高中數(shù)學(xué)講義：集合與常用邏輯用語知識梳理

高中數(shù)學(xué)講義：集合與常用邏輯用語知識梳理

目錄

1.集合與常用邏輯用語.........................................................1

2.集合........................................................................8

3.集合的表示方式............................................................12

4.集合之間的關(guān)系............................................................16

5.集合的運算.................................................................19

6.命題與量詞..................................................................23

7.四種命題的關(guān)系............................................................25

8.充分條件與必要條件........................................................27

1.集合與常用邏輯用語

1.1集合的概念（方括號內(nèi)概念來自國內(nèi)數(shù)學(xué)教科書人教A版）

元素：【將研究對象統(tǒng)稱為元素?！?/p>

集合：【將一些元素組合成的總體叫做集合，簡稱為“集“】

集合中的元素需遵守三大要素：確定性、互異性、無序性

非負(fù)數(shù)集（自然數(shù)集）記作N

正整數(shù)集記作N*或N+

整數(shù)集記作Z

有理數(shù)集記作Q

實數(shù)集記作R

有時為了方便表達(dá)，會將某個問題中涉及的所有元素都?xì)w納進(jìn)一個集合，

即全集，通常記作U

元素和集合到底是什么捏

其實只是換了個更嚴(yán)謹(jǐn)（看著厲害）的方式表示這些我們已經(jīng)熟知的東西

罷了，熟悉新語言是高中的第一課?

什么東西可以作為元素呢？

1?10之間的所有偶數(shù)

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第二中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生

到直線1的距離等于定長d的所有點

方程(x+1)(x-1)=3的所有實數(shù)根

這些都可以作為元素看待并且拽到一個集合里去！

同時，給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，不可以有含含糊

糊的元素！

像是什么"將高一二班全體長得很高的男同學(xué)作為一個集合“，這是不可

以的

但改成”將高一二班全體身高2185cm的男同學(xué)作為一個集合“就可以

了哦

而且，一個集合中的元素是互不相同的，也就是說，它們不可以重復(fù)出

現(xiàn)，比方說一個集合里不可以同時有4個3或者是2個-五

至于元素之間的無序性，也就是說那些元素只要確定且互不相同，就可以

往集合里塞啦，不需要去排隊，也不存在什么順序。

在數(shù)學(xué)語言中通常會用大寫字母A,B,C,…表示集合，用小寫字母a,b,

c,…代稱集合中的元素。需要表示某個元素和某個集合的關(guān)系時，就用到

“屬于”或“不屬于”這兩個詞。

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作aeA

如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于A,記作aqA

(怎么記憶G開口的方向一一你看它像不像一個爪子？小爪爪是朝向集

合的啦?)

怎么規(guī)定一個集合

第一種是列舉法！

“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為｛太平洋，印度洋，大西洋，

北冰洋｝

“1?10的全體偶數(shù)”組成的集合可以表示為｛2,4,6,8,10)

把集合的所有元素列出來并且用花括號圈好就可以表示集合啦

題設(shè)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赜昧信e法表示“1?10的全體偶數(shù)”就會是這樣：

設(shè)1?10間的全體偶數(shù)組成的集合為A,那么A=｛2,4,6,8,10)

由于元素的無序性，我們完全可以這樣寫：

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A={10,6,2,4,8)

但這個集合看上去也太亂啦，按順序?qū)憰靡恍?/p>

第二種叫描述法

有時候列舉法并不是很好用，總有些東西一個個列舉太麻煩，這時候我們

用描述法表示集合。

比方說小于10的整數(shù)的集合應(yīng)該這樣寫：

設(shè)V10的整數(shù)組成的集合為A,那么A={xeZ|x<10}

在{}中，”前為元素的取值范圍，”后為集合內(nèi)元素的共同

特征，教科書上這么規(guī)定：

一般的，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的

元素x所組成的集合表示為

{xeA|P(x)}#P(x)應(yīng)當(dāng)為等式或不等式

有時我們從上下文可以看出x的取值范圍，這時候我們有約定俗成的省略

寫法，如：

D={xeR|x<10]-D={x|x<10)

