2023-2024學年江蘇省蘇州市高二上學期11月期中考試摸底數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2023-2024學年高二上學期11月期中摸底數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若一條直線經過兩點和，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為一條直線經過兩點和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，兩條直線分別為與，兩條直線互相垂直，反之，由與直線垂直，，解得或，則不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.3.為等差數列前項和，若，，則使的的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，而，所以，，，可轉化為，即，即，解得，而，所以的最大值為11.故選：C.4.直線與圓的位置關系是（）A.相交但直線不過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過圓心〖答案〗A〖解析〗由圓的方程得到圓心坐標為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5.已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選：D．6.直線分別交軸和于兩點，若是線段的中點，則直線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線分別交軸和于兩點，設點、，因為是線段的中點，由中點坐標公式得，解得，所以點、，則直線的方程為，化簡得，故選：C.7.以下四個命題表述錯誤的是（）A.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經過點〖答案〗B〖解析〗選項A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線距離都等于，故選項A正確；選項B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因為圓與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑，同時兩圓的位置關系為外離，有，即，解得，故B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質知，為直角三角形，，當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，故選項C正確；選項D：設點為直線上一點，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點，D正確．故選：B．8.已知數列中，且，則為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，又，數列是以為首項，為公差的等差數列，，，.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.已知圓，點P為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經過定點〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故選項C正確；對于選項D：設點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：，即，由可得，所以直線經過定點，故選項D正確故選：BCD.10.對于數列，設其前項和，則下列命題正確的是（）A.若數列為等比數列，成等差，則也成等差B.若數列為等比數列，則C.若數列為等差數列，且，則使得的最小的值為13D.若數列為等差數列，且，則中任意三項均不能構成等比數列〖答案〗AD〖解析〗對于A，若數列為等比數列，成等差，則，若公比，則，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正確；對于B，若數列為等比數列，若公比時，，若公比時，則，所以，故B不正確；對于C，若數列為等差數列，公差為，由，得，即，則，所以，得，又，則，故C不正確；對于D，若數列為等差數列，且，則公差，所以，假設等差數列中的三項構成等比數列，，且互不相等，則，所以，所以，因為，則，其中，則，得，這與互不相等矛盾，故假設不成立，則中任意三項均不能構成等比數列，故D正確.故選：AD.11.設橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結論正確的是（）A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切〖答案〗AD〖解析〗由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點為,根據橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD.12.數列滿足，，為數列的前項和，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題意，數列滿足，所以，可得，因為，可得，所以，所以的奇數項和偶數項分別構成公比為的等比數列，且首項分別為，，即是以為首項，為公比的等比數列，所以，故A正確；當時，，，所以，當時，，，所以，所以，故B正確；對于C中，當時，，當時，，所以恒成立，即C正確；對于D中，當時，可得，，此時，所以D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數列中，，則此數列的前8項和為__________．〖答案〗〖解析〗，的前8項和為．故〖答案〗為：.14.點是圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦所在直線方程為_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：，故，設直線方程，，，故，根據相似計算得到，利用點到直線的距離公式得到：，解得或當時，直線和圓不相交，舍去，故.故〖答案〗為：.15.圓與圓的交點為A，B，則弦AB的長為______．〖答案〗〖解析〗圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故〖答案〗為：.16.如圖，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為__________〖答案〗〖解析〗連接，如圖所示設則，由橢圓的定義得所以在中，，所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設等差數列的前項和為，已知，．（1）求；（2）若為與的等比中項，求．解：（1）設等差數列公差為，，解得，，所以，，.（2）由題意：，，即，化簡得：，解之得或（舍），故.18.已知直線（1）當時，直線過與的交點，且垂直于直線，求直線l的方程；（2）求點到直線的距離d的最大值.解：（1）當時，直線：，：，則，解得交點又由直線l垂直于直線，而直線的斜率，兩直線垂直得斜率乘積為，得到又因為直線l過與的交點，直線l的方程為，即（2）直線：過定點，又，點M到直線的距離d的最大值為19.已知等差數列滿足，，數列是單調遞增的等比數列且滿足，.（1）求數列和的通項公式；（2）記，求數列的前項的和.解：（1）由已知，，設數列首項為，公差為，，解得：，，所以，因為，，數列是單調遞增等比數列，設數列首項為，公比為，所以，解得：，，所以，所以.（2）由已知，所以，.20.已知橢圓的兩個焦點為，點在上，直線交于兩點，直線的斜率之和為0.（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率.解：（1）由題意知，故可設橢圓方程為，由在上可得，，解得或（舍去），故所求橢圓的方程為.（2）設直線，，把代入橢圓方程整理可得：，設，則，，從而得點，在上式中以代替，得，即直線的斜率為.21.