2023-2024學(xué)年北京市第一零九中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市第一零九中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A63+A.65 B.160 C.165 D.2102.已知函數(shù)fx=2x+1x，設(shè)f′x是函數(shù)fxA.1 B.2 C.3 D.43.在二項(xiàng)式2?x6的展開式中，x4的系數(shù)為(

)A.?60 B.60 C.?30 D.304.已知PB|A=12，PAA.56 B.910 C.3105.將ABCDEF六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中A,B分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有(

)A.12種 B.18種 C.36種 D.54種6.設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，y=f′x的圖象如圖所示，則y=fx的圖象最有可能的是(

)A. B.

C. D.7.甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙口袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，先從甲口袋中隨機(jī)取出1球放入乙口袋，分別以A1，A2表示從甲口袋取出的球是紅球?白球的事件；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出1球，以B表示從乙口袋取出的球是紅球的事件，則PAA.823 B.623 C.17408.已知函數(shù)f(x)=3x?2x?1，則不等式f(x)<0的解集是A.0,1 B.0,+∞

C.?∞,0 D.?∞,09.某校一場(chǎng)小型文藝晩會(huì)有6個(gè)節(jié)目，類型為：2個(gè)舞蹈類?2個(gè)歌唱類?1個(gè)小品類?1個(gè)相聲類.現(xiàn)確定節(jié)目的演出順序，要求第一個(gè)節(jié)目不排小品類，2個(gè)歌唱類節(jié)目不相鄰，則不同的排法總數(shù)有(

)A.336種 B.360種 C.408種 D.480種10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，且滿足f′x?2fx<0A.e2f?1<1 B.f1>二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.x+3x312.已知(2x?3)7=a0+a13.從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)中任選3個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

．14.將五個(gè)學(xué)生代表名額分配到四個(gè)班級(jí)，每班至少有一人，則有

種不同的分配方案．(用數(shù)字作答)15.設(shè)某學(xué)校有甲、乙兩個(gè)校區(qū)和A,B兩個(gè)食堂，并且住在甲、乙兩個(gè)校區(qū)的學(xué)生比例分別為0.7和0.3；在某次調(diào)查中發(fā)現(xiàn)住在甲校區(qū)的學(xué)生在A食堂吃飯的概率為0.7，而住在乙校區(qū)的學(xué)生在A食堂吃飯的概率為0.5，則任意調(diào)查一位同學(xué)是在A食堂吃飯的概率為

.如果該同學(xué)在A食堂吃飯，則他是住在甲校區(qū)的概率為

.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)袋中有大小相同，質(zhì)地均勻的3個(gè)白球，5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，設(shè)取到白球的個(gè)數(shù)為X．(1)求PX=1(2)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．17.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx的圖象在點(diǎn)0,1(2)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間．18.(本小題12分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面A1ACC(1)求證：A1C//平面(2)若A1C⊥AB，求二面角D?A19.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在點(diǎn)e,fe處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)(2)當(dāng)a=0時(shí)，求證：fx(3)若函數(shù)fx在區(qū)間1,+∞上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20.(本小題12分)已知橢圓G:x2a2+(1)求橢圓G的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)．直線l與橢圓G交于C,D兩點(diǎn)(C,D不是橢圓的頂點(diǎn))，l與直線x=2交于點(diǎn)E，直線AC,AD分別與直線OE交于點(diǎn)M,N.求證：OM=ON21.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若fx>0對(duì)x∈0,+∞(3)證明：若fx在區(qū)間0,+∞上存在唯一零點(diǎn)x0，則x0答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.A

8.A

9.C

10.D

11.252

12.?1

13.48

14.4

15.1625；4916.(1)根據(jù)題意可知，“X=1”指事件“取出的2個(gè)球中，恰有1個(gè)白球”，所以P(X=1)=C(2)根據(jù)題意可知，X的可能取值為：0,1,2．P(X=0)=C30C5所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P5153則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×517.【詳解】(1)解：由函數(shù)fx=x+1ex因?yàn)榍悬c(diǎn)為0,1，所以切線方程為y?1=2(x?0)，即2x?y+1=0．(2)解：由函數(shù)fx=x+1ex當(dāng)x<?2時(shí)，f′x<0，則fx當(dāng)x>?2時(shí)，f′x>0，則fx所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,?2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(?2,+∞)18.【詳解】(1)如圖，連接A1B，設(shè)A1因?yàn)樵谌庵鵄BC?A1B1C1中，四邊形因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DE//A又因?yàn)锳1C?平面AB1D所以A1C//平面(2)因?yàn)锳B⊥A1C又A1C∩AC=C，A1C?平面A1所以AB⊥平面A1ACC1，又因AA又AA1⊥AC，所以AB，AC，A則A0,0,0，B12,0,2，D所以AB1=設(shè)平面AB1D的法間量為m=令x=?1，則y=1，z=1于是m=因?yàn)锳C⊥平面A1ABB1，所以所以cosm由題設(shè)，二面角D?AB所以二面角D?AB1?19.【詳解】解：(1)因?yàn)閒x所以f′x由題知f′e解得a=0．(2)當(dāng)a=0時(shí)，fx所以f′x當(dāng)x∈0,1時(shí)，f′x<0，f當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′x>0，f所以f1=0是fx所以fx(3)由(1)知，f′x若a≥0，則當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′x>0，f此時(shí)無極值．若a<0，令gx則g′x因?yàn)楫?dāng)x∈1,+∞時(shí)，g′x>0，所以g因?yàn)間1而ge所以存在x0∈1,f′x和fx1,xxf′?0+f↘極小值↗因此，當(dāng)x=x0時(shí)，fx綜上，a的取值范圍是(?∞,0)．20.【詳解】(1)由題意可得a=2ca=所以橢圓G的方程為x2(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m．則E2,2k+m，直線OE的方程為y=由y=kx+m3x2由Δ=484k2設(shè)Cx1,直線AC的方程為y=y聯(lián)立直線AC和OE得y1解得xM同理可得xN所以xM因?yàn)閗=2km=2km所以xM+xN=0，即點(diǎn)M所以O(shè)M=．21.解：(1)因?yàn)閒(x)=e2x?ax?1(x∈R)，所以f′(x)=2e2x?a．

?①若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(?∞,+∞)上單調(diào)遞增．

?②若a>0，令f′(x)=0，得x=12lna2．

當(dāng)x∈(?∞,12lna2)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在區(qū)間(?∞,12lna2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(12lna2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(12lna2,+∞)上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,+∞);

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,12lna2)，