高中數(shù)學(xué)教案選修1

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期教學(xué)計(jì)劃

一、指導(dǎo)思想

“師者，傳道授業(yè)解惑也。”教育的興衰維系國家之興衰，孩

子的進(jìn)步與徘徊事關(guān)家庭的喜怒哀樂！數(shù)學(xué)這一科有著冰凍三尺

非一日之寒地學(xué)科特點(diǎn)，在高考中的決定性作業(yè)亦舉重非輕，夸

張一點(diǎn)說數(shù)學(xué)是強(qiáng)校之本、升學(xué)之源。鑒于此，我們當(dāng)舉全組之

力，充分發(fā)揮團(tuán)隊(duì)精神，既分工合作，立足高考，保質(zhì)保量地完

成教育教學(xué)任務(wù)，在原來良好的基礎(chǔ)上錦上添花。

二、工作目標(biāo)

1、全組成員精誠團(tuán)結(jié)、互相關(guān)心、互相支持，弘揚(yáng)一種同志

加兄弟的同仁關(guān)系，力爭使我們高一數(shù)學(xué)組成為一個(gè)充滿活力的

優(yōu)秀集體。

2、不拘形式不拘時(shí)間地點(diǎn)的加強(qiáng)交流，互相之間取長補(bǔ)短、

與時(shí)俱進(jìn)、教學(xué)相長。

3、在日常工作中，既保持和優(yōu)化個(gè)人特色，又實(shí)現(xiàn)資源共享,

同類班級的相關(guān)工作做到基本統(tǒng)一。

三、工作思路

本學(xué)期高二數(shù)學(xué)備課組工作總體思路是：1、認(rèn)真貫徹落實(shí)學(xué)校

教務(wù)處對學(xué)科備課組工作的各項(xiàng)要求；2、強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)研究，提高

全組老師的教研水平和教學(xué)能力，開展好備課組的集體備課活動；3、

繼續(xù)鉆研新教材，認(rèn)真領(lǐng)會新課標(biāo)對高一數(shù)學(xué)教學(xué)的總體要求。

四、活動設(shè)想

1、按時(shí)完成學(xué)校（教導(dǎo)處、教研組）相關(guān)工作；

2、輪流出題，講求命題質(zhì)量，分章節(jié)搞好集體備課；

3、每周集體備課一次，每次有一個(gè)中心發(fā)言人，組織進(jìn)行教學(xué)研

討；

4、互相聽課，一人之長補(bǔ)己之短，完善自我；

5、認(rèn)真組織好培優(yōu)輔差工作以及各類競賽的組織工作。

第一幸灘理與證明

課題：合情推理（一）——?dú)w納推理

課時(shí)安排：一課時(shí)課型：新授課

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會合情推理這種基本的分析問

題法，認(rèn)識歸納推理的基本方法與步驟，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)

與解決中去。

2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，

越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一

般性規(guī)律的重要方法。

教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡單的推理。

教學(xué)難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理，做出猜想。

教學(xué)過程：

一、課堂引入：

從一個(gè)或兒個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過程稱為推理。

見書上的三個(gè)推理案例，回答兒個(gè)推理各有什么特點(diǎn)？都是由“前

提”和“結(jié)論”兩部分組成，但是推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特

點(diǎn)，據(jù)此可分為合情推理與演繹推理

二、新課講解：

1、蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥

蜴是用肺呼吸的。

蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動物，所有的爬行動物都是用肺呼吸

的。

2、三角形的內(nèi)角和是180。，凸四邊形的內(nèi)角和是360。，凸五邊形

的內(nèi)角和是540。

由此我們猜想：凸邊形的內(nèi)角和是（〃-2）x180。

3、全工奉若亭若…,由此我們猜想：/鬻（血〃均為

正實(shí)數(shù)）

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象

都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱

為歸納推理.（簡稱：歸納）

歸納推理的一般步驟：

⑴對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；

⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；

⑶檢驗(yàn)猜想。

實(shí)驗(yàn)，觀察J概括，推廣>猜測一般性結(jié)論

三、例題講解：

例1已知數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式,

/(〃)=(1-%)(1-出)--(1-4)，試通過計(jì)算/⑴J⑵，/⑶的值，推測出/(〃)

