七年級數(shù)學下冊-第07講 單項式乘單項式（6種題型+強化訓練）（解析版）

第07講單項式乘單項式1．理解單項式相乘的法則，會進行單項式的乘法運算；2．能運用單項式乘以單項式的法則解決實際生活中的問題；3．培養(yǎng)學生觀察、分析的能力，自主探索的能力，以及對已有知識歸納、總結(jié)、遷移的能力1.單項式乘單項式法則:單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式【要點歸納】（1）單項式乘單項式法則的實質(zhì)是乘法的交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合運用.(2)單項式乘單項式的步驟:①確定積的系數(shù)，注意符號問題:②同底數(shù)冪相乘;③單獨出現(xiàn)的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.(3)有乘方運算的先算乘方,再進行乘法運算.(4)運算的結(jié)果仍為單項式.2.拓展:單項式乘單項式法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用.3.易錯警示:(1)只在一個單項式里含有的字母,在計算中容易遺漏;(2)計算中容易出現(xiàn)符號錯誤.題型一：利用單項式乘單項式法則計算1．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方和單項式乘單項式運算法則，準確計算．【詳解】解：．2．（2024上·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】本題考查積的乘方和單項式的乘法，掌握先運算乘方，然后運算乘法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．題型二：利用單項式乘法法則進行單項式乘法與加減的混合運算3．（2024上·福建泉州·八年級?？计谀┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了單項式乘以單項式，積的乘方．根據(jù)積的乘方以及單項式乘以單項式進行計算即可求解．【詳解】解：．4．（2024上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學分校校考期中）計算：【答案】【分析】本題考查了單項式乘單項式，先算積的乘方，再按照單項式乘單項式的計算方法計算．【詳解】解：5．（2022上·廣東東莞·八年級東莞市東莞中學初中部?？计谥校┫然?，再求值：，其中【答案】，12【分析】先對整式進行化簡，然后再代值求解即可．【詳解】解：原式==，把代入得：原式=．【點睛】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握積的乘方、同底數(shù)冪的乘法及單項式乘單項式是解題的關(guān)鍵．題型三：利用單項式乘單項式的法則解決實際問題6．（2023上·八年級課時練習）將如圖所示的長為，寬為，高為的大理石運往某地進行建設(shè)革命歷史博物館．求每塊大理石的體積．（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）

【答案】【分析】根據(jù)長方體的體積長寬高，先求出它的體積，再用科學記數(shù)法表示．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于10時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，是負數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意，得．答：每塊大理石的體積為．【點睛】本題主要考查了長方體的體積公式，科學記數(shù)法的表示方法，及同底數(shù)的冪的乘法．解題的關(guān)鍵是明確同底數(shù)冪的乘法的運算法則：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．7．（2023下·江蘇·七年級專題練習）有一個長方體模型，它的長為，寬為，高為，它的體積是多少？【答案】【分析】直接利用單項式乘以單項式運算法則求出即可．【詳解】解：長方體的體積為：．答：這個長方體模型的體積是．【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式以及科學記數(shù)法的表示方法，正運用同底數(shù)冪的乘法法則是解題關(guān)鍵．題型四：單項式乘單項式法則的應用8．若，則m+n的值為.【答案】2【分析】根據(jù)單項式的乘法的法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加的性質(zhì)計算，然后再根據(jù)相同字母的次數(shù)相同列出方程組，整理即可得到m+n的值．【詳解】解：（am+1bn+2）?（a2n-1b2m），=am+1+2n-1?bn+2+2m，=am+2n?bn+2m+2，=a5b3，∴，兩式相加，得3m+3n=6，解得m+n=2,故答案為2.【點睛】本題考查了單項式的乘法法則和同底數(shù)冪的乘法的運算，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點兩式相加求解即可，不需要分別求出m、n的值．9．（2023下·江蘇·七年級專題練習）若，求的值．【答案】【分析】首先利用單項式乘法可得，進而得到，再把兩個方程相加可得答案．【詳解】解：，則，∴，即，，∴．【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，關(guān)鍵是掌握單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．10．（2023下·江蘇·七年級專題練習）若，則求的值．