專題12 全等三角形模型之手拉手模型全攻略（解析版）四川成都七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-

專題12全等三角形模型之手拉手模型全攻略【模型說明】【例題精講】例1（等邊三角形）如圖，已知三點(diǎn)共線，分別以為邊作等邊和等邊，連接分別與交于與的交點(diǎn)為．（1）求證：；（2）求度數(shù)；（3）連接，求證：【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)去證明，即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)（1）中可得，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求出度數(shù)；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)去證明，可得，從而求得即可得證．【詳解】（1）∵和是等邊三角形∴∴∴在△BCD和△ACE中∴∴；（2）∵是等邊三角形∴∵∴∴；（3）∵和是等邊三角形∴∴∴在△BCM和△ACN中，∴∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．例2．（等腰直角三角形）如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小是__________；(2)探究證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接、、，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【答案】(1)；(2)為等腰直角三角形，理由見解析(3)面積的最大值為2【分析】（1）由，可推出，又因點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，又因，，可證得與全等，參考（1）中的解題思路即可證出，，從而推出為等腰直角三角形；（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，由（2）中的結(jié)論知為等腰直角三角形，，當(dāng)有最大值時(shí)，須有的值最大，由三角形三邊關(guān)系可推斷出當(dāng)B、A、D三點(diǎn)共線時(shí)，BD的值最大．【詳解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，∴，∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴分別是的中位線，∴，∴，∵，∴，故答案為：；；（2）為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知：，又∵，，，，，又、分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，∴且，同理，且，，，．，，，為等腰直角三角形；（3）由（1）（2）得，，且為等腰直角三角形，∵，即，∴，∴，∴面積的最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握手拉手模型證明全等是解本題的關(guān)鍵．例3．（等腰三角形）問題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來了如下一道題目（原問題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖①，△ACB和△∠CDE均為等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE．求證：∠CDE=∠BCE+∠CBE．問題發(fā)現(xiàn)：小華說：我做過一道類似的題目：如圖②，△ACB和△CDE均為等邊三角形，其他條件不變，求∠AEB的度數(shù)．（1）請(qǐng)聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫出小華的題目要求．拓展研究：（2）如圖③，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CF為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)求∠AEB的度數(shù)及線段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；∠AEB=；（2）∠AEB=；；理由見解析．【分析】（1）小雪的題目：先利用SAS證明，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等量代換即可得證；小華的題目：先利用SAS證明，再利用全等三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念和角的和與差即可得出答案；（2）根據(jù)題意易證，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的概念即可求得∠AEB的度數(shù)；然后根據(jù)三線合一即可得出，最后根據(jù)線段的和與差及等量代換即可得出答案．【詳解】（1）小雪的題目：證明：在和中，又,；小華的題目：解：在和中，為等邊三角形又點(diǎn)A、D、E在同一條直線上（2）∠AEB=；；理由如下：△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，,即在和中，,點(diǎn)A、D、E在同一直線上．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例4．（拓展）如圖，在中，，，點(diǎn)O是中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接，求證：；(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)CE﹣CD＝AC．理由見解析【分析】（1）結(jié)論：．連接．證明；（2）結(jié)論：，證明方法類似（1）．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由：連接．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．例5．（培優(yōu)綜合）已知，在中，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），以為邊作正方形，連接．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出三條線段之間的關(guān)系．（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長線上，且點(diǎn)，分別在直線的兩側(cè)時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出三條線段之間的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析.【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得；（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）同理，證明△BAD≌△CAF即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；（2）解：CF-CD=BC．理由如下：如圖2，∵∠BAD=90°+∠CAD，∠CAF=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD=BC+CD，∴CF-CD=BC．（3）CD-CF=BC，理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∴CD-BC=CF，∴CD-CF=BC.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．【課后訓(xùn)練】1．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=．【答案】65°【分析】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過點(diǎn)作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．