的值。

【學(xué)生討論：】(學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測如下)

1Q

(1)/⑴=1—4=1—=—

144

13X24

/(2)=(1—6)(1—4)=/⑴.”,)=：?冷=7)

/⑶=(1-％)(1-4)(1-%)=八2>(1_])=沾=1

lo31oo

由此猜想，/(〃)=占々

2(〃+1)

學(xué)生討論：1)哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素

數(shù)的之和。

2)三根針上有若干個(gè)金屬片的問題。

四、鞏固練習(xí)：

1、已知/(〃)=1+：+!+…+，(〃€"),經(jīng)計(jì)算：/(2)=1,/(4)>2,/(8)>|,

23n22

/(16)>3,/(32)>|,推測當(dāng)時(shí)，有.

2、已知：sin2300+sin2900+sin2150°=-,sin250+sin2650+sin21250=-o

22

觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。

3、觀察(1)tan10°tan20°+tan20°tan60"+tan60"tan10°=1

(2)tan50tanlO°+tanlO°tan750+tan75ctan5°=1o

由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論。

注：歸納推理的兒個(gè)特點(diǎn)：

1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論超越

了前提所包容的范圍.

2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因

而結(jié)論具有猜測性.

3.歸納的前提是特殊的情況，因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的

基礎(chǔ)之上.

歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶

有規(guī)律性的結(jié)論.

五、教學(xué)小結(jié)：

L歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體

數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是

一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。

2.歸納推理的一般步驟：1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。

2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述

的一般命題（猜想）。

六、作業(yè)：

教后反思：

課題：類比推理

?教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識與能力：

通過對已學(xué)知識的回顧，認(rèn)識類比推理這一種合情推理的基本方

法，并把它用于對問

題的發(fā)現(xiàn)中去。

（二）過程與方法：

類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似

性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系

就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1.正確認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察

事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)

現(xiàn)問題，探求新知識。

2.認(rèn)識數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)

學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識。

?教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡單的推理。

?教學(xué)難點(diǎn)：用類比進(jìn)行推理，做出猜想。

?教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

?課時(shí)安排：1課時(shí)

?教學(xué)過程：

一.問題情境

從一個(gè)傳說說起：春秋時(shí)代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木

匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒

霉事卻使他發(fā)明了鋸子.

他的思路是這樣的：

茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也

可以是齒形的.

這個(gè)推理過程是歸納推理嗎？

二.數(shù)學(xué)活動

我們再看幾個(gè)類似的推理實(shí)例。

例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。

等式的性質(zhì):猜想不等式的性質(zhì):

(1)a=b=>a+c=b+c;(1)a>b=>a+c>b+c;

(2)a=bnac=bc;⑵a>bnac>bc;

⑶a=bna2=b2；等等。⑶a>bna2>b2；等等。

問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？

例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.

圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

圓球

弦*—*截面圓

直徑一f大圓

周長一f表面積

面積*—*體積

圓的性質(zhì)球的性質(zhì)

圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的

垂直于弦連線垂直于截面圓

與圓心距離相等的兩弦相等；與圓與球心距離相等的兩截面圓相等；

心距離不等的兩弦不等，距圓心較與球心距離不等的兩截面圓不等，

近的弦較長距球心較近的截面圓較大

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)

過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)

切點(diǎn)過切點(diǎn)

經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必

過圓心經(jīng)過球心

☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類）對象之間在某些方面的相似

或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某

些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理

（簡稱類比）.

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

類比推理的一般步驟：

⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)

猜想;

⑶檢驗(yàn)猜想。即

觀察、比較=—聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論

■

■

例3.在平面上，設(shè)ha,hb,he是三角形ABC4條邊上的高尸為三角形內(nèi)任

匹+莊+&=1

一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為p?;pb,僅，褻們可以得到結(jié)論：

試通過類比，寫出在空間中的類似結(jié)論.

