2024八年級數(shù)學下冊第一章三角形的證明單元測試新版北師大版

Page1單元測試(一)三角形的證明(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．已知一個等腰三角形一底角的度數(shù)為80°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為(A)A．20°B．70°C．80°D．100°2．用反證法證明“若a＞b＞0，則a2＞b2”時，應假設(B)A．a(chǎn)2＜b2B．a(chǎn)2≤b2C．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)2≥b23．如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO＝CO，AB＝CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是(A)A．HLB．SASC．ASAD．SSSeq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))4．(2024·眉山)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為(C)A．70°B．100°C．110°D．140°5．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是(C)A．2B．4C．6D．86．如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，與∠1互余的角有(C)A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCD7．(2024·貴州)5月26日，“2024中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是(B)A．4mB．6mC．10mD．12meq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))8．已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，則此等腰三角形的周長為(D)A．8B．6或8C．7D．7或89．(2024·寧夏)將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是(B)A．2－eq\r(3)B．2eq\r(3)－2C．2D．2eq\r(3)10．如圖，點E是BC的中點，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD.四個結論中成立的是(A)A．①②④B．①②③C．②③④D．①③二、填空題(每小題3分，共15分)11．“等邊對等角”的逆命題是__等角對等邊__．12．如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝eq\r(3)，則點D到AC的距離是__eq\r(3)__.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))13．(2024·錦州)如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，則∠B的度數(shù)為__35°__．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于點E.則△ABE的周長是__15__．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4.若點P在直線AB上(不與點A，B重合)，且∠PCB＝30°，則CP的長為__2或eq\r(3)或2eq\r(3)__．三、解答題(本大題共8個小題，滿分75分)16．(8分)(2024·吉林)如圖，點C在線段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.求證：AC＝DC.證明：在△ABC和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,AB＝DE，,∠B＝∠E，))∴△ABC≌△DEC(ASA)，∴AC＝DC17．(9分)如圖，在△ABE中，AB＝AE，C，D是BE邊上兩點且AC＝AD，求證：BC＝DE.證明：∵AB＝AE，∴∠B＝∠E.∵AC＝AD.∴∠ACD＝∠ADC.∴∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAC＝∠EAD，,AC＝AD，))∴△ABC≌△AED(SAS).∴BC＝DE18．(9分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，邊AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E.求證：AE＝2CE.證明：連接BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－∠A＝60°.∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝30°.∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴BE＝2CE.∴AE＝2CE19．(9分)如圖，兩條公路OA和OB相交于點O，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要在∠AOB內(nèi)部修建一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA，OB的距離相等，且到兩工廠C，D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．(要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結論)解：如圖所示：20．(9分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AD是△ABC的角平分線．(1)求AC的長；(2)求點D到AB的距離．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，∴AC＝eq\r(3)(2)∵AD是△ABC的角平分線，∴D到AC，AB的距離相等．又∵AC＝eq\r(3)，∠CAB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝1.∴點D到AB的距離為121．(10分)(2024·聊城)如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.(1)求證：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4時，求△AED的面積．解：(1)∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CED，,∠B＝∠C，,BE＝CD，))∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA(2)∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED為等邊三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，過A點作AF⊥ED于F，∴EF＝eq\f(1,2)ED＝2，∴AF＝eq\r(AE2－EF2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴S△AED＝eq\f(1,2)ED·AF＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)22．(10分)如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連接CD，BE.(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的關系，并說明理由．解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°－40°－80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°(2)∠BEC＋∠BDC＝110°，理由：設∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°，∴β＝70°－∠ABE，∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°，∴∠BEC＋∠BDC＝110°23．(11分)如圖1，已知點B(0，6)，點C為x軸上一動點，連接BC，△ODC和△EBC都是等邊三角形，(1)求證：DE＝OB；(2)如圖2，當點D恰好落在BC上時．①求OC的長及點E的坐標；②在x軸上是否存在點P，使△PEC為等腰三角形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，說明理由；③如圖3，點M是線段BC上的動點(點B，C除外).過點M作MG⊥BE于點G，MH⊥CE于點H，當點M運動時，MH＋MG的值是否發(fā)生變更？若不會變更，干脆寫出MH＋MG的值；若會變更，簡要說明理由．解：(1)∵△ODC和△EBC都是等邊三角形，∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.∴∠OCD＋∠BCD＝∠BCE＋∠BCD，即∠ECD＝∠BCO.∴△DEC≌△OBC(SAS).∴DE＝OB(2)①∵△ODC是等邊三角形，∴∠OCB＝60°.∵∠BOC＝90°，∴∠OB