材料力學(xué)：第六章 彎曲變形

1第六章彎曲變形材料力學(xué)2§6–1概述§6–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§6–3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6–4梁的剛度校核§6–5梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能

第六章彎曲變形

§6–6簡單超靜定梁的求解方法§6－１概述彎曲變形研究范圍：等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：①對(duì)梁作剛度校核；

②解超靜定梁（為變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。與f

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用

表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

v=f(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：彎曲變形一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量小變形PxvCqC1f

§6-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形fxM>0fxM<0(1)對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分彎曲變形2.位移邊界條件PD討論：

①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。

②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。

③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。

④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。

支點(diǎn)位移條件：

連續(xù)條件：

光滑條件：彎曲變形PABC[例1]求下列等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：PLxf

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xfPL解：

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分彎曲變形xfPLa[例2]求下列等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxf

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxf課堂練習(xí)彎曲變形

寫出圖示各梁的邊界條件。在圖中桿的抗拉剛度剛度為EI。課堂練習(xí)彎曲變形懸臂梁如圖所示，有載荷FP沿梁移動(dòng)。若使載荷移動(dòng)時(shí)總保持相同的高度，試問應(yīng)將梁軸線預(yù)彎成怎樣的曲線？設(shè)EI=常數(shù)

§6-3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。彎曲變形[例4]按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)

撓度。解、①載荷分解如圖②由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa③疊加[例6]

按疊加原理求C點(diǎn)撓度。解：

載荷無限分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。

疊加彎曲變形q00.5L0.5LxdxbxfC彎曲變形疊加技巧

在簡支梁的一半跨度內(nèi)作用均布載荷q，試求跨度中點(diǎn)的跨度。設(shè)EI為常數(shù)。彎曲變形思考、練習(xí)

求圖示各梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)EI＝常量。21二、逐段剛化法=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf22[例5]求圖示變截面梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。彎曲變形§6-5梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[

]稱為許用轉(zhuǎn)角；[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；

、設(shè)計(jì)載荷。彎曲變形(但：對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB[例7]下圖為一空心圓截面梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[f/L]=0.00001,B點(diǎn)的[

]=0.001弧度,試校核此梁的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：

結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf

疊加求復(fù)雜載荷下的變形

校核剛度彎曲變形dxxQQ+dQMM+dM一、彎曲應(yīng)變能的計(jì)算：§6–6

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能

彎曲變形應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr[例8]

用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對(duì)稱性，得：思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？彎曲變形qxfPaa二、應(yīng)變能法計(jì)算撓度[練習(xí)]彎曲變形求圖示梁外伸端的轉(zhuǎn)角。設(shè)EI為常數(shù)。

§6-7

簡單超靜定梁的求解方法1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：

建立靜定基

確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LRBABxf

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補(bǔ)充方程

求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）

幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：

建立靜定基=[例10]

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC彎曲變形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBC彎曲變形xfq0LRBABCRBAB+q0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補(bǔ)充方程

求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）彎曲變形練習(xí):房屋建筑中的某一等截面梁簡化成均布載荷作用下的雙跨梁。試做梁的剪力圖和彎矩圖。36

第六章練習(xí)題一、撓曲線近似微分方程的近似性反映在哪幾方面?

二、用積分法求圖示組合梁的撓曲線方程時(shí),需應(yīng)用的支承條件和連續(xù)條件是什么?

彎曲變形37彎曲變形三、長度為L,重量為P的等截面直梁,放置在水平剛性平面上。若在端點(diǎn)施力P/3上提,未提起部