已知圓，過點的直線與圓相交于，兩點，且，圓是以線段為直徑的圓．（1）求圓的方程；（2）設，圓是的內切圓，試求面積的取值范圍．解：（1）設直線的方程為，因為圓半徑為，，所以圓心到直線的距離，即，解得，當時，過與直線垂直的直線與交點為，所以圓方程為當時，過與直線垂直的直線與交點為，所以圓方程為，即所求圓方程為或.（2）由圓的性質可知，只研究圓方程為時即可，設與圓相切，則有，即有，從而有，設與圓相切，則有，即有，從而有，聯(lián)立直線，由得，所以，當時，.22.已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）如圖，過作斜率為的兩條直線，分別交橢圓于，且，證明：直線過定點并求定點坐標解：（1）橢圓過點，可得，且離心率為．，解得，所求橢圓方程為：.（2）當直線斜率不存在時，設直線方程為，則，，，則，當直線斜率存在時，設直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設，，有，則將式代入化簡可得：，即，直線，恒過定點.江蘇省蘇州市2023-2024學年高二上學期11月期中摸底數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若一條直線經過兩點和，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為一條直線經過兩點和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，兩條直線分別為與，兩條直線互相垂直，反之，由與直線垂直，，解得或，則不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.3.為等差數列前項和，若，，則使的的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，而，所以，，，可轉化為，即，即，解得，而，所以的最大值為11.故選：C.4.直線與圓的位置關系是（）A.相交但直線不過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過圓心〖答案〗A〖解析〗由圓的方程得到圓心坐標為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5.已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選：D．6.直線分別交軸和于兩點，若是線段的中點，則直線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線分別交軸和于兩點，設點、，因為是線段的中點，由中點坐標公式得，解得，所以點、，則直線的方程為，化簡得，故選：C.7.以下四個命題表述錯誤的是（）A.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經過點〖答案〗B〖解析〗選項A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線距離都等于，故選項A正確；選項B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因為圓與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑，同時兩圓的位置關系為外離，有，即，解得，故B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質知，為直角三角形，，當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，故選項C正確；選項D：設點為直線上一點，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點，D正確．故選：B．8.已知數列中，且，則為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，又，數列是以為首項，為公差的等差數列，，，.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.已知圓，點P為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經過定點〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故選項C正確；對于選項D：設點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：，即，由可得，所以直線經過定點，故選項D正確故選：BCD.10.對于數列，設其前項和，則下列命題正確的是（）A.若數列為等比數列，成等差，則也成等差B.若數列為等比數列，則C.若數列為等差數列，且，則使得的最小的值為13D.若數列為等差數列，且，則中任意三項均不能構成等比數列〖答案〗AD〖解析〗對于A，若數列為等比數列，成等差，則，若公比，則，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正確；對于B，若數列為等比數列，若公比時，，若公比時，則，所以，故B不正確；對于C，若數列為等差數列，公差為，由，得，即，則，所以，得，又，則，故C不正確；對于D，若數列為等差數列，且，則公差，所以，假設等差數列中的三項構成等比數列，，且互不相等，則，所以，所以，因為，則，其中，則，得，這與互不相等矛盾，故假設不成立，則中任意三項均不能構成等比數列，故D正確.故選：AD.11.設橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結論正確的是（）A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切〖答案〗AD〖解析〗由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點為,根據橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD.12.數列滿足，，為數列的前項和，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題意，數列滿足，所以，可得，因為，可得，所以，所以的奇數項和偶數項分別構成公比為的等比數列，且首項分別為，，即是以為首項，為公比的等比數列，所以，故A正確；當時，，，所以，當時，，，所以，所以，故B正確；對于C中，當時，，當時，，所以恒成立，即C正確；對于D中，當時，可得，，此時，所以D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數列中，，則此數列的前8項和為__________．〖答案〗〖解析〗，的前8項和為．故〖答案〗為：.14.點是圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦所在直線方程為_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：，故，設直線方程，，，故，根據相似計算得到，利用點到直線的距離公式得到：，解得或當時，直線和圓不相交，舍去，故.故〖答案〗為：.15.圓與圓的交點為A，B，則弦AB的長為______．〖答案〗〖解析〗圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故〖答案〗為：.16.如圖，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為__________〖答案〗〖解析〗連接，如圖所示設則，由橢圓的定義得所以在中，，所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設等差數列的前項和為，已知，．（1）求；（2）若為與的等比中項，求．解：（1）設等差數列公差為，，解得，，所以，，.（2）由題意：，，即，化簡得：，解之得或（舍），故.18.已知直線（1）當時，直線過與的交點，且垂直于直線，求直線l的方程；（2）求點到直線的距