課后題

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1.2集合間的基本關(guān)系

集合間的關(guān)系其實就是各個集合的元素的關(guān)系

包含與被包含

【一般的，對于2個集合A,B,如果集合A中的任何一個元素都是集合B

的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作AUB（或B?A）,讀作“A包

含于B"（或“B包含A”）］

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數(shù)學(xué)中常用Venn（韋恩）圖來代表集合，上面集合AB的關(guān)系可以這樣用

Venn圖表示:

符號開口朝向看起來更大的B集合

打個比方：集合A={1,2,3},集合B={1,2,3,4），那么就說AUB

相等的關(guān)系

那么假如有一個這樣的集合C={1,2,3,4},它看起來滿足“每一個元素都

是集合B的元素”，但我們想象出的Venn圖會像兩個同心等圓。這時候我們

就說【集合C與集合B相等，記作C=B]

也就是說，若AUB且B=A,則A=B

更多的關(guān)系

這樣定義下去總會有些難受，因為我們總感覺集合B的子集就該像它的孩

子一樣比它更小些，一個孩子跟他媽媽一樣大感覺很怪異。所以我們希望能夠

區(qū)別出那些真正像孩子一樣的子集，也就是把他們叫做【真子集】

【如果集合AUB,但存在元素xdB,月.xqA,就稱集合A是集合B的

真子集，記作A曙B（或B崔A）,讀作“A真包含于B”或“B真包含A”】

同時還有一個必要的集合叫做“空集”（。）也就是沒有元素的集合，它

看起來有點滑稽，但我們會用到它，就像是一個不裝東西的塑料袋一樣。出于

這樣的理解，我們可以得到結(jié)論【空集是任何非空集合的真子集】

同樣的，我們又會將空集也做特殊的歸類，即在真子集里挖去空集，成為

【非空真子集】

整理

（1）任何集合都會是它本身的子集（#只不過不是真子集罷了嘻嘻）

AcA

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(2)對于集合A,B,C,如果AUB,且BUC,那么AUC(#如果A

在B的肚子里，B又在C的肚子里，那么A當(dāng)然也會在C的肚子里啦，就像俄

羅斯套娃，當(dāng)然，也許這三個娃可以違反直覺地是同樣的大?。坌Γ?

AUB,BUCoAUC

(3)在做計算題時常常會讓你數(shù)集合的子集，這時候可以用到公式

若人={al,a2,…an},則有

A的子集的個數(shù)為2》

A的真子集的個數(shù)為2八上1

A的非空真子集為2、-2

課后題

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1.3集合的基本運算

并集（#相當(dāng)于集合的加法）

猜一猜怎么做呢?就是將兩個集合的元素歸納到另一個集合里去，這個疊

加爹媽元素的集合就叫做前兩個集合的“并集”

【一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合

A與B的并集，記作AUB,讀作“A并B”]

并的符號（U）就像是一個碗，如果左邊有一碗草莓圣代，右邊有一碗

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藍(lán)莓圣代，這兩碗圣代的并集就是一個草莓和藍(lán)莓雙拼的大碗圣代

【即，AUB={x|xCA,或xGB}]

并集中的元素同樣要滿足互異性，A,B集合中重復(fù)的元素在并集C中只

需要寫一遍

那么現(xiàn)在這里是一份雙拼的制作過程:

可不要一看到題目的字母和符號就頭疼奧，集合A為；?2的數(shù)，集合B

為1?3的數(shù)，取一個并集就是-1?3的數(shù)

轉(zhuǎn)化成數(shù)軸圖像就是這樣的

-1012Jt

交集（把那些“既要……又要……”的家伙挑出來！）

總有一些元素會在兩個集合里都存在，“交”這樣的運算就是為了把兩個

集合中共有的元素提溜出來。

用數(shù)學(xué)語言講：AnB={x|xeA,XeB）

（#n就像是被掏空的“且”，取既A且B的元素也就是“交”啦）

舉個栗子:設(shè)人={1,2,3},B={2,3,4},那么AnB-{2,3}

補(bǔ)集（不想要就扣走?。?/p>

2.集合

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1、集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這