【答案】．【分析】根據(jù)單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．【點睛】本題考查了單項式與單項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．題型五：利用單項式乘單項式解決新定義運算11．（2023下·浙江·七年級專題練習）如果表示，表示，則=【答案】【分析】根據(jù)題目所給的信息得表示，表示，再進行單項式乘以單向式的運算即可．此題考查了新定義下的單項式乘以單項式的運算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目所給的信息寫出相應的式子．【詳解】解：根據(jù)題意，得表示，表示，則．故答案為：．12．（2023下·江蘇·七年級專題練習）三角表示，方框表示，求×．【答案】【分析】根據(jù)題意理解三角和方框表示的意義，然后即可求出要求的結(jié)果．【詳解】解：×．【點睛】本題考查單項式乘單項式的知識，關(guān)鍵是根據(jù)題意理解三角和方框所表示的意義．題型六：利用單項式乘單項式解決有關(guān)面積問題13．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）邊長分別為a和的兩個正方形如下圖的樣式擺放，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖列出代數(shù)式及整式的混合運算順序和運算法則﹒由圖可知陰影部分的面積為兩正方形面積之和減兩空白直角三角形面積據(jù)此計算即可．【詳解】解：兩正方形面積分別為：，兩空白直角三角形面積分別為：，陰影部分的面積為：，故答案為：．14．（2023上·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）將兩個正方形如圖擺放，已知大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為，則圖中陰影部分的面積為（用含有a的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式的混合運算；用大、小正方形的面積和減去空白部分大三角形的面積，列式計算即可．【詳解】解：陰影部分的面積為：，故答案為：．15．（2023上·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，池塘邊有一塊長為2a，寬為a的長方形土地，現(xiàn)將其余三面都留出寬是3的小路，中間余下的長方形部分做菜地，則菜地的面積為．（用含a的式子表示）【答案】【分析】可以利用割補法求出菜地的面積，也可以先求出菜地的長和寬再求出菜地的面積．【詳解】解：長方形的總面積為：，小路面積為：，故菜地面積為：，故答案為：．【點睛】本題考查整式的加減，多項式乘單項式，能夠根據(jù)題意列出算式是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023上·浙江·八年級專題練習）如圖，在一塊長為100m，寬為50m的長方形草地內(nèi)部，修建兩條寬均為x（m）且互相垂直的內(nèi)部道路，那么陰影部分草地的面積與x的關(guān)系式為（）．

【答案】【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)陰影部分面積=大矩形的面積兩條道路的面積+兩條道路重疊部分的面積即可求得答案．【詳解】解：∵大長方形草地的長為100m，寬為50m，兩條道路的寬均為xm，則大長方形草地的面積為，兩條道路的面積分別為，，兩條道路重疊部分的面積為，那么陰影部分的面積為，即，故答案為：．【點睛】本題考查單項式乘法的幾何應用，結(jié)合圖形及已知條件，利用面積的和差表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．17．（2022上·北京·七年級人大附中?？计谀┮阎粋€長為，寬為的長方形，如圖1所示，沿圖中虛線裁剪成四個相同的小長方形，按圖2的方式拼接，則陰影部分正方形的面積是．（用含a的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】根據(jù)題意和題目中的圖形，可以得到圖2中小長方形的長和寬，從而可以得到拼成的陰影部分正方形的邊長，即可得陰影部分小正方形的面積．【詳解】解：由圖可得，圖2中每個小長方形的長為，寬為，則陰影部分小正方形的邊長是：，陰影部分小正方形的面積是：，故答案為：．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減，整式的法則與正方形的面積公式和長方形的面積公式經(jīng)常聯(lián)系在一起．要學會觀察．18．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）計算變壓器鐵芯片陰影部分的面積（圖中長度單位：cm）．

【答案】【分析】先計算出鐵芯片的長和寬，再根據(jù)長方形面積公式計算陰影部分的面積．【詳解】解：∵，，∴變壓器鐵芯片陰影部分的面積．【點睛】此題考查了整式的混合運算，正確掌握計算法則及理解題意是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共5小題）1．（2023春?東?？h月考）計算的結(jié)果是A． B． C． D．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算即可．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查的是單項式乘單項式，單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．2．（2022春?阜寧縣校級月考）下列算式：①；②；③；④．