新教材同步備課2024春高中數(shù)學第7章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布學習任務1．理解n重伯努利試驗的概念．(數(shù)學抽象)2．駕馭二項分布的概率表達式．(數(shù)學抽象)3．能利用伯努利試驗的模型及二項分布解決一些簡潔的實際問題．(數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析)為了增加系統(tǒng)的牢靠性，人們常常運用“備用冗余設備”(即正在運用的設備出故障時才啟動的設備)．已知某計算機網(wǎng)絡的服務器接受的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡就不會斷掉．假如三臺設備各自能正常工作的概率都為0.9，它們之間相互不影響，那么這個計算機網(wǎng)絡不會斷掉的概率是多少呢？學問點1n重伯努利試驗(1)概念：我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗．(2)我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．(3)n重伯努利試驗的共同特征①同一個伯努利試驗重復做n次；②各次試驗的結(jié)果相互獨立．(1)每次試驗結(jié)果只有兩種，即事務要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(2)每次試驗在相同的條件下進行且各次試驗中的事務互不影響．1．“試驗的結(jié)果相互獨立”的含義是什么？[提示]每次試驗的概率相同，不受上次試驗結(jié)果的影響．學問點2二項分布(1)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事務A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事務A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，假如隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X聽從二項分布，記作X～B(n，p)．(2)二項分布的均值與方差若X聽從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．二項分布與兩點分布有什么關(guān)系？[提示](1)兩點分布的試驗次數(shù)只有一次，試驗結(jié)果只有兩種：事務A發(fā)生(X＝1)或不發(fā)生(X＝0)；二項分布是指在n重伯努利試驗中事務A發(fā)生的次數(shù)X的分布列，試驗次數(shù)為n次(每次試驗的結(jié)果也只有兩種：事務A發(fā)生或不發(fā)生)，試驗結(jié)果有n＋1種：事務A恰好發(fā)生0次，1次，2次，…，n次．(2)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特別的二項分布，即n＝1的二項分布．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)n重伯努利試驗每次試驗之間是相互獨立的． ()(2)n重伯努利試驗只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果． ()(3)n重伯努利試驗中每次試驗中發(fā)生的機會是均等的． ()(4)n重伯努利試驗中每次試驗發(fā)生的事務是互斥的． ()(5)兩點分布屬于二項分布． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．某射手射擊1次，擊中目標的概率為0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第三次擊中目標的概率為0.9；②他恰好擊中目標3次的概率為0.93×0.1；③他至少擊中目標1次的概率為1－0.14．其中正確結(jié)論的序號為__________．①③[在n重伯努利試驗中，每次試驗事務發(fā)生的概率都相等，故①正確；②中恰好擊中3次須要看哪3次擊中，正確的概率應為C43×0.9利用對立事務求解，③正確．]3．某班有14的學生數(shù)學成果優(yōu)秀，假如從該班中隨機抽出5名同學，設其中數(shù)學成果優(yōu)秀的學生數(shù)為X，那么E(2X72[依題意X～B5則E(X)＝5×14＝5∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝7類型1n重伯努利試驗n重伯努利試驗的推斷【例1】推斷下列試驗是不是n重伯努利試驗．(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面對上；(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．[解](1)由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗．(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗．(3)每次抽取時，球的個數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗．n重伯努利試驗的概率【例2】甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是23和3(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率．