個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)，通常用英語大寫字母A、8、

C、...來表示。

2、元素：構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員)，通常用英語

小寫字母。、6、，、…來表示。

注意：在集合中，通常用小寫字母表示點(元素)，用大寫字母表示點(元

素)的集合，而在幾何中，通常用大寫字母表示點(元素)，用小寫字母表示點的

集合，應(yīng)注意區(qū)別。

3、空集的含義：不含任何元素的集合叫做空集，記為0。

4、元素與集合的關(guān)系：之間只能用或"任"符號連接。

(1)屬于：如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作aeA；

(2)不屬于：如果“不是集合A的元素，就說“不屬于集合人，記作”￡A。

5、集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性。

(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或

者不是這個給定的集合的元素，這叫集合元素的確定性。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸

入一個集合時，僅算一個元素，這叫集合元素的互異性。

集合中的元素互不相同。例：集合A："”｝,則。不能等于1。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，

僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣，這叫集合元素的

無序性。

例：｛0,1,2｝有｛0,2,1｝、｛1,0.2｝、｛1,2,0｝、｛2,0,1｝、｛2,1,0｝等六種表示方法。

6、集合的分類：

(1)有限集：含有有限個元素的集合。

(2)無限集：含有無限個元素的集合。

(3)空集：不含任何元素的集合。

7、常見的特殊集合：

⑴正整數(shù)集N*或M；

(2)非負(fù)整數(shù)集N(即自然數(shù)集，包括零)；

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(3)整數(shù)集Z(包括負(fù)整數(shù)、零和正整數(shù))；

(4)有理數(shù)集。(包括整數(shù)集Z和分?jǐn)?shù)集一正負(fù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù));

(5)實數(shù)集R(包括所有的有理數(shù)和無理數(shù))；

1)>按定義分類：「正整數(shù)

2)、按符號分類：「正有理數(shù)

正實數(shù)

I正無理數(shù)?

實數(shù)J0

有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)「負(fù)有理數(shù)負(fù)實數(shù)0正實數(shù)

1負(fù)實數(shù)

〔負(fù)無理數(shù)

L無理數(shù)…一無限不循環(huán)小數(shù)

注意：①％：｛整數(shù)｝M；z=｛全體整數(shù)｝⑻；

②｛(x,y)|x-y=O,xeR,yeR｝表示坐標(biāo)軸上的點集；

③｛(x,y)|x-y>O,xeR,yeR｝表示第1/3象限的點集；

④｛*,y)|x.y<O,xeR”R｝表示第小象限的點集；

(x+y=3

⑤對方程組解的集合應(yīng)是點集，例：3x-3y=l解的集合｛(2,1)｝；

例1-1.判斷下列說法是否正確，并說明理由。

(1)某個單位里的年輕人組成一個集合；

36」1

(2)1,2,4,2,2這些數(shù)組成的集合有5個元素;

(3)由。、葭。組成的集合與由以。、。組成的集合是同一個集合。

【解析】(1)不正確，因為“年輕人”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不具有確定性，不能

作為元素來組成集合；

(2)不正確，對于一個給定的集合，它的元素必須是互異的，

即集合中的任何兩個元素都是不同的，故這個集合是由3個元素組成的；

(3)正確，集合中的元素相同，只是次序不同，它們都表示同一個集合。

例1-2.下列說法正確的是()。

A、2020年上半年發(fā)生的大事能構(gòu)成一個集合B、小于100的整數(shù)

構(gòu)成的集合是無限集

C、空集中含有元素0

D、自然數(shù)集中不含有元素0

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【答案】B

【解析】“大事”是不確定的對象，A錯，

小于100的整數(shù)包括無窮個負(fù)數(shù)，B對，

空集中不含有任何一個元素，C錯，

自然數(shù)集中含有元素0，D錯，故選B。

例1-3.若元素“eQ,但。任Z,則。的值可以是（）o

A、-5

B、°

1

C、3

D、6

【答案】C

【解析】由題意可知，元素。是有理數(shù)但不是整數(shù)，.??”是分?jǐn)?shù)，故選C。

例1-4.已知集合S中三個元素。、〃、。是A4BC的三邊長，那么AABC一

定不是（Jo

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形

D、等腰三角形

【答案】D

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，知。、屋。都不相等，故選D。

例1-5.下列描述的對象組成的集合是無限集的是（）o

A、方程/-6》+5=0的根

B、大于°且小于2的實數(shù)