在中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系；(2)當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時(shí)，試探究，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）①先證明，再利用證即可；②利用全等三角形的性質(zhì)得到，再由即可得到結(jié)論；（2）由已知條件可得證出，，推出，再由，即可得到．【詳解】（1）證明：①∵，∴，即．在和中，?！啵?，理由如下：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．在中，，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作，使，，連接CE．（1）如圖（1），若點(diǎn)D在線段BC上，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（不必說明理由）（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上移動(dòng)時(shí)，如圖（2），和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意證明，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解；（2）設(shè)AD與CE交于F點(diǎn)，根據(jù)題意證明，根據(jù)平角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）．理由如下：，．，，，，∴=∵∴;（2）．理由如下：設(shè)AD與CE交于F點(diǎn)．，．，，，．，．，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．4．如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）延長BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時(shí)，求PQ的長．【答案】(1)證明見解析；(2)PQ=6．【分析】（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可證得∠ACD=∠BCE，所以根據(jù)SAS即可證得△ACD≌△BCE；（2）首先過點(diǎn)C作CH⊥BQ于H，由等邊三角形的性質(zhì)，即可求得∠DAC=30°，則根據(jù)等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長．【詳解】（1）∵△ABC與△DCE是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）過點(diǎn)C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，∴∠DAC=30°，∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°，∴CH=BC=×8=4，∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3，∴PQ=6．5．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請(qǐng)你一起來探究：已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊△ACE和△BCD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請(qǐng)證明，不成立說明理由．（3）如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側(cè)作等邊三角形△ABF，連結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P，求證：PB+PC+PA=BE．【答案】（1）AD=BE．（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．（3）證明見解析．【詳解】試題分析：（1）直接寫出答案即可．（2）證明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；借助內(nèi)角和定理即可解決問題．（3）如圖，作輔助線，證明△CPA≌△CHE，即可解決問題．試題解析：（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；在△ACD與△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；在△ECB和△ACD中，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB=∠CAD；設(shè)BE與AC交于Q，又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，連接HC，則△PCH為等邊三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°；又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE；在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．6．如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CE與AB相交于點(diǎn)D，且BE⊥CE，AF⊥CE，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若AF=5，BE=2，求EF的長；（2）如圖2，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，EG，求證：FG=EG．【答案】（1）3；（2）見解析【分析】（1）證得∠ACF＝∠CBE，由AAS證得△ACF≌△CBE得出CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，即可得出結(jié)果；（2）連接CG，推出∠GCB＝∠CBG＝45°，得出CG＝BG，證得△CFG≌△BEG得出FG＝EG即可．【詳解】（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴∠ACF+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACF＝∠CBE，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，在△ACF和△CBE中，∵∴△ACF≌△CBE（AAS），∴CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，∵EF＝CE﹣CF，∴EF＝5﹣2＝3；（2）連接CG，如圖2所示：∵AC＝BC，AG＝BG，∴CG⊥AB，∠BCG＝∠ACB＝×90°＝45°，∴∠CBG＝90°﹣45°＝45°，∴∠GCB＝∠CBG＝45°，∴CG＝BG，在△ADF和△BDE中，∵∠AFD＝∠BED，∴∠FAD＝∠EBG，由（1）證可知：△ACF≌△CBE，∴CF＝BE，∠CAF＝∠BCE，∵∠CAF+∠FAD＝∠GCD+∠BCE＝45°，∴∠FAD＝∠GCD，∴∠EBG＝∠FCG，在△CFG與△BEG中，∵CG=BG，∠FCG=∠EBG，CF=BE，∴△CFG≌△BEG（SAS），∴FG＝EG．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與全等三角形性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．7．問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖（1），在中，，，則．探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖（1），作邊上的中線，得到結(jié)論：①為等邊三角形；②與之間的數(shù)量關(guān)系為_________．（2）如圖（2），是的中線，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，連接，作等邊，且點(diǎn)P在的內(nèi)部，連接．試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）中條件的基礎(chǔ)上，線段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出答案即可．【答案】（1）；（2），證明詳見解析；（3）【分析】（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題；（3）結(jié)論不變，證明方法類似．