高中數(shù)學(xué)-方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

一.教學(xué)內(nèi)容

本課內(nèi)容普通高中數(shù)學(xué)必修①，第3章《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》，新授課，第一課

時(shí)。本節(jié)內(nèi)容《函數(shù)的零點(diǎn)》通過(guò)對(duì)二次函數(shù)圖像的繪制、分析，得到零點(diǎn)的概念，從而進(jìn)

一步探索一般函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定，這些活動(dòng)就是想讓學(xué)生在了解初等函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)

函數(shù)圖像進(jìn)行全新的認(rèn)識(shí)，在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值。

二.學(xué)生分析

1.認(rèn)知起點(diǎn)

建構(gòu)主義的基本主張認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程，學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)地接受

外在信息，而是根據(jù)先前認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動(dòng)地有選擇性地知覺(jué)外在信息，建構(gòu)當(dāng)前事物的意義，

所以課程實(shí)施決不是教師給學(xué)生灌輸知識(shí)、技能，也不是學(xué)生只被動(dòng)地陷于接受、記憶、模

仿和練習(xí)等低等而乏味的活動(dòng)。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該是學(xué)生在自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、

閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式下，師生之間、學(xué)生之間進(jìn)行愉快而有效的多邊互動(dòng)。所有這些

活動(dòng)都需要學(xué)生在知識(shí)起點(diǎn)方面有所準(zhǔn)備。通過(guò)對(duì)2.2節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)一次函數(shù)、二

次函數(shù)的性質(zhì)與圖像有了深刻了解，此時(shí)學(xué)生對(duì)初等函數(shù)的本質(zhì)屬性、初等函數(shù)的圖像與性

質(zhì)的聯(lián)系有了較高層次的認(rèn)識(shí)，所以在本節(jié)課提出函數(shù)零點(diǎn)的概念，不會(huì)顯得突然，反而對(duì)

學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程有很好的幫助。

2.學(xué)習(xí)興趣

有了良好的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)會(huì)很自然的與本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行銜接，這

樣學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣會(huì)得到保障。另外，在現(xiàn)代化教學(xué)設(shè)備方面，我們利用《幾何畫板》

這一具有超強(qiáng)畫圖功能的軟件，可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確地描繪函數(shù)圖像，所以學(xué)生的

興趣又得到了的提高。

3.學(xué)習(xí)障礙

本節(jié)課的學(xué)習(xí)障礙為零點(diǎn)概念的認(rèn)識(shí)。零點(diǎn)的概念是在分析了二次函數(shù)圖像的基礎(chǔ)

上，由圖像與x軸的位置關(guān)系得到的一個(gè)全新概念，學(xué)生可能會(huì)設(shè)法畫出圖像找到所有

任意函數(shù)可能存在的所有零點(diǎn)，但是并不是所有函數(shù)的圖像都能具體的描繪出，所以在

概念的接受上有一點(diǎn)的障礙。

4.學(xué)習(xí)難度

新教材關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和認(rèn)知特點(diǎn)，一方面注意控制教材內(nèi)容總量，精選學(xué)

生終身學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，另一方面也適當(dāng)降低了某些知識(shí)的難度要求，

改變了原有教材中原理性知識(shí)偏重思辨和過(guò)深、過(guò)難的現(xiàn)象，本節(jié)課就充分體現(xiàn)了這一

點(diǎn)。難度適中，知識(shí)要點(diǎn)突出，層次分明，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

三.設(shè)計(jì)思想

本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是以多媒體網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)為依托，借助《幾何畫板》的幫助，

為學(xué)生描繪一個(gè)數(shù)學(xué)圖形的世界，營(yíng)造一個(gè)探究學(xué)習(xí)的環(huán)境，讓他們通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)

歷回顧舊知、探求新知、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律的全過(guò)程。

四.教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：(1)通過(guò)對(duì)二次函數(shù)增圖像的描繪，理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，體會(huì)我們?cè)?/p>

研究和解決問(wèn)題過(guò)程的一般思維方法。

(2)通過(guò)對(duì)一般函數(shù)圖像的描繪分析，領(lǐng)會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程之間

的關(guān)系，掌握零點(diǎn)存在的判定條件。

(3)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物的觀察、歸納能力和探究能力。

過(guò)程與方法：通過(guò)畫函數(shù)圖像，分析零點(diǎn)的存在性。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：使學(xué)生再次領(lǐng)略“數(shù)形”的有機(jī)結(jié)合，滲透由抽象到具體的思想，

理解動(dòng)與靜的辨證關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密聯(lián)系。

五.教學(xué)重點(diǎn)

重點(diǎn)：理解零點(diǎn)的概念，判定二次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn).