[解](1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標”為事務A1，由題意，射擊3次，相當于3重伯努利試驗，故P(A1)＝1－P(A1)＝1－233(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事務A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事務B2，則P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C21×341×[母題探究]1．(變設問)本例條件不變，求甲、乙各射擊2次均擊中目標1次的概率．[解]記“甲擊中目標1次”為事務A3，“乙擊中目標1次”為事務B3，則P(A3)＝C21×23×13＝49，所以甲、乙均擊中目標1次的概率為P(A3B3)＝49×32．(變設問)本例條件不變，求甲、乙各射擊2次，甲未擊中、乙擊中2次的概率．[解]記“甲未擊中目標”為事務A4，“乙擊中2次”為事務B4，則P(A4)＝C201-232＝19，P所以甲未擊中，乙擊中目標2次的概率為P(A4B4)＝19×9n重伯努利試驗概率求法的三個步驟(1)推斷：依據(jù)n重伯努利試驗的特征，推斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．(2)分拆：推斷所求事務是否須要分拆．(3)計算：就每個事務依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解，最終利用乘法或加法公式計算．[跟進訓練]1．(多選)下列事務不是n重伯努利試驗的是()A．運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標ABC[A，C符合互斥事務的概念，是互斥事務；B是相互獨立事務；D是n重伯努利試驗．]2．小明同學寵愛籃球，假設他每一次投籃投中的概率為23A．481B．881C．4D[因為小明每次投籃投中的概率是23，所以在他連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率為P＝C42類型2求聽從二項分布的隨機變量的分布列【例3】(源自湘教版教材)拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數(shù)為點P的橫坐標，另一枚的點數(shù)為點P的縱坐標，連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內(nèi)的次數(shù)X的分布列．[解]由題意可知，P點的坐標可能有6×6＝36(種)狀況，而符合題意的點只有下列8個：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如圖所示．那么在拋擲骰子時，點P在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率為836＝2由題意可知X～B3，P(X＝0)＝C302P(X＝1)＝C312P(X＝2)＝C322P(X＝3)＝C332因此，隨機變量X的分布列為X0123P34398288二項分布問題的兩個關(guān)注點(1)推斷：關(guān)鍵有兩點，一是對立性，即一次試驗中，事務發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次．(2)參數(shù)意義：X～B(n，p)中n為試驗次數(shù)，p為勝利概率．(3)公式用途：公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利試驗發(fā)生[跟進訓練]3．在某公司的一次聘請中，應聘者都要經(jīng)過A，B，C三個獨立項目的測試，通過其中的兩個或三個項目的測試即可被錄用．若甲、乙、丙三人通過A，B，C每個項目測試的概率都是12(1)求甲恰好通過兩個項目測試的概率；(2)設甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為X，求X的分布列．[解](1)甲恰好通過兩個項目測試的概率為C321(2)因為甲、乙、丙三人被錄用的概率均為C32122甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)X聽從二項分布，即X～B3，所以P(X＝0)＝1-12P(X＝1)＝C311P(X＝2)＝C321P(X＝3)＝123＝故X的分布列為X0123P1331類型3二項分布的均值、方差及實際應用【例4】某商場為刺激消費，擬按以下的方案進行促銷：顧客每消費500元便得到獎券一張，每張獎券的中獎概率為12(1)設該顧客中獎的獎券張數(shù)為X，求X的分布列；(2)設該顧客購買臺式電腦的實際支出為Y元，用X表示Y，并求Y的均值．[解](1)由于每張獎券是否中獎是相互獨立的，因此X～B4，所以P(X＝0)＝C401P(X＝1)＝C411P(X＝2)＝C421P(X＝3)＝C431P(X＝4)＝C441其分布列為X01234P11311(2)因為X～B4，12，所以E(X又由題意可得Y＝2300－100X，所以E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．即所求變量Y的均值為2100元．(1)在解決有關(guān)均值和方差問題時，要細致審題，假如題目中的離散型隨機變量符合二項分布，就應干脆利用二項分布求均值和方差，以簡化問題的解答過程．(2)對于二項分布的均值與方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要嫻熟駕馭．[跟進訓練]4．為了了解校內(nèi)噪音狀況，學校環(huán)保協(xié)會對校內(nèi)環(huán)境噪音值(單位：分貝)進行了50天的監(jiān)測，得到如下統(tǒng)計表：環(huán)境噪音值(單位：分貝)[55，57](57，59](59，61](61，63](63，65](65，67]頻數(shù)14122085(1)依據(jù)該統(tǒng)計表，求這50天校內(nèi)噪音值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)依據(jù)相關(guān)規(guī)定，“環(huán)境噪音值超過65分貝，視為重度噪音污染，環(huán)境噪音值不超過59分貝，視為輕度噪音污染．”