其中，正確的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接根據(jù)單項式乘法的運算法則計算判斷即可．【解答】解：①，不合題意；②，正確，符合題意；③，不合題意；④，不合題意；故選：．【點評】此題考查的是整式的乘法運算，掌握其運算法則是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023春?南京期中）計算的結(jié)果是A． B． C． D．【分析】本題屬于單項式與單項式相乘，把系數(shù)和相同字母分別相乘得結(jié)果．【解答】解：原式．故選：．【點評】本題考查了整式的乘法，掌握單項式乘單項式法則是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022春?漣水縣校級期中）已知單項式與的積為，那么A． B．5 C．1 D．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則解決此題．【解答】解：，．，．．故選：．【點評】本題主要考查單項式乘單項式，熟練掌握單項式乘單項式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022春?姑蘇區(qū)校級期中）已知與的積與是同類項，求A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用單項式乘單項式運算法則得出：，再利用同類項的定義得出，的值，即可得出答案．【解答】解：，與的積與是同類項，，，解得：，，．故選：．【點評】此題主要考查了單項式乘單項式，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）6．（2022春?淮安期末）計算：的結(jié)果是．【分析】直接根據(jù)單項式乘單項式的乘法運算法則計算即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】此題考查的是單項式乘單項式，單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．7．（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）計算：．【分析】直接利用冪的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式計算得出答案．【解答】解：．故答案為：．【點評】此題主要考查了冪的乘方運算、單項式乘單項式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．8．（2022春?海州區(qū)期中）已知單項式與的積為，那么．【分析】將兩單項式相乘后利用待定系數(shù)即可取出與的值．【解答】解：，，，．．故答案為：．【點評】本題考查單項式乘以單項式，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的乘法法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（2022春?寶應縣期中）填空：．【分析】根據(jù)乘法的意義先進行，即可得到答案．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查的是單項式乘單項式，單項式除以單項式，掌握“單項式除以單項式的法則進行運算”是解本題的關(guān)鍵．10．（2022春?宜興市校級月考）某長方體的長為，寬為，高為，則長方體的體積是．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的運算法則、科學記數(shù)法計算即可．【解答】解：長方體的體積，則長方體的體積是，故答案為：．【點評】本題考查的是科學記數(shù)法、單項式乘單項式，掌握單項式乘單項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?寶應縣月考）一種計算機每秒可做次運算，它工作了，共可做次運算．（用科學記數(shù)法表示）【分析】根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則進行計算即可．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查了單項式乘單項式，解答本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則．12．（2022春?玄武區(qū)校級期中）下列是某同學在一次測試中的計算：①；②；③④．其中運算正確的為④．（填序號）【分析】根據(jù)合并同類項法則、單項式乘單項式的運算法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則計算，判斷即可．【解答】解：①與不是同類項，不能合并，計算錯誤；②，計算錯誤；③，計算錯誤；④，計算正確；其中運算正確的為④．故答案為：④．【點評】本題考查的是單項式乘單項式、合并同類項、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，掌握它們的運算法則是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）13．（2022春?阜寧縣期末）計算：．【分析】先根據(jù)積的乘方與冪的乘方法則化簡，然后運用單項式乘單項式的法則運算即可．【解答】解：原式．【點評】本題考查了整式乘法運算，熟記法則是解題的關(guān)鍵，單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．14．（2022春?射陽縣校級月考）已知，求的值．【分析】根據(jù)積的乘方，可得同底數(shù)的冪，根據(jù)同底數(shù)的冪相等，可得答案．【解答】解：，，，，，．【點評】此題考