鞏固提高

1.（2001年上海）已知兩個(gè)圓①x2+y2=l:與②x2+（y-3）2=l,則由①式減

去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情

況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推

廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為-------------------

2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜

想.

直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體

ZC=90°ZPDF=ZPDE=ZEDF=90°

3個(gè)邊的長度a,b,c4個(gè)面的面積51,S2,53和5

2條直角邊a,b和1條斜邊3個(gè)“直角面”51,52,S3和1個(gè)“斜

C面“S

3.（2004,北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與

它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)

常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。

課堂小結(jié)

教后反思:

1.類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似

性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系

就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。

2.類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題

（猜想）

不等式證明一（比較法）

比較法是證明不等式的一種最重要最基本的方法。比較法分為:

作差法和作商法

一、作差法：若a,b￡R,貝lj：a—b>Ooa>b；a—b=Ooa=b；a

一bVOoaVb

它的三個(gè)步驟：作差——變形——判斷符號(與零的大小)——結(jié)論.

作差法是當(dāng)要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時(shí)，通過作差把定量

比較左右的大小轉(zhuǎn)化為定性判定左一右的符號，從而降低了問題的難

度。作差是化歸，變形是手段，變形的過程是因式分解(和差化積)

或配方，把差式變形為若干因子的乘積或若干個(gè)完全平方的和，進(jìn)而

判定其符號，得出結(jié)論.

例1、求證：x2+3>3x

證：,.,僅2+3)—3x=x2-3x+(|)2-(|)2+3=(X-|)2+|>0,/.x2+3>

3x

例2：已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b,求證：竺二〉區(qū)

h+mh

證：”地出,...abm都是正數(shù)，并且

b+mbb(b+m)h(b+m)

a<b,

..,、ci、c?m(b-a)八日na+ma

..b+m>0,b-a>0..-------->0即：---->-

b(b+m)b+mb

變式：若a>b,結(jié)果會怎樣？若沒有“a<b”這個(gè)條件，應(yīng)如何判

斷？

例3：已知a,b都是正數(shù)，并且awb,求證：a5+b5>a2b3+a3b2

證：(a，+芹)一(a2b③+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)

?:a,b都是正數(shù)，「.a+b,a?+ab+b?>0,又,「awb,/.(a-b)2>0

/.(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,即：a5+b5>a2b3+a3b2

例4：甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以

速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行

走，另一半路程以速度n行走，如果mwn,問：甲乙兩人誰先到達(dá)

指定地點(diǎn)？

解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S,甲乙兩人走完全程所需時(shí)間

分別是匕足,

則：Lm+L〃=s,二+2=/,可得：工，G=0(■+〃)

222m2nm+n2mn

?2SS(in+n)S[4mn-(m+n)2]S(m-n)2

m+n2mn2(6+n)mn2m幾(m+n)

?：S,m,n都是正數(shù),且mnn,...ti-t2co§P：tx<t2

從而：甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。

例5：是一道利用不等式解決實(shí)際問題的例題.我們先用類比列方程

解應(yīng)用題的步驟，然后參考列方程解應(yīng)用題的步驟，分析題意，設(shè)未

知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系(函數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系或不等關(guān)系)，列出函數(shù)關(guān)

系、等式或不等式，求解，作答等.整個(gè)解答過程體現(xiàn)了比較法解決

不等關(guān)系等實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用.

變式：若m=n,結(jié)果會怎樣？

二、作商法：若a>0,b>0,則：->1<=>a>b；@=loa=b；—<l<=>a

hhh

<b

它的三個(gè)步驟：作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.