難點(diǎn)：探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

六.教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

創(chuàng)設(shè)情境―......結(jié)合描繪的二次函數(shù)圖像，提出問(wèn)題，引入課題.

組織探究------二次函數(shù)零點(diǎn)和零點(diǎn)的判定.

一”…一感知數(shù)學(xué)，以零點(diǎn)存在性為練習(xí)重點(diǎn)進(jìn)行練習(xí).

意義建構(gòu)------

---i--建立數(shù)學(xué)，進(jìn)一步探索函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定.

探索研究------

例題研究------應(yīng)用數(shù)學(xué)，零點(diǎn)的存在性判斷及零點(diǎn)的確定.

I利用《幾何畫板》描繪某些特殊函數(shù)圖像，找出零點(diǎn),

學(xué)森純習(xí)―......并嘗試進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié).

作業(yè)反饋------重點(diǎn)放在零點(diǎn)的確定和應(yīng)用.

具體流程設(shè)計(jì)

一、創(chuàng)設(shè)情境

畫函數(shù),=/一28-3的圖像，并觀察其圖象與其對(duì)應(yīng)的一元二次方程

彳2-2兀-3=0的根的關(guān)系。

師：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)配方，畫函數(shù)圖象，分析方程的根與圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系。

生：獨(dú)立畫圖，獨(dú)立思考。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合說(shuō)明函數(shù)圖像與性質(zhì)的關(guān)系。

再次利用《幾何畫板》繪制函數(shù)y=——2x+l、y=Y-2x+3的圖像，并觀察它

們的圖像與對(duì)應(yīng)的一元二次方程丁-2》+1=0、/-21+3=0的根的關(guān)系。

［師生互動(dòng)］

師：引出零點(diǎn)的概念，將上述結(jié)論推廣到一般的一元二次方程和二次函數(shù)又怎樣？

生：完成解答，觀察、思考、總結(jié)、概括得出結(jié)論，并進(jìn)行交流.

設(shè)計(jì)意圖：利用《幾何畫板》的幫助，使學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)與新知識(shí)平順對(duì)接，形成零點(diǎn)

概念的初步認(rèn)識(shí)。幾個(gè)特殊的函數(shù)與方程又具有很強(qiáng)的概括性，包括方程有兩不相等的

根、兩相等的根、無(wú)根的情況，研究它們有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性，為學(xué)生

歸納方程與函數(shù)的關(guān)系鋪好了臺(tái)階。

二、組織探究

對(duì)于函數(shù)了=/(X)(XGD),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xe。)的

零點(diǎn)(zeropoint).

函數(shù)零點(diǎn)的意義：

函數(shù)y=/(X)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(X)的圖象與X軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo).BP：

方程/(X)=0有實(shí)數(shù)根O函數(shù)y=/(X)的圖象與x軸有交點(diǎn)O函數(shù)y=/(x)

有零點(diǎn).

［師生互動(dòng)］

師：引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)理解零點(diǎn)的概念，進(jìn)而感悟其中的思想方法

生：結(jié)合圖像認(rèn)真理解函數(shù)零點(diǎn)的意義，并對(duì)零點(diǎn)出現(xiàn)的條件進(jìn)行思考，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)

的意義探索其求法.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)零點(diǎn)的概念由初步的認(rèn)識(shí)到掌

握，并且對(duì)一般概念的形成過(guò)程有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)

三、意義構(gòu)建

函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程/。)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)了=/(x)的圖象聯(lián)系

起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

［師生互動(dòng)］

師：引導(dǎo)學(xué)生就將由圖象得到的概念進(jìn)一步深化，得到函數(shù)零點(diǎn)的求法。

生：得到函數(shù)零點(diǎn)的求解方法，第一:代數(shù)法，即求解函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程；

第二：幾何法，畫出函數(shù)圖像，找出零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：深刻認(rèn)識(shí)圖象與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，并掌握用幾何法求函數(shù)的零點(diǎn)。

二次函數(shù)y=公2+/?x+c(a*O)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定方法：

一元二次方程:次函數(shù)

判別式

ax2+Z?X+C=O(Q00)y=ax1+hx+cwO)

△=b1-4。。＞0有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)零點(diǎn)

△=b1-4ac=0有兩個(gè)相等的實(shí)根(重根)有一個(gè)二重的零點(diǎn)或有二階零點(diǎn)

△=b2-4。。vO沒(méi)有實(shí)根沒(méi)有零點(diǎn)

［師生互動(dòng)］

師：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的意義探索二次函數(shù)零點(diǎn)的情況.