C、小于20的質(zhì)數(shù)

D、倒數(shù)等于它本身的實數(shù)

【答案】B

【解析】A中描述的集合中只有1、5兩個元素，

B中大于°且小于2的實數(shù)有無限多個，

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C中小于20的質(zhì)數(shù)有8個，

D中描述的對象只有±1,故B中所描述的集合是無限集，故選B。

例1-6.已知集合4=3/+點+4=0}為空集，則實數(shù)〃，的集合是()。

A{ni\-4<m<4}g{m\-4<m<4}{m\—2<m<2}

D{m\—2<m<2}

【答案】A

【解析】A=^2-4xlx4<0^/W2<16,則一4(機(jī)<4,故選A。

拓展：若有一個元素，則，〃=±4,即{T，4}；

若有兩個元素，則加>4或m<T,即{刈〃?<-4或帆>4}。

3.集合的表示方式

1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個花括號全部括

±o

(1)用列舉法書寫集合時，先應(yīng)明確集合中的元素是點集、數(shù)集還是其它集

合。集合的所有元素用“{}”括起來，元素間用分隔號“，

(2)元素不重復(fù)，元素?zé)o順序。

(3)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉

法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號。

(4)適用條件：有限集或元素間存在明顯規(guī)律的無限集。

需要說明的是，對于有限集，由于元素的無序性，如集合”23,4}與

{2,1,4,3}表示同一集合，但對于具有一定規(guī)律的無限集{123,4…},就不能寫成

{2,1,4,3…}O

2、自然語言描述法：用自然的文字語言描述。如：昌圖一高的所有團(tuán)員

組成的一個集合。

3、特征性質(zhì)描述法(簡稱描述法)：將集合中的元素的公共屬性描述出來，

寫在花括號內(nèi)表示集合的方法。它的一般格式為{Xi%')},"I"前是集合元素的

一般形式，"I"后是集合元素的公共屬性。

222

例:{X|X-2X-3=0}>{x\y=x-2x-3}{y\y=x-2x-3}

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{(x,y)\y=x2-2x-3]

o

以一個方程(組)或不等式(組)的所有解為元素的集合叫做該方程(組)或不等

式(組)的解集。

例：工2_摩()的解集就是A={x|xV-l或xNl},

--"。的解集就是6={x|TWxWl},

--1=0的解集是。={-1嘰

(1)寫清楚該集合代表元素的符號。例如，集合{xeRxvl}不能寫成

{x<l}O

(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)。例如，{xeR|x=2%},keZ,這

種表達(dá)方式就不符合要求，需將％eZ也寫進(jìn)花括號內(nèi)，即

{XELR\x=2k,kELZ}

o

(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母。

(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實數(shù)集時可以省略不

例：方程產(chǎn)-2》+1=0的實數(shù)解集可表示為{xeR|x2_2x+l=0},也可寫成

{X|X2-2X+1=0}

O

(5)在不引起混淆的情況下，可省去豎線及代表元素，如{直角三角形},

{自然數(shù)}等。

4、韋恩(心〃町圖法：如：―?、

例2-1.用適當(dāng)?shù)姆椒枋鱿铝屑希⑶艺f明它們是有限集還是無限

⑴方程--9=0的解集；

(2)大于°且小于10的奇數(shù)構(gòu)成的集合;

⑶不等式尸3>2的解集；

(4)拋物線卜=”上的點構(gòu)成的集合;