作商法是當(dāng)不等式兩邊為正的乘積形式時(shí)，通過作商把其轉(zhuǎn)化為證明

左/右與1的大小。

a+h

例5、設(shè)a,bGR+,求證：aabb>（ab）T>ahba

證：先證不等式左N中：由于要比較的兩式呈幕的結(jié)構(gòu)，故結(jié)合

函數(shù)的單調(diào)性，故可采用作商比較法證明.

aiba-bb-aa-b

作商：二H=""=號尸，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

（ab）2

a-b

當(dāng)a=b時(shí)，（/〒=1

jQ-b

當(dāng)a>b>0時(shí),1>1,^^>0,，尸>1

1a-b

當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1,<0,（^）2>1

a+b

即4?、（油產(chǎn)

（中N右請自己證明，題可改為a,beR',求證：

42（小/啟）

作業(yè)補(bǔ)充題：

1.已知a、b>0,求證：-4-+4-^-+-

abab

2。求證：1+2/2/+2/

mmnnnmn

3.已知a,-€/?+,加,〃GN*,m>n,求證：a"'+b>a--b+a-b-

4.已知c>a>b>0,求證，一>」一.

c-ac-b

5.已知a、b、c、d都是正數(shù)，且bc>ad,求證紀(jì)工<上.

bb+dd

不等式證明二（綜合法）

一、綜合法:

從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的

不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所

要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法。(也叫順推證法或由

因?qū)Ч?

例1、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，

求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

分析：不等式左邊含有“a?+b2”的形式，我們可以運(yùn)用基本不

等式：a2+b222ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因

式:a?b,b2c,ca,ab2,be2,ca?的"和"，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”,

我們可以運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3^3abc.

證：Vb2+c2N2bc,a>0,a(b2+c2)N2abc

同理：b(c2+a2)N2abc,c(a2+b2)N2abc

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)26abc

當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號，而a,b,c是不全相等的

正數(shù)

三式不同時(shí)取等號，三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+

c(a2+b2)>6abc本例證法可稱為三合一法，當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母

具有對稱形式時(shí)，我們?？砂哑淇闯墒怯扇舾蓚€(gè)結(jié)構(gòu)相同但所含字母

較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元的較簡單的不等

式證出，即可完成原不等式的證明。

例2、a,b,ceR,求證：l°(a+b+c)(-+-+-)>9

abc

ilia

2°(a+b+c)(---+——+——)>-

a+hb+cc+a2

3。3+上+工建

b+cc+aa+b2

證：1。、法一：a+b+cN3痂，L+'L口,兩式相乘即得。

abcVcibc

”——.'-La+b+ca+b+ca+b+c.ba.,ca、,cb、

abcabacbe

23+2+2+2=9

2。、...等+號+簽n|也+b)g+1,+q)

++—>3』、，二兩式相乘即得

a+bb+cc+a'(a+?/?)(J/?+c)(c+〃)

3。、由上題：(a+O+c)(--—+—-—+—--)>—

a+hb+cC+Q2

?iciai日口abc^3

a+hb+cc+a2h+cc+aa+b2

例3、已知a,b,c都是正數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，求證：

Q~+/?”+c~>(a—b+c)~

證明：左一右=2(ab+bc—ac),Va,b,c成等比數(shù)列,/.b2=ac

又???a,b,c都是正數(shù)，所以0cb=W"+°va+c,a+c>b

2

??2(ab+be—ac)——2(ab+be—b~)=2b(a+c—b)>0..a~+/>~+c~>(a—b+c)~

說明：此題在證明過程中運(yùn)用了比較法、基本不等式、等比中項(xiàng)性質(zhì),

體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點(diǎn).

例4、制造一個(gè)容積為V(定值)的圓柱形容器，試分別就容器有蓋

及無蓋兩種情況，求：怎樣選取底半徑與高的比，使用料最省？

分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征，考慮運(yùn)用“基本不等式”

來證明.對于2題，抓住容積為定值，建立面積目標(biāo)函數(shù)，求解最值,

是本題的思路.

解：設(shè)容器底半徑為r,高為七則丫=門式11,11=三.

Tur

⑴當(dāng)容器有蓋時(shí)，所需用料的面積：

S=2JIr2+2JIrh=2nr2+—=2Rr2+-+-N3J2M2.匕2=3^^

rrrvrr

當(dāng)且僅當(dāng)2nd=E，即rq號，h=二=2r,取J”號.故人=?時(shí)用料

r\L7iTCTh2

最省.