把由上述統(tǒng)計表算得的頻率視作概率，回答下列問題：①求周一到周五的5天中恰有兩天校內(nèi)出現(xiàn)重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染的概率；②學校要實行為期3天的“漢字聽寫大賽”校內(nèi)選拔賽，把這3天校內(nèi)出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為X，求X的分布列和方差D(X)．[解](1)由數(shù)據(jù)可知樣本平均數(shù)為：56×(2)①由題意知，出現(xiàn)重度噪音污染的概率為110出現(xiàn)輕度噪音污染的概率為110設事務A為“周一至周五的5天中恰有兩天校內(nèi)出現(xiàn)重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染”，則P(A)＝C521②由題意，得X～B3，則隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝C3k1所以X的分布列為X0123P729243271所以D(X)＝np(1－p)＝0.27．1．n重伯努利試驗應滿意的條件：①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果；③各次試驗勝利的概率是相同的；④每次試驗發(fā)生的事務是互斥的．其中正確的是()A．①② B．②③C．①②③ D．①②④C[由n重伯努利試驗的概念知①②③正確，④錯誤．]2．小方每次投籃的命中率為57，假設每次投籃相互獨立，則他連續(xù)投籃A．2049 B．C．2549 D．A[由題意可知，小方連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的概率P＝C21×3．拋擲一枚質(zhì)地勻整的硬幣n(3≤n≤8)次，正面對上的次數(shù)ξ聽從二項分布Bn，12，若P(ξ＝1)＝36[因為3≤n≤8，ξ聽從二項分布Bn，12，且P(ξ＝1)＝332，所以Cn1·12n＝34．某次考試中，第一大題由12道選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________．48[設小王選對的個數(shù)為X，得分為Y＝5X，則X～B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48．]回顧本節(jié)學問，自主完成以下問題：1．n重伯努利試驗中，X的分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－[提示]k表示事務A發(fā)生的次數(shù)，n表示試驗總次數(shù)，p表示事務A發(fā)生的概率，(1－p)表示事務A發(fā)生的概率．2．同一個伯努利試驗重復做n次即為n重伯努利試驗，重復意味著什么？[提示]重復意味著試驗勝利的概率相同．3．推斷二項分布的關(guān)鍵點是什么？[提示](1)對立性．在一次試驗中，事務A發(fā)生與否必居其一．(2)重復性．試驗可以獨立重復地進行，且每次試驗事務A發(fā)生的概率為同一常數(shù)．(3)X的取值從0到n，中間不間斷．課時分層作業(yè)(十六)二項分布一、選擇題1．若某地居民中高血壓的患病率為p，從該地區(qū)隨機抽查n人，則下列說法正確的是()A．樣本患病率聽從二項分布X～B(n，p)B．n人中患高血壓的人數(shù)X聽從二項分布X～B(n，p)C．患病人數(shù)與樣本患病率均不聽從二項分布X～B(n，p)D．患病人數(shù)與樣本患病率均聽從二項分布X～B(n，p)B[由二項分布的定義知B正確．]2．(2024·天津楊柳青一中期中)設隨機變量X～B4，12，則PA．35 B．C．38 D．C[由二項分布的概率公式可得，P(X＝2)＝C42×3．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，則D(X)＝()A．1.8 B．6C．2.1 D．4.2D[因為X～B(20，p)，所以E(X)＝20p＝6，解得p＝0.3，故D(X)＝np(1－p)＝20×0.3×0.7＝4.2，故選D．]4．(多選)若隨機變量X聽從二項分布B4，A．P(X＝1)＝P(X＝3)B．P(X＝2)＝3P(X＝1)C．P(X＝4)＝2P(X＝0)D．P(X＝3)＝4P(X＝1)BD[由題意，依據(jù)二項分布中概率的計算公式P(X＝k)＝C4k23k1-234-k，k＝0，1，2，3，4，則P(X＝0)＝C40230·1-234＝181，P(X＝1)＝C412311-233＝881，P(X＝2)＝C425．(多選)某城鎮(zhèn)小汽車的普及率為75%，即平均每100個家庭有75個家庭擁有小汽車，若從該城鎮(zhèn)中隨意選出5個家庭，則下列說法中正確的是()A．這5個家庭均有小汽車的概率為243B．這5個家庭中，恰有三個家庭擁有小汽車的概率為27C．這5個家庭平均有3.75個家庭擁有小汽車D．這5個家庭中，四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為81ACD[由題得小汽車的普及率為34A．這5個家庭均有小汽車的概率為345＝B．這5個家庭中，恰有三個家庭擁有小汽車的概率為C53·34C．這5個家庭平均有5×34D．這5個家庭中，四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為C54344二、填空題6．