生：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義，探索研究二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)，完全獨(dú)立完成對(duì)二次

函數(shù)零點(diǎn)情況的分析，總結(jié)概括形成結(jié)論，并進(jìn)行交流。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)特殊的函數(shù)零點(diǎn)產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)，深化零點(diǎn)概念

四、探索研究

(I)觀察二次函數(shù)/。)=X2—2x—3的圖象

①在區(qū)間［一3,1］上有零點(diǎn)；/(-3)=,/⑴=

，/(-3)-/(1)0(＞或＜).

②在區(qū)間［2,4］上有零點(diǎn)_/(2)?/(5)0(＞或＜).

結(jié)論：二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)

(1)當(dāng)函數(shù)的圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)(不是二重零點(diǎn))函數(shù)的值變號(hào).

(2)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).

(II)觀察下面函數(shù)y=/(x)的圖象

①在區(qū)間回上.(有/無(wú))零點(diǎn);

?f\b)0(＞或＜).

②在區(qū)間/,c］上_(有/無(wú))零點(diǎn);

f(b)?/(c)0(＞或＜).

③在區(qū)間［c,d］上(有/無(wú))零點(diǎn);

/(c)?f(d)0(＞或＜).

結(jié)論:零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不間斷的一條

曲線，并且有那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)內(nèi)至少存在一個(gè)零

點(diǎn)，即存在使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程〃x)=0的根.

注意：(1)此性質(zhì)成立的前提：函數(shù)圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線；

(2)零點(diǎn)c并不一定是唯一的，但一定存在；

(3)/(。)?/0)〉0是函數(shù)丁=/(只在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)的充分條件。但是若

函數(shù)y=/(x)是一次、二次函數(shù)時(shí)，則/(a)?/(b)＞0是函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(。⑹內(nèi)有零點(diǎn)的充要條件。

［師生互動(dòng)］

師：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合教師所提出的問(wèn)題及函數(shù)圖像，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符

號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間的關(guān)系。

生：結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、總結(jié)歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評(píng)

析。

設(shè)計(jì)意圖：如何由函數(shù)零點(diǎn)的概念過(guò)度到函數(shù)零點(diǎn)的判定方法是本節(jié)課的難點(diǎn)，這

樣設(shè)計(jì)，有得于營(yíng)造氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，內(nèi)容由淺入深，既展現(xiàn)了知識(shí)的形

成過(guò)程，又體現(xiàn)了能力的培養(yǎng)，符合素質(zhì)教育的思想。

五、例題研究

例題1：求函數(shù),=一/一2%+3的零點(diǎn)，并指出y>0,y=0時(shí)，x的取值范圍.

解：由一X?—2x+3=0得，芯=-3,巧=1

，函數(shù)^=一/一2%+3的零點(diǎn)為-3,1.

y=—Y—2x+3=—(x+l)?+4,畫出圖象，

由圖象觀察可得：當(dāng)一3<x<l時(shí)，y>0

當(dāng)x<-3或x>l時(shí)，y<0,.,.函數(shù)的零點(diǎn)為-3,1

y〉0時(shí)，x的取值范圍是(一3,1)

y<0時(shí)，x的取值范圍是(一。。,-3)0(1,+8).3

例題2：求函數(shù),=丁-2--》+2的零點(diǎn)，并畫出它的圖象6

4

.X■'3—2,x2—x+2=尤2(彳_2)_(彳_2)

=(x-2)(%2-1)

=(x-2)(x-l)(x+l)

...函數(shù)的零點(diǎn)為T,1,2

三個(gè)零點(diǎn)把x軸分成四個(gè)區(qū)間:(―0,-“,[-1,1],[1,2],也

列表一描點(diǎn)f連線

X???-1.5-1-0.500.511.522.5

y-4.301.8821.130-0.602.63???

83

說(shuō)明：求三次函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)鍵是能正確地進(jìn)行因式分解，而作它的圖象，可先由零點(diǎn)分析

出函數(shù)值的正負(fù)變化情況，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜↑c(diǎn)。

因式分解的方法主要有：提取公因式法，分組分解法，公式法，十字相乘法等.