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⑸方程X2+X+1=O的解集。

【解析】(1)用列舉法表示為(-3,3},用描述法表示為{Xi》、9=0},集合中

有2個元素，是有限集；

(2)用列舉法表示為{135,7,9},用描述法表示為

{小=21,%€村+且14左45},

集合中有5個元素，是有限集；

(3)用描述法表示為“l(fā)x>5},集合中有無數(shù)個元素，是無限集；

(4)用描述法表示為{(兌)')仃=/},拋物線上的點有無數(shù)個，因此該集合是

無限集；

(5)方程Y+x+l=°無實數(shù)解，故該方程的解集為0,是有限集。

例2-2.由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是()o

A{X|-3<X<11,XG(2)

g{x|-3<x<l1}

C{x\-3<x<ll,x=2k,kGN+}

D{x|-3<x<ll,x=2k,kGZ)

【答案】D

【解析】偶數(shù)是整數(shù)，可以是正數(shù)、零或負(fù)數(shù)，故選D。

例2-3.若人={-2,2,3,4},8={x|x=f2jwA},用列舉法表示集合8

為。

【答案】{4916}

【解析】?."=產(chǎn)，當(dāng)f依次取-2、2、3、4時，x的值依次為4、

4、9、16,故8={4,9,16}。

例2-4.下列正確表示集合M={T，0，l}和N="|x2+x=0}關(guān)系的性〃〃圖是

()。

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【答案】B

【解析】由"={-1，°}知N在M的內(nèi)部，故選及

例2-5.下列集合中，不同于另外三個集合的是()o

2

A、{x|x=2021}B、{y|(y-2021)=0}c{x=2021)

D、{2021}

【答案】C

【解析】選項A,B,D中都只有一個元素“2021”，故它們都是相同的集

合,

而選項C中雖然只有一個元素，但元素是等式》=2021,而不是實數(shù)

2021,

故此集合與其他三個集合不同，故選C。

例2-6.設(shè)集合A=||〃區(qū)3},B={y\y=^

C={(x,y)|y=x2-1”A},試用列舉法分別寫出集合A、B、Co

【解析】集合A中的元素為絕對值小于等于3的正整數(shù)，.?.A={123},

集合8中的元素為》=1、2、3時函數(shù)"/_1的取值，."={0,3,8},

集合C中的元素是以集合A中的元素為橫坐標(biāo)，且在曲線丫=幺T上的

點，

?.?C={(1,0),(2,3),(3,8)}O

例2-7.已知全集。=2,A={X|X2-5X<(),XWZ},3={-1,0,1,2},則圖中陰

影部分所表示的集合等于(Jo

A、12}

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B、｛TO｝

C、｛OR

D、工2}

【答案】B

【解析】5x<0的解為0<x<5,...集合A={1,2,3,4},

(GA)nB是指不在集合A中，但在集合8中的全集中的元素，即一1,0,

???圖中的陰影部分表示的集合等于{T。，故選B。

4.集合之間的關(guān)系

1、子集、真子集和集合相等:

圖形語言

定義符號語言

X(圖)

如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元AqB

子集

素，那么集合A叫做集合8的子集（或33%）

如果集合A是集合8的子集，并且B中至少有一

B

真子集個元素不屬于A,那么集合A叫做集合8的真子

（或3*A）

集

如果集合A的每一個元素都是集合3的元素，反

集合

過來，集合8的每一個元素也都是集合A的元A=B

相等

素，那么就說集合A等于集合8

2、集合之間的性質(zhì)

(1)任何一個集合是它本身的子集，記作A[A。

(2)空集0是任何集合的子集，記作0=A。

(3)空集°是任何非空集合的真子集。

(4)若非空集合A有〃個元素，則其子集個數(shù)為2",真子集個數(shù)為2"-1,

非空子集個數(shù)為2"-1,非空真子集個數(shù)為2"-2。

(5)對于集合A、B、C,如果AqB且BqC,那么對于真子集也

同時成立。

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（6）A=8且B=A,則A=B；反之A=B,則A=8且B=A。