已知隨機變量ξ，η滿意ξ＋η＝1，且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，則E(η)＝________；D(η)＝________．－132[因為隨機變量ξ，η滿意ξ＋η＝且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，所以E(ξ)＝8p＝2，解得p＝14所以D(ξ)＝8×14×3因為ξ＋η＝1，所以η＝1－ξ，所以E(η)＝1－E(ξ)＝1－2＝－1，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝327．箱子中有標號為1，2，3，4，5，6且大小、形態(tài)完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，登記號碼并放回，假如兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．若有4人參加摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為_________________．96625[獲獎的概率為p＝6C6記獲獎的人數(shù)為ξ，ξ～B4，所以4人中恰好有3人獲獎的概率為P＝C432538．(2024·山東棗莊三模)已知隨機變量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，則D(kX＋1)＝________．24[由題意可知，P(X＝k)＝C6k0.26-k0.8要使P(X＝k)最大，則P(X＝k)≥P(X＝k－1)且P(X＝k)≥P(X＝k＋1)，即C6k0.26-k0.8k≥C6即0.8×7-kk解得235≤k≤285，故易知D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，所以D(kX＋1)＝D(5X＋1)＝52D(X)＝24．]三、解答題9．一款擊鼓小嬉戲的規(guī)則如下：每盤嬉戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤嬉戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12(1)若第一次擊鼓出現(xiàn)音樂，求該盤嬉戲獲得100分的概率；(2)設每盤嬉戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列．[解](1)若第一次擊鼓出現(xiàn)音樂，則該盤嬉戲獲得100分的概率為P＝12×1(2)X可能的取值為10，20，100，－200，P(X＝10)＝C31×P(X＝20)＝C32×P(X＝100)＝C33×P(X＝－200)＝C30×所以X的分布列為X1020100－200P331110．連續(xù)投擲2枚大小相同、質(zhì)地勻整的骰子3次，則恰有2次點數(shù)之和不小于10的概率為()A．112 B．C．115 D．B[連續(xù)投擲2枚大小相同、質(zhì)地勻整的骰子1次，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6×6＝36，出現(xiàn)向上的點數(shù)之和不小于10包含的基本領(lǐng)件有(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共有6個，所以每次投擲，兩骰子點數(shù)之和不小于10的概率為16，又投擲3次，相當于3重伯努利試驗，故恰有兩次點數(shù)之和不小于10的概率為C3211．口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列{an}：an＝-1，第n次摸到紅球，1，第n次摸到白球，假如SnA．CB．CC．CD．CB[由S7＝3知，在前7次摸球中有2次摸到紅球，5次摸到白球，而每次摸到紅球的概率為23，摸到白球的概率為13，所以S7＝3的概率為12．為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，有關(guān)部門要求產(chǎn)品在進入市場前必需進行兩輪核輻射檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為16，其次輪檢測不合格的概率為110，兩輪檢測是否合格相互沒有影響．若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則P(A．27128 B．C．43256 D．B[由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為1-16易知X的全部可能取值為－320，－200，－80，40，160，設ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則ξ～B4，34，所以P(ξ＝k所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C42×342×142＝27128，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C43×3故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝27128+2713．某學校在春天來臨時開展了以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動．已知某種盆栽植物每株成活的概率為p，各株是否成活相互獨立．該學校的某班隨機領(lǐng)取了此種盆栽植物10株，設X為其中成活的株數(shù)，若D(X)＝2.1，P(X＝3)<P(X＝7)，則p＝________．0.7[由題意可知X～B(10，p)，∴10p即100p2-14．某科技公司為5G基