［師生互動(dòng)］

師：引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，指出可以借助計(jì)算機(jī)畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對(duì)函

數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀的認(rèn)識(shí).

生：借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單

調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)零點(diǎn)存在的判定思想，讓學(xué)生自己動(dòng)手做數(shù)學(xué)，玩數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)，感

受成功，在這些綜合性、趣味性強(qiáng)的練習(xí)中，充分體現(xiàn)了嘗試教學(xué)和愉快教學(xué)。

六、嘗試練習(xí)

1.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒(méi)有根，有幾個(gè)根：

(1)-%2+3%+5=0；

(2)2Mx-2)=-3；

(3)—9=x~-6x；

(4)5x2+2x=3x2+5

2.求出下列函數(shù)的零點(diǎn)，并畫出函數(shù)的草圖：

(1)f(x)——x，—3x+3；

(2)y=x(x—l)(x—2)；

(3)y=(x-l)(x+l>(x+3)；

(4)/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.

［師生互動(dòng)］

師：結(jié)合圖象考察零點(diǎn)所在的大致區(qū)間與個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并

再次明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

生：認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)(特別是單調(diào)性)在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用，并

總結(jié)出確定函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟。

設(shè)計(jì)意圖：拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)思考能力，突出數(shù)形結(jié)合的思想。

七、作業(yè)反饋

I.教材'練習(xí)A第1、2題；

2.求下列函數(shù)的零點(diǎn)：

(1)y———x~+x+30；

(2)f(x)=(x2-2)(x2-3x+2).

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》學(xué)情分析

一、學(xué)生具備必要的知識(shí)與心理基礎(chǔ).

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，對(duì)初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)已經(jīng)有了一個(gè)比較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)與理解,

這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ).方程是初中數(shù)學(xué)的

重要內(nèi)容，用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決方程問(wèn)題，擴(kuò)充方程的種類，這是學(xué)生樂(lè)于接受的，故而

學(xué)生具備心理與情感基礎(chǔ).

二、學(xué)生缺乏函數(shù)與方程聯(lián)系的觀點(diǎn).

高一學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，常表現(xiàn)出不適，主要是數(shù)形結(jié)合與抽象思維尚不能勝任.具體表

現(xiàn)為將函數(shù)孤立起來(lái)，認(rèn)識(shí)不到函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的核心地位.例如一元二次方程根的

分布問(wèn)題，學(xué)生自然會(huì)想到韋達(dá)定理，而不是看二次函數(shù)的圖象.函數(shù)與方程相聯(lián)系的觀點(diǎn)

的建立，函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)的初步樹(shù)立，就成了本節(jié)課必須承載的任務(wù).

三、直觀體驗(yàn)與準(zhǔn)確理解定理的矛盾.

從方程根的角度理解函數(shù)零點(diǎn)，學(xué)生并不會(huì)覺(jué)得困難.而用函數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)和大致

范圍，則需要適應(yīng).換言之，零點(diǎn)存在性定理的獲得與應(yīng)用，必須讓學(xué)生從一定量的具體案

例中操作感知，通過(guò)更多的舉例來(lái)驗(yàn)證.

定理只為零點(diǎn)的存在提供充分非必要條件，所以定理的逆命題、否命題都不成立，在函數(shù)連

續(xù)性、簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)未學(xué)習(xí)的情況下，學(xué)生對(duì)定理的理解常常不夠深入.這就要求教師引導(dǎo)

學(xué)生體驗(yàn)各種成立與不成立的情況，從正面、反面、側(cè)面等不同的角度審視定理的條件與適

用范圍.

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》效果分析

本節(jié)課利用一元一次方程、一元二次方程、指數(shù)方程及其相應(yīng)的函數(shù)的關(guān)系來(lái)引入函

數(shù)零點(diǎn)的?？梢宰寣W(xué)生在原有函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)上，理解了簡(jiǎn)單的函數(shù)零點(diǎn)，再利用簡(jiǎn)單的視

頻引入定理，激發(fā)他們的興趣。由簡(jiǎn)入深。由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中

注重學(xué)生的主體地位，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的活動(dòng)，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性。在教學(xué)的設(shè)計(jì)上，講練結(jié)

合，注重?cái)?shù)學(xué)思想的點(diǎn)撥。讓學(xué)生充分體會(huì)函數(shù)與方程的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想在解決數(shù)

學(xué)問(wèn)題中的重要性。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本掌握了求函數(shù)零點(diǎn)的方法：圖象法和方程法。但是對(duì)于成

績(jī)較好的學(xué)生可以很輕松的將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，程度一般的學(xué)生這

個(gè)轉(zhuǎn)化有點(diǎn)難。但是基礎(chǔ)的方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化掌握很好！

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教材分析

一、地位與作用

1、第三章“函數(shù)與方程”是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是近年來(lái)高考關(guān)注的熱點(diǎn).