(2)當(dāng)容器無蓋時(shí)，所需用料面積：S=Jtr2+2Jirh=nr2+^=Ji

r

召+匕+匕23標(biāo)7

rr

當(dāng)且僅當(dāng)冗r2=-,r=：g,h===r.即r=h時(shí)用料最省.

rVe

作業(yè)補(bǔ)充題：

1、設(shè)a,b,ceR,

1°求證：7?2+b2>—(a+b)

2

2。求證：7?2+b2+y/b2+c2+y/c2+a2>42(a+b+c)

3。若a+b=1,求證：Ja+g+1+g<2

2、設(shè)a>0,b>0,c>0且a+b+c=l,求證：8abe<(1-a)(l-b)(l-c).

3、設(shè)a,b,c為一個(gè)不等邊三角形的三邊，求證：

abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).

4、已知a,beR+,求證：(土心

22

5、設(shè)a>0,b>0,且a+b=l,求證：5+,7+出+工尸之交

ab2

不等式證明三（分析法）

當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時(shí)，我們可以從求證的不等式出

發(fā)，逐步分析尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件，直至所需條件為

已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的不等式成立，這

種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析法證明時(shí)、要

注意表述的規(guī)范性，當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)

合使用，以分析法尋求證明的思路，而用綜合法進(jìn)行表述，完成證

明過程。

例1、求證：V3+77<2^/5

證：分析法：綜合表述:

VV3+V7>0,2A/5>0V21<25

只需證明：（6+77）2<（2回2/.V21<5

展開得：10+2如<20二.2V2I<10

即：2a<1010+2V21<20

*

V21<5??

（百+J產(chǎn)<（2石>

即：21<25（顯然成立）/.V3+V7<2V5

/.V3+V7<275

例2、設(shè)X>0,y>0,證明不等式:例+//>，+〉3戶

證一：（分析法）所證不等式即：（,+丫2）3>（/+川2

即：x6+>,6+3x2y2（x2+y2）>x6+y6+2x3y3

即:3x2y2(x2+y2)>2x3y3

只需證：x2+y2>-xy

3

Vx2+y2>2xy>^xy成立

/.(x2+y2)2>(x3+y3)3

證二：(綜合法)

(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)>x6+y6+6x3y3

>x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2

jl1

*.*x>0,y>0,(x2+y2)2>(x3+y3)3

例3、已知：a+b+c=0,求證：ab+be+caW0

證一：(綜合法)*.*a+b+c=0(a+b+c)2=0

展開得：ab+be+ca-—a+c

2

/.ab+be+caW0

證二：(分析法)要證ab+bc+caW0a+b+c=0

故只需證ab+be+caW(a+b+c)2

即證：a2+b2+c2+ab+bc+ca>0

即：-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]>0(顯然)

2

/.原式成立

證三：*.*a+b+c=0-c=a+b

ab+be+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab

=-[(?+~)2+

24

例4、已知”>6>0,"=1,求證：匕直220,并求等號成立的

a-b

條件。

分析：不等式右邊是常數(shù)，能否用平均值定理？應(yīng)當(dāng)可以。（找條件

一正、二定、三相等）

如何把左邊變形為和的形式？多項(xiàng)式的除法或配湊！

左二;（j」+2ab=（i+型（看到了希望！）

a-ba-ba-b

-a-b-\----（已知a〃=l）

a-b

>272

Ofl=-(V6+V2)

當(dāng)"b=二_時(shí)，由("b)=2解出當(dāng)2時(shí)等號成

a-b四T[^1(V6-V2)

立。

4

?..a>O,b>。，且a+bj-.abW（等）弋成立，故

作業(yè)補(bǔ)充題

1.求證：庭+舊>2痣+石.

