（共9頁）2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.設，則（A）A.24.B.25.C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（C）A..B..C..D..3．用表達不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為（C）A.1.B.2.C.3.D.4.4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為（B）A..B..C..D..5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點A作半圓的切線AE，則CBE＝（D）A..B..C..D..6．設是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是（B）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實數(shù)，若是關于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是____________.2．設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為______.3．假如實數(shù)滿足條件，，則______.4．已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有___7__對.第二試一．（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：⊙P與軸的另一個交點為定點.（2）假如AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解（1）易求得點的坐標為，設，，則，.設⊙P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則.由于，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).（2）由于AB⊥CD，假如AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點的坐標為，即.又，所以，解得.二．（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.解由于BN是∠ABC的平分線，所以.又由于CH⊥AB，所以，因此.又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點共圓.又，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件：①②是否存在認為三邊長的三角形？假如存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，認為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.解法2結合①式，由②式可得，變形，得③又由①式得，即，代入③式，得，即.，所以或或.結合①式可得或或.因此，認為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.若均為整數(shù)且滿足，則（B）A．1.B．2.C．3.D．4.2．若實數(shù)滿足等式，，則也許取的最大值為（C）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若是兩個正數(shù)，且則（C）A．.B．.C．.D．.4．若方程的兩根也是方程的根，則的值為（A）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，，,則(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，則（D）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實數(shù)滿足方程組則13.2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C．已知，，則．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝，PC＝5，則PB＝______．4．將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，規(guī)定兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種規(guī)定擺放，最多可以擺放____15___個球.第二試（A）一．（本題滿分20分）設整數(shù)（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解由已知等式可得①令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和（1）當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又由于三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，相應可得到5個符合條件的三角形.（2）當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又由于三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，相應可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5＋6＝11.二．（本題滿分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點，作MD//AC，交⊙I于點D.證明：PD是⊙I的切線.證明過點P作⊙I的切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N.由于CP為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又由于PA、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又由于MD//AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在⊙I上，所以點Q和點D重合，故PD是⊙I的切線.三．（本題滿分25分）已知二次函數(shù)QUOTE的圖象通過兩點P，Q.（1）假如都是整數(shù)，且，求的值.（2）設二次函數(shù)QUOTE的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.QUOTE假如關于的方程的兩個根都是整數(shù)，求△ABC的面積.解點P、Q在二次函數(shù)QUOTE的圖象上，故，，解得，.（1）由知解得.又為整數(shù)，所以，，.(2)設QUOTE是方程的兩個整數(shù)根，且.由根與系數(shù)的關系可得，，消去，得，兩邊同時乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，，，二次函數(shù)的解析式為.易求得點A、B的坐標為（1,0）和（2,0），點C的坐標為（0,2），所以△ABC的面積為.第二試（B）一．（本題滿分20分）設整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長