2、本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了前兩章函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)判斷方程的

根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系以及掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上

存在零點(diǎn)的判定方法;是培養(yǎng)學(xué)生“化歸與轉(zhuǎn)化思想”、“數(shù)形結(jié)合思想”、“函數(shù)與方程

思想”的優(yōu)質(zhì)載體.

3、本節(jié)課為下節(jié)”二分法求方程的近似解”和后續(xù)的“算法學(xué)習(xí)”提供了基礎(chǔ)，具有承

前啟后的作用.

二、教材重點(diǎn)：

基于上述分析，確定本節(jié)課的重點(diǎn)是：了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，體會(huì)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間

的聯(lián)系，掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性的判斷.

三、教材難點(diǎn)：

基于上述分析，確定本節(jié)課的難點(diǎn)是：發(fā)現(xiàn)和理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，探究發(fā)現(xiàn)函

數(shù)存在零點(diǎn)的方法。

第三章函數(shù)與方程

3.1.1方程的根與函數(shù)零點(diǎn)

測(cè)試題

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)的判斷

a

1.已知X=-1是函數(shù)f(x)=Tb(aAO)的一個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)g(x)=ax2-bx的零點(diǎn)是()

x

人.-1或1B.0或-1C.1或0D.2或1

2x—1,xE[0,+8),

2.(2015?大連高一檢測(cè))設(shè)函數(shù)「6)"2“八、又g(x)=f(x)T,則函數(shù)

(X2-4,xe(-OO,o),

g(x)的零點(diǎn)是()

A.1B.±v'5C.1,-V5D.1,v5

3.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(aWO)有兩個(gè)實(shí)根1,2,則函數(shù)f(x)=cx2+bx+a的零點(diǎn)為()

11

A.1,2B.-1,-2C.1,~~D.-1,一

22

4.函數(shù)y=(x—2)(x—3)—12的零點(diǎn)為.

x-1

5.若凡0=—1,則函數(shù)y=/(4x)-x的零點(diǎn)是.

6.若函數(shù)f(x)=ax+b有一個(gè)零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點(diǎn)是.

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

7.函數(shù)f(x)=X2+X+3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D,3

8.已知函數(shù)y=/(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表：

X123456

y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88

則函數(shù))，=兀0在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有()

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

9.(2015?日照高一檢測(cè))二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a￥0)中,ac〈0,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.0D.無(wú)法確定

10.偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,a］(a>0)上是單調(diào)函數(shù),且f(0).f(a)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間

La,a］內(nèi)根的個(gè)數(shù)是()

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

2

11.已知函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a>0)的零點(diǎn)為xbx2(xi<x2),函數(shù)f'(x)的最小值為yo,且

則函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.3B.4C.3或4D.2或3

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

12.函數(shù)丫=爐一所+1有二重零點(diǎn)，則〃的值為()

A.2B.—2

C.±2D.不存在

13.已知二次函數(shù)y=7U)滿足_/(3+x)=y(3—x),且y(x)=O有兩個(gè)實(shí)根XI、及，則為+及等

于()

A.0B.3

C.6D.不確定

14.若函數(shù)f(x)=ax2-x-l僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.(2015?鄭州高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x?+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中xGR,a,b為常數(shù),則

方程f(ax+b)=0的解集為.

1og3x,x>0,

16.(2015?東營(yíng)高一檢測(cè))已知函數(shù)r(x)=(1)X則滿足方程「(a)=1的所有的a的

x<0,

值為.

2

17.已知函數(shù)f(x)=x+ax+b(a,bCR)的值域?yàn)椋?,+oo),若關(guān)于x的方程f(x)=c

(cWR)有兩個(gè)實(shí)根m,m+6,則實(shí)數(shù)c的值為.