2、.若a,b>0,2c>a+b,求證：（1）（?>ab；（2）c-ylc2-ab<a<c+7c2-ab

3、求證:a,b,c￡R：求證：2（土吆-荷）43（"之-八?）

23

4、設(shè)a,b,c是的AABC三邊，S是三角形的面積，求證:

c2-a2-h2+4ab>4y/3S

5、已知0<。<兀，證明：2sin204cot9

2

6、求證：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面(指橫截面)

的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流

量大。

不等式證明四(反證法與放縮法)

一、反證法：

有些不等式無法利用用題設(shè)的已知條件直接證明，我們可以間接的方

法一一反證法去證明，

即通過否定原結(jié)論-----導(dǎo)出矛盾------從而達(dá)到肯定原結(jié)論的目

的。

例1、若x,y>0,且x+y>2,則以？和匕^中至少有一個(gè)小于2。

反設(shè)1±Z22,匕^22'%y>0,可得x+yW2與x+y>2矛盾，

xy

/.原式成立

例2、已知a+b+c>0,ab+be+ca>0,abc>0,求證：a,b,c>0

證：設(shè)

(1)a<0,Vabc>0zbe<0

又由a+b+c>0,則b+c=-a>0

/.ab+be+ca=a(b+c)+be<0與題設(shè)矛盾

(2)若a=0,則與abc>0矛盾，必有a>0

同理可證：b>0,c>0

例3、設(shè)0<a,b,c<l,求證：(1-a)b,(l-b)c,(l-c)a,不可能同時(shí)大

安

證：設(shè)(l-a)b>L(1-b)c>-,(1-c)a>-,

444

則三式相乘：(l-a)b-(l-b)c?(l-c)a>—①

64

——12

又?「Ova,b,c<1A0<(1-?)?<(1*.=J_

L2J4

同理：(i-b)b<-,(l-c)c<-

44

以上三式相乘：(l-a)a*(l-b)b*(l-c)c^—與①矛盾.

64

.,.(1一a)b,(l-b)c,(1-c)a,不可能同時(shí)大于1

4

二、放縮法：

在證明不等式的時(shí)候，在直接證明遇到困難的時(shí)候，可以利用

不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式，即

欲證A>B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€(gè)中間量C作為媒介，證明A>C且

C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法

稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段，但是放縮的對象以及放縮

的尺度不易掌握，技巧性較強(qiáng)，這關(guān)系到證明的成敗，往往需要根據(jù)具

體的題目經(jīng)過多次的探索和試驗(yàn)才能成功，因此必須多練.比較常

用的方法時(shí)把分母或分子適當(dāng)放大或縮小(減去或加上一個(gè)正數(shù))

使不等式簡化易證。

例4^若a,b,c,deR+,求證：1<——-——+——-——+——----+——-——<2

a+b+dO+c+ac+d+b+c

、-r、nabcd

uE：記m=----------+----------+----------+----------

a+b+db+c+ac+d+bd+a+c

Va,b,c,deR+

ab

..ZT?〉---------1-----------------1------------------1----------------

a+b+c+dQ+8+C+Qc+d+〃+bd+a+b+c

abcd

m<-------1-------+-------+-------=2

a+ba+hc+dd+c

/.1<m<2即原式成立

例5、當(dāng)n>2時(shí)，求證：log?(n-l)log?(n+l)<l

證：n>2/.log,,(/7-l)>0,logn(/i+l)>0

__12-o

i/i、i/log?(n-l)+log?(n+l)log?(n--1)

log?(n-l)log?(M+l)<-2---------!-------------=—々一

<=1，n>2時(shí)，log,,(72-1)log,,(n+1)<1

例6、求證：]+3+[+…+4<2

I22232n2

f..1111

nn{n-1)n-1n

1111—1?1?1?1

4—T4-z-+???H—T-<1i-----i-----i-----+…H------------

.I22232n21x22x33x4(n-l)xn

>?

=l+(l--)+(---)+---+(—i---)=2--<2

223n-lnn

思考：若把不等式的右邊改成?或更，你可以證明嗎?

436

例7、求證：生如_?衛(wèi)_+耳.

