甘肅省酒泉市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義算出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即為在點(diǎn)處的切線的斜率.【詳解】，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義：，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點(diǎn)處的切線的斜率為.故選：B2.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)為D，則線段的中點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出對(duì)稱點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算．【詳解】點(diǎn)C，D關(guān)于面對(duì)稱,則有，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．故選：C．3.在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，若，，則用基底表示向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算，用基底表示即可.【詳解】連接，如圖，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：B4.已知函數(shù)（a是常數(shù)）在上有最大值3，那么它在上的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)最大值為，再比較端點(diǎn)值的大小得到最小值.【詳解】，由得或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；由得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為．故．又，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為-37．故選：D.5.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，則取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理列出不等式求解即可.【詳解】，為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，即，代入解得，解得取值范圍為，故選：B．6.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點(diǎn)重合)，在上，且平面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理得，從而得是的中點(diǎn)，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)檎叫闻c矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)在上，且平面，又平面平面，平面，所以，又，所以平行四邊形，故，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所?故選：C7.已知棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別是的中點(diǎn)，則直線與平面之間的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法證明平面EMN，根據(jù)線面距離的定義把直線AC到平面EMN的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面EMN的距離，再利用點(diǎn)面距離的向量公式求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，可得，所以，即，又平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，即直線與平面之間的距離為.故選：B8.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)，采用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的零點(diǎn)問題，分離參數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】由題意得,令，，該函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，且，故函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令即直線與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，則，當(dāng)時(shí)，，作出其圖象如圖：由圖象可知直線與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需有，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的問題，要將函數(shù)式變形為，實(shí)質(zhì)是采用換元法，令，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，解決問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)}符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，分別為直線的，方向向量（，不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）．A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的定義判斷．【詳解】?jī)芍本€的方向向量平行，而兩直線不重合，則它們平行，A錯(cuò)；兩直線的方向向量垂直，則它們也垂直，B正確；兩個(gè)平面法向量平行，則這兩個(gè)不重合的平面平行，C錯(cuò)．兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直，D正確．故選：BD．10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個(gè)法向量D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由線面平行的判定定理證明即可；對(duì)于B，由空間向量判斷異面直線垂直即可；對(duì)于C，由平面法向量求解即可；對(duì)于D，由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，由于，分別是的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，，故，，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確；對(duì)于D，，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.已知函數(shù)，下列說法正確的有（）A.曲線在處的切線方程為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極大值為D.方程有兩個(gè)不同的解【答案】AB【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線、單調(diào)區(qū)間、極值、方程的解等知識(shí)確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?A選項(xiàng)，，所以曲線在處的切線方程為，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，令解得，所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，在區(qū)間，單調(diào)遞增，所以有極小值，無(wú)極大值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，的極小值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)解，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間中三點(diǎn)，設(shè)，若，且，則向量______【答案】或【解析】【分析】根據(jù)向量共線、模等知識(shí)求得.【詳解】，，由于，所以存在實(shí)數(shù)使，所以，所以或.故答案為：或13.如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】分析可知，，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，則，同理可知，所以，.故答案為：.14.某商戶銷售、兩種小商品，當(dāng)投資額為千元時(shí)，在銷售、商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，如果該商戶準(zhǔn)備共投入5千元銷售、兩種小商品，為使總收益最大，則商品需投入______千元【答案】1【解析】【分析】由題意列收益函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)法求得最大值，即可得解.【詳解】設(shè)投入經(jīng)銷商品的資金為千元，則投入經(jīng)銷商品的資金為千元，所獲得的收益千元，則，可得，當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以當(dāng)投入商品的資金為4千元，投入商品的資金為1千元時(shí)，此時(shí)總收益最大為千元.故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點(diǎn)，且．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，求MN的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【小問1詳解】解：，∴；【小問2詳解】解：，，，，，即MN的長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，EPC上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面BDE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，證明，，原題即得證；（2）設(shè)平面BDE的法向量為，證明即得證.【小問1詳解】證明：如圖，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因?yàn)椋矫鍼BC．所以平面PBC．【小問2詳解】證明：由（1）可得，，．設(shè)平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE．17.如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離.（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）.（2）．【解析】【分析】(1)證明后，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)到面的距離公式；(2)通過法向量，算出二面角的余弦值.【小問1詳解】在中，由余弦定理得:，，．又平面，以為原點(diǎn)，為、、軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．，．設(shè)平面的法向量為，不妨取，點(diǎn)到平面的距離．【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，.且取，則，則平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，，且，取，則．則，，平面與平面所成角的余弦值為．18.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得，得到，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得到，結(jié)合條件列出不等式組，即得.【小問1詳解】由題可得，由題意得，解得，所以，由得或，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；【小問2詳解】因?yàn)?，由?）可知，在處取得極大值，在處取得極小值，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可以確定函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以m的取值范圍為．19.已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）極大值為，無(wú)極小值（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義可求得結(jié)果；（2）分離變量可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)后可令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可求得的零點(diǎn)，并得到的單調(diào)性，由此可求得，化簡(jiǎn)可得，由此可求得的取值范圍.【小問1詳