18.若方程x2+(k-2)x+2k-l=0的兩根中,一根在0和1之間,另一根在1和2之間,求k的取

值范圍.

【參考答案】

a

1.【解析】選C.因?yàn)閤=-1是函數(shù)千(x)=fb(a手0)的一個(gè)零點(diǎn)，所以-a+b=0,所以"b.所以

g(x)=ax2-ax=ax(x-1)(a=#0),令g(x)=0,得x=0或x=1.

2.【解析】選C.當(dāng)x》0時(shí)，g(x)=f(x)T=2x-2,令g(x)=0,得x=1;

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=x2-4T=x2-5,令g(x)=0,得x=±\'5(正值舍去),

所以x=-p5,所以g(x)的零點(diǎn)為1,-V5.

3.【解析】選C.方程ax?+bx+c=0(a手0)有兩個(gè)實(shí)根1,2,

1+2=bc

則a所以_=_3,-=2,

1X2=-,aa

a

/c7b

于是f(x)=cx=bx+a=a(-X，H--X+1(2X2-3X+1)=a(x-1)(2x-1),所以該函數(shù)的零點(diǎn)

\aa

1

是1,一.

2

4.【解析】jux2—5x—6=(x+l)(x—6),令y=0,解方程(x+l)(x—6)=0得x1=-1,xi

=6,所以函數(shù)的零點(diǎn)為一1,6.

【答案】一1,6

犬—

5.【解析】-：^x)=4-71-,4：1.—-T1—=x,解得x1=；,.?.零點(diǎn)為1今

【答案】\

6.【解析】由題意知2a+b=0,即b=-2a.

Q1

令g(x)=bx2-ax=o,得x=0或x=—=―.

b2

,1

答案：0或--

2

7.【解析】選A.令x?+x+3=0,A=1-12=-11<0,

所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故函數(shù)f(x)=x?+x+3無(wú)零點(diǎn).

8.【解析】?.求2)?貝3)<0,<3)*4)<0,式4M5)<0,

,至少有3個(gè)零點(diǎn)，分別在［2,3］,(3,4］,(4,5］上，故選B.

【答案】B

9.【解析】選B.因?yàn)閍c<0,所以△=b2-4ac>0,

所以該函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn).

10.【解析】選B.由函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)在區(qū)間［0,a］上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)零點(diǎn)為x,因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)=0,

故其在對(duì)稱區(qū)間［-a,0］上也有唯一零點(diǎn)，

11.【解析】選D.由f(f(x))=0,可得f(x)=xi或f(x)=xz.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小值yoW［xi,X2),且xi<x2,故當(dāng)yo>xi時(shí)，方程f(x)=xi無(wú)解，f(x)=xz有兩解,

故此時(shí)函數(shù)y=f(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)yo=xt時(shí)，方程f(x)=xt有一解,f(x)=X2有兩解，故此時(shí)函數(shù)y=f(f(x))有三個(gè)零點(diǎn).

12.【解析】,??)，=/一公+1有二重零點(diǎn)，.,?/=按一4=0,即人=±2,故選C.

【答案】C

13.【解析】由題意，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=3,由二次函數(shù)的對(duì)稱性知：x\+x2

=6,故選C.

【答案】C

14.【解析】①當(dāng)a:0時(shí),f(x)=-x-1是一次函數(shù)，顯然僅有一個(gè)零點(diǎn).

_1

②當(dāng)a=#0時(shí)，A=1+4a=0,所以a=―.

4

1

綜上知：a=0或a二--

1

答案：a=0或a=一

4

15.【解析】因?yàn)榍?x)=x?+2x+a,

所以f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2.

b2=9,

(b=-3,

則有＜2b=—6j即la=2.

■=2,

所以f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x-8x+5=0.

因?yàn)椤?64-808,所以方程f(ax+b)=0無(wú)實(shí)根.

答案：。

16.【解析】當(dāng)a>0時(shí),有l(wèi)og3a=1,解得a=3>0,符合題意;

當(dāng)aWO時(shí)，有(：)=1,解得a=0,符合題意，綜上所述,a=0或a=3.

答案：0或3

a\2Q2

X+-J+b-y,

(2

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+8),

a2(a\2

所以b-j0,所以f(x)二(x+a).

又因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)二c有兩個(gè)實(shí)根m,m+6,

所以千(m)=c,f(m+6)=c,所以f(m)=f(m+6),

2

所以+；+6

(m+|)4(m+|))2(m+|