3、集合之間只能用"=、u、/&"，"3、n、1","=、工"等連

接，不能用"e"或"”符號連接。

4、集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系

（1）推出符號（又稱雙推符號）n的應(yīng)用：是正確的推理"因為…所以…”的簡

寫形式。例如："因為4所以夕'意指"由A成立可得到3必成立"，這時用推出

符號表示為：A=其中命題A稱為條件、命題8稱為結(jié)論，簡稱"由A推出

8"或"A是3的充分條件'這時命題A、8的關(guān)系稱為因果關(guān)系。

因果關(guān)系具備自反性（即A=A）和傳遞性唧，，若A=BnC,則

An。，），但不具備對稱性（即若AnB則未必有3nA）。

（2）互推符號=的應(yīng)用：A=8意指"不但由A可推出B,而且由8也可推

出A"，簡稱"A等價于夕，或“A是5的充要條件”。這時命題A、8的關(guān)系稱為等

價關(guān)系。

等價關(guān)系具備自反性（即4=力、對稱性（即"若AoB則B=A，，）和傳遞性

（即"若A=3,BoC,則AoC，，）。

例3-1.設(shè)集合M={x|x=5-4a+/,aeR},集合

N={y|y=4/+4a+2,awR},則下列關(guān)系正確最準(zhǔn)確的是（

A、M=N

B、NwM

C、MeN

D、M=N

【答案】A

［解析】M={x\x=5—4a+a2=（a-2）2+1,aG/?}

N=3y=4/+4a+2=（2a+1）2+1,4w/?},

即：M={X|X>1}>^v={yly>i},：.M=N,故選A。

例32設(shè)集合A={x|x=5-4a+/,aeN+},集合

8=3y=/+2a+2,aeN+},則下列關(guān)系正確最準(zhǔn)確的是（）。

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A、A6

B、BgA

C、A*B

D、BEA

【答案】D

［解析】A={x|x=（a-2/+l,aeN+},B={y|y=（“+1-+l,aeNf},

即：A={1,2,5,10…},5={5,10,17,26.■?},故選D。

例3-3.已知集合A={123,4},那么A的真子集的個數(shù)是（）。

A、3

B、4

C、15

D、16

【答案】A

【解析】根據(jù)子集的計算應(yīng)有24T=15（個），故選A。

例3-4.集合4={刈*2-3*+2=0/€/?},集合B={x|0<x<5,xeN},則滿

足條件A=C=8的集合C的個數(shù)為（）o

A、1

B、2

C、3

D、4

【答案】D

［解析］A={L2},B={1,2,3,4},AUCUBFC={1,2}、C={1,2,3}、

C={1,2,4}、C={123,4}9

集合C的個數(shù)為4,選D。

例3-5.設(shè)集合A={x|l<x<2},B=［x\x<a}f若AqB,則。的取值范圍

為（）。

A、

第18頁共29頁

B、3

C、a>\

D、a￡2

【答案】A

【解析】由于A=根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知。22,故選A。

例36已知集合4={-1，3,2m-1},集合8={3,/},若B=A,則實數(shù)

m=

O

【答案】1

［解析］nr=2m-\,即(加.1)2=0,

5.集合的運算

1、交集的定義：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合3的元素所組成

的集合叫做集合A與集合3的交集。記作AC3,讀作“A交3”，即

/106={^|XGA_@JCGB}

o

注意：點集與數(shù)集的交集是0,例：A={(x,y)|y=x+1},

3={丫及=公+1},則anB=0。

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素所組成

的集合，叫做集合A與集合8的并集。記作AU8(讀作“A并夕，)，即

AUB={x|x￡4或1￡B}

O

3、全集與補(bǔ)集

(1)全集：如果所有要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給

定的集合為全集，通常用"來表示。

(2)補(bǔ)集：如果給定集合A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元

素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補(bǔ)集。記作：CuA^［x\xeUKx^A}o

主要性質(zhì)和運算律：

①重要結(jié)論：AC|A=A,AA0=0p|A=0.AUA=A,

A\J0=0\JA=A.，UC\A=A,U\JA=U°

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②包含關(guān)系：A=A,AqU,Ch,A^U.AqB,BjC=

AqC.

AClBqA,AClBcB；AUB",A\JB^Bg

R

③等價關(guān)系：AC|3=A=A\JB=B<=>QAG，80A[}CvB=0

oGAUB=U.