1+14+bl1+1〃11+同

證：*.*|a+b|W|a|+|b|n|a|+|bHa+b|20,

器%器器制V課本2溶液"例結(jié)論）

悶+網(wǎng)木+新“4+品?（把分母減小’使分式放大）

i+14+網(wǎng)

作業(yè)補(bǔ)充題

1>設(shè)0<a,b,c<2,求證：(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b,不可能同時(shí)大于

1

2、設(shè)/1(又)=ax2+fcc+c,其中a、b、cwZ,并且時(shí)=1.試證明:廬-4ac<0

3、設(shè)/(x)=x2+px+%求證：［⑴［、［八2)|、|/創(chuàng)中至少有一個(gè)不小于！

4、設(shè)x>0,y>0,a=入+)',b=—+^—,求證：a<b

l+x+y1+x\+y

5、證明：—H———4—11■二>1(zzeR+,n>2)

nn+1n+2n'

6、證明：Ig9#lgll<1

7、證明：若a>b>c,貝lj」一+」一+」一NO

a-bb-cc-a

教后反思：

課題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì).

2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單

的與自然數(shù)有關(guān)的命題.

3.培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，論證的能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維

能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會類比的數(shù)學(xué)

思想.

4.努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍,

提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率.

5.通過對例題的探究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證

明)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)

精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析

【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解

【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法

【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)

【教學(xué)程序】

第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維

(1)不完全歸納法引例：

明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字.這

則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，

用的就是“歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的.

(2)完全歸納法對比引例：

有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰更聰明一些.他給每人一

筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出

答案.大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了兒個(gè)飽滿

的，兒個(gè)干癟的，兒個(gè)熟好的，兒個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、

兩仁的，總共不過一把花生.顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟

聰明.

在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用.例如氣象工作者、

水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸

納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.

2.回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識

(從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一

步體會歸納意識，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸

過歸納.)

(1)不完全歸納法實(shí)例：給出等差數(shù)列前四項(xiàng)，寫出該數(shù)列的

通項(xiàng)公式.

(2)完全歸納法實(shí)例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、

外部及一邊上三種情況.

3.借助數(shù)學(xué)史料，促使學(xué)生思辨

(在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史

料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍

性.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會得到

錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此.那么，有沒有更

好的歸納法呢？)

問題1已知4=0?-5〃+5)2(/?W/V),

(1)刀力ll才5C67]；a]；；44,

(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？

(培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力.概括能力是思維能

力的核心.魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的.心理學(xué)認(rèn)為“遷

移就是概括"，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找

的突破口就是學(xué)生的概括過程.)

問題2費(fèi)馬(尸因出力是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，

當(dāng)〃時(shí)、2?”+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對〃=0,1,2,3,4作了

驗(yàn)證后得到的.后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉(Euler)卻證

明了2"+1=4294967297=6700417X641,從而否定了費(fèi)馬的推

測.沒想到當(dāng)〃=5這一結(jié)論便不成立.

問題3/(?)=n~+n+41,當(dāng)77dA/時(shí)，/(〃)是否都為質(zhì)數(shù)？

驗(yàn)證：r(o)=41,r(i)=43,r(2)=47,r(3)=53,f

(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,

f(9)=131,/(10)=151,…，f(39)=1601.但是f(40)

=1681=412,是合數(shù).

第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知

結(jié)構(gòu)

4.搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

(在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納

原理，揭示遞推過程.孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂

之者.”興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn).)

實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像

關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下，則它的

后一張牌必定倒下.于是，我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒

下.

搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車，早操排隊(duì)對齊等.

5.類比數(shù)學(xué)問題，激起思維浪花

類比多米諾骨牌過程，證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式*=為+(〃-l)d：

(1)當(dāng)〃=1時(shí)等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即

ak-ax+(k-1)J,則4+i=4+d="[+[(女+1)-l]d,即77=4+1時(shí)等式也

成立.于是，我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=q+(〃-l)d

對任何都成立.

(布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識

發(fā)生發(fā)展過程.這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納

法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí).)

6.引導(dǎo)學(xué)生概括，形成科學(xué)方法

證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：

(1)證明當(dāng)〃取第一個(gè)值〃。時(shí)結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)(kGN*,AN〃。)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)十

1時(shí)結(jié)論也正確.

完成這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對從〃。開始的所有正整數(shù)〃

都正確.

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.

第三階段：操作階段一一鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過程

7.蘊(yùn)含猜想證明，培養(yǎng)研究意識

(本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，

也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能

力.)