【詳解】（1），，，為邊上的中線，，是等邊三角形，．（2）．證明：如圖，連接，都是等邊三角形，，，，，．，．，；（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，同（2）中的方法可證．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．8．探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在線段BC上，且不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E在同一直線上；（3）如圖3，已知點(diǎn)E在ABC外，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測(cè)線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）CE∥AB，理由見解析；（2）見解析；（3）BE＝AE+EC．理由見解析．【分析】（1）結(jié)論：CE∥AB．證明△BAD≌△CAE（SAS）可得結(jié)論．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明∠ADB＝∠AEC＝120°，證明∠ADB+∠ADE＝180°即可解決問題．（3）結(jié)論：BE＝AE+EC．在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．利用全等三角形的性質(zhì)證明△AEH是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：CE∥AB．理由：如圖1中，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）證明：如圖2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共線．（3）解：結(jié)論：BE＝AE+EC．理由：在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定及等邊三角形，熟練掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意平時(shí)常用的輔助線作法．9．如圖1，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形和疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)．將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的△OAB(保留作圖痕跡，不寫作法，不證明)；在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線段的數(shù)量關(guān)系是____，直線相交成角(填“銳”、“鈍”或“直”)；①將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖，這時(shí)(2)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立?作出判斷并說明理由；②若將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由．【答案】（1）見解析；（2），直；（3）①仍然成立，理由見解析；②仍然成立【分析】（1）△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角后，在△COD的右邊；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）①結(jié)論仍然成立，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到全等條件證明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以證明結(jié)論仍然成立，②結(jié)論仍然成立，方法同①．【詳解】解：（1）如圖所示（2）∵等腰直角三角形和疊放在一起，如圖1，∴OC=OD，OA=OB∴AC=BD，故答案為：；直（3）①將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，的兩個(gè)結(jié)論成立；理由如下：旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后，，在和中，延長交于E，交于，，又②將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立．理由同上．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，學(xué)生要看清是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后畫出圖形，利用圖形的性質(zhì)通過證明三角形全等就可以解決問題．10．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時(shí)，，

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時(shí)，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．綜上，或．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．11．在中，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．【答案】(1)100；(2)①時(shí)等邊三角形，證明見解析；②．證明見解析．【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①時(shí)等邊三角形，證明，即可；②結(jié)論：．如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：100．（2）解：①結(jié)論：時(shí)等邊三角形．理由：∵點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴時(shí)等邊三角形；②結(jié)論：．理由：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．∵則，點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴時(shí)等邊三角形，∴，，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考常考題型．12．（1）如圖①，和都是等邊三角形，且點(diǎn)，，在一條直線上，連結(jié)和，直線，相交于點(diǎn)．則線段與的數(shù)量關(guān)系為_____________．與相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為___________．（2）如圖②，點(diǎn)，，不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立．（3）應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)，，不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時(shí)恰好有．設(shè)直線交于點(diǎn)，請(qǐng)把圖形補(bǔ)全．若，則___________．【答案】（1）相等，；（2）成立，證明見解析；（3）見解析，4.【分析】（1）證明△BCD≌△ACE，并運(yùn)用三角形外角和定理和等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）是第（1）問的變式，只是位置變化，結(jié)論保持不變；（3）根據(jù)∠AEC=30°，判定AE是等邊三角形CDE的高，運(yùn)用前面的結(jié)論，把條件集中到一個(gè)含有30°角的直角三角形中求解即可.【詳解】（1）相等；

.理由如下：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∴．∴，．又∵，∴.（2）成立；理由如下：證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∴．∴，．又∵，∴.（3）補(bǔ)全圖形（如圖）,∵△CDE是等邊三角形，∴∠DEC=60°，∵∠AEC=30°，∴