9

④集合的運算律：交換律：AnB=BnA,AU3=BUA；

結(jié)合律：(AAB)nC=AA(BnC))(AU8)UC=AU(8UC)；

分配律：An(BUc)=(AnB)u(Aric)=(AUB)ri(Auc)；

求補(bǔ)律：AnC0A=0,AUC〃A=U,CU(CUA)=A,

反演律：3(40或=。必11的巴Ct7(AUB)=C(7AnQ,Bo

注意：①已知集合S中A的補(bǔ)集是一個有限集，則集合A也是有限集。(x)

②空集的補(bǔ)集是全集；

4、有限集的元素個數(shù)

(1)定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為8rd(A)。規(guī)定

card(0)=0

(2)基本公式:

①card(A\JB)=card(A)+card(B)—card{AAB)

②

card(A\JC)=card(A)-hcard(B)-I-card(C)-card(AC\B)-card(BC)C)-card(Ar\C)

+card(ADBAC).

③carclXCyA)=card(U)-card(A)

5、集合的運算

(1)集合有三種運算關(guān)系：交集、并集和補(bǔ)集。在進(jìn)行集合的運算時，先看

清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉(zhuǎn)化求

解，必要時充分利用數(shù)軸、韋恩圖、圖象等工具使問題直觀化，并會運用分類

討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，使運算更加直觀，簡潔。

(2)一般來講，集合中的元素是離散的，則用列舉法或韋恩圖表示；集合中

第20頁共29頁

的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點是實心還是空心，在含

有參數(shù)時，要注意驗證區(qū)間端點是否符合題意。遺忘空集的存在性也是常見的

致誤原因。

例4-1.設(shè)集合M={x|x?+2x=0,xwR},N={x|/-2x=0,xwR},則

MUN=（）o

A、{。}

B、{。，2}

C、{々0}

D、{-2,0,2}

【答案】D

【解析】“={0，-2},N={0,2},...MUN={-2,0,2},故選口。

例4-2.已知集合A={xH?x<2},集合3={X|24X<3},則下列關(guān)系中正

確的是（）o

A、AnB=0

B、ACIB={2}

cAUB={x|l<x<3}

DAUB={x|l<x<2}

【答案】A

【解析】anB=0,4UB={X|1C<3},故選A。

例4-3.已知集合4={.'2-2》<0},集合8={到一+1區(qū)6},則下列關(guān)系正

確的是（）。

A、AC\B=0

B、AU3=R5B=A

D、A=B

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【答案】D

［解析］A={X|0<X<2},B={X|-V5<X<V5}>上數(shù)軸，故選口。

2

例4-4.已知集合。=t^={x|x-x-2>0}t則C°A=（）。

A、{x\-\<x<2}B、{x|—1<x<2］C{x|—2vx<1}

D{x|—2<x<l}

【答案】B

［解析］4={x|x4-1熱22},..U=R,,CuA={x\-\<x<2}故選B。

例4-5.已知集合4={劃--4x<0},B={y\y=2x-\,XGNJ5則如圖所

示的Ve〃〃圖中，陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為（）。/

D、4

【答案】B

【解析】由小一標(biāo)<°得°<x<4,...A={x［0<x<4},由y=2x—l,

XGN*,得3={1,3,5,…},

根據(jù)題圖可知陰影部分表示的集合為AC8,且4口8={1,3},

???陰影部分表示的集合中共有2個元素，故選B。

例46已知集合4={。，刈/+丁=4},3={（x,y）|y2=x+2},則集合

ACB的真子集的個數(shù)為（）。

A、3

D、8

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【答案】c

X2+y2=4卜=_2卜=1卜=1

【解析】聯(lián)立卜=x+2解得日=。或1尸百或卜=一6,

故An8={（-2,0）,（1,百）,（1,一6）},

有3個元素，則真子集的個數(shù)為展-1=7,故選配

2

例4-7.設(shè)集合A={T，L3},B={a+2,a+4]?AC|8={3},則

a=o

【答案】1

【解析】；An'={3},...3eB,...a2+4*3,...4+2=3,...anl。

6.命題與量詞

1、命題：一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以

判斷真假的語句叫做命題。

2、命題的分類：①真命題：判斷為真的語句叫做真命題；

②假命題：判斷為假的語句叫做假命題。

一個命題要么是真，要么是假。數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理等都是真命

題。

3、全稱量詞：短語“所有"、"任意"、"每一個“、"一切”等在陳述中表示所

述事物的全體，在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示，讀作"對任

意”。含有全稱量詞的命題稱為全稱命題。

4、存在量詞與存在性命題：短語“有一個"、“存在一個"、"至少有一個”、

“有的“、“有些"、"某個”等在陳述中表示所述事物的個體或部分，在邏輯中叫做

存在量詞，并用符號"才’表示，讀作“存在"。存在量詞的命題稱為存在性命題。

5、基本邏輯聯(lián)結(jié)詞："或”且（人廠、“非（f”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)