例題在數(shù)列｛%｝中，6=1,“用=#一(〃￡*)，先計(jì)算的，

1+%

的，%的值，再推測通項(xiàng)明的公式，最后證明你的結(jié)論.

8.基礎(chǔ)反饋練習(xí)，鞏固方法應(yīng)用

(課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法

的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能

力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn).練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公

式的證明，與前者是一個(gè)對比與補(bǔ)充.通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對

數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況.)

⑴用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2/7-1)=/.

(2)首項(xiàng)是外,公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是明?

9.師生共同小結(jié)，完成概括提升

(1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；

(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸

納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完

全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納

法；

(3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)

思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納

假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；

(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、

分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想.

10.布置課后作業(yè)，鞏固延伸鋪墊

在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明n=k+\時(shí)命題成立，必

須要用到時(shí)命題成立這個(gè)假設(shè).這里留一個(gè)辨析題給學(xué)生課后

討論思考：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+2?+23+…+2"T=2"-1(〃￡N*)時(shí)，其

中第二步采用下面的證法：

設(shè)〃=A時(shí)等式成立，即1+2+2?+2,+…+2"|=2*-1,則當(dāng)

+1時(shí)，

1_/+1

1+2+2?+23+…+2&T+2&=12——=2i+l-1.

1-2

你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？

教后反思：

1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性

的證明方法.它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)

用.我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練.為此，我

設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸

納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善

結(jié)合起來.這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開

始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思

想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)

充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī).

2.在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、

探索的方法.目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與.為了使這種參與有

一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥.學(xué)生的思維參

與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓

學(xué)生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐

漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得知識體系

的更新與拓展.

3.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺

一不可.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證

明n=k+\命題成立時(shí)必須要用到時(shí)命題成立這個(gè)條件.這些

內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識數(shù)學(xué)

歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方

向.

第二本要他隼與導(dǎo)照

錦感不構(gòu)委他隼

一、教學(xué)目標(biāo)

1.感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述

和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程。體會數(shù)學(xué)的博大精深以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意

義。

2.理解平均變化率的意義，為后續(xù)建立瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)

模型提供豐富的背景。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義

難點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義

三、教學(xué)過程

一、問題情境

1、情境：現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.

時(shí)間3月18日4月18日4月20日

日最高氣溫3.5℃18.6℃33.4℃

觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化,

用曲線圖表示為：

（理解圖中A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)的含義）

問題1:“氣溫陡增”是一句生活用語，它的數(shù)學(xué)意義是什么？（形

與數(shù)兩方面）

問題2：如何量化（數(shù)學(xué)化）曲線上升的陡峭程度？

二、學(xué)生活動

1、曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想如何量化直線的

傾斜程度。

2、由點(diǎn)B上升到c點(diǎn)，必須考察yc—yB的大小，但僅僅注意yc—yB

的大小能否精確量化BC段陡峭程度，為什么？

3、在考察yc—yB的同時(shí)必須考察Xc—XB，函數(shù)的本質(zhì)在于一個(gè)量的

改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個(gè)量的改變。

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.通過比較氣溫在區(qū)間［1,32］上的變化率0.5與氣溫［32,34］上的變

化率7.4,感知曲線陡峭程度的量化。

2.一般地，給出函數(shù)f（x）在區(qū)間必，xR上的平均變化率/⑷）-/（N）。

々一玉

3.回到氣溫曲線圖中，從數(shù)和形兩方面對平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu)。

4o平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注

意當(dāng)X2—X］很小時(shí)，這種量化便有“粗糙”逼近“精確”。

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1、在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，如何比較

和評價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營成果?

變：在經(jīng)營某商品中，甲用5年時(shí)間掙到10萬元，乙用5個(gè)月

時(shí)間掙到2萬元，如何比較和評價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營成果?

小結(jié)：僅考慮一個(gè)變量的變化是不形的。

計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率。

V-V

注.(】。)⑼

'.10-0

例3、已知函數(shù)/(x)=x2,分別計(jì)算/(x)在下列區(qū)間上的平均變化率:

(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)