詞。

（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命

題叫復(fù)合命題。

（2）復(fù)合命題的構(gòu)成形式：①?；?；②。且夕；③非〃（即命題P的否

定）。

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（3）復(fù)合命題的真假判斷（利用真值表）:

非〃非4，或9，且4

pq

(>)（?。?PM)

真真假假真真

真假假真真假

假真真假真假

假假真真假假

例5-1."關(guān)于x的不等式/（幻＞°有解”等價于（）。

A、我叫使得〃陶）＞°成立

B、玉”R,使得成立

C、VxeR,使得f（x）＞°成立

D、VxeR,/（x）4°成立

【答案】A

【解析】"關(guān)于x的不等式〃x）＞°有解”等價于“存在實數(shù)%,使得/。。）＞°

成立"，故選A。

例5-2.命題的否定是（）。

A、VxeR,xwxB、VXGT?,x~=xc、玉任R,九豐x

D、HxeT?,x2=x

【答案】D

【解析】全稱命題的否定，需要把全稱量詞改為特稱量詞，并否定結(jié)論，

故選Do

例5-3.若命題P：以《心2x2-l＞0,則該命題的否定是（卜

A、VxwR,2x2-1＜0

B、BxeT?,2x2-1＜0

CX/XGR、2X2-1＜0

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D、BXGT?,2x2-1>0

【答案】B

【解析】命題p的否命題為：女wR,2x2-l<0,故選B。

7.四種命題的關(guān)系

1、四種命題的形式：用0和4分別表示原命題的條件和結(jié)論，用〉和/

分別表示。和4的否定，則四種命題的形式為：①原命題：若〃則九②逆命

題：若。則〃；③否命題：若〉則7;④逆否命題：若/則"。

（1）原命題。逆否命題，它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途

徑之一。

（2）逆命題Q否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命

題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑。

除以上兩點之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系。

2、否命題與否定命題的區(qū)別：

"否命題"與"命題的否定”這兩個概念，如果原命題是“若。則“"，那么這個

命題的否命題是"若非P,則非打，而這個命題的否定是“若夕則非夕”。可見，

否命題既否定條件又否定結(jié)論，而命題的否定只否定結(jié)論。

一個命題與它的否定形式是完全對立的。兩者之間有且只有一個成立。

命題是否成立，與它的否命題是否成立，兩者沒有關(guān)系。

得到一個問題的否命題很容易，把限定詞，條件，結(jié)論全部否定就可以

了。

例如：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)。

原命題的標(biāo)準(zhǔn)形式：任意X,（若X是自然數(shù)，則小是正數(shù)）。

原命題的否定命題：任意X,（若X是自然數(shù)，則X是非正數(shù)）。

原命題的否命題：存在X,（若X不是自然數(shù)，則一不是正數(shù)）。

第25頁共29頁

原命題的逆否命題：任意X,（若小不是正數(shù)，則X不是自然數(shù)）

例6-1.全稱命題"VxeZ,2X+1是整數(shù)，，的逆命題是（）。

A、若2%+1是整數(shù)，則xeZ

B、若2x+l是奇數(shù)，pllJxeZ

C、若然+1是偶數(shù)，則xwZ

D、若2x+l能被3整除，則xeZ

【答案】A

【解析】逆命題為：若2%+1是整數(shù)，則xeZ,故選A。

例62命題"若一<1,則T<x<l"的逆否命題是（）□

A、若/N1,則xNl或xW—1

B、若—1<X<1,則一<1

C、若x>l或x<T,則-2>1

D、