高中數(shù)學(xué)新教材同步必修第一冊(cè)第1章1. 4 充分條件與必要條件

1.4充分條件與必要條件

1.4.1充分條件與必要條件

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解充分條件、必要條件的概念.2.了解充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)

定理的關(guān)系3能通過(guò)充分性、必要性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識(shí)點(diǎn)充分條件與必要條件

“若p,則/為真命題“若p,則/為假命題

推出關(guān)系p3qP切

p是4的充分條件p不是q的充分條件

條件關(guān)系

。是。的必要條件〃不是〃的必要條件

判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件

定理關(guān)系

性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件

思考若p是q的充分條件，這樣的條件p唯一嗎？

答案不唯一.例如“x>l”是，”>0”的充分條件,p可以是“x>2”“x>3”或“2a<3”等.

預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)

1.若條件p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等，則p是〃的條件.

答案必要

2.已知AUB,則“xdA”是“xGB”的條件.

答案充分

3.p：H=M，q：x=y,則p是q的條件.

答案必要

解析’."=)，=k|=儀|,即q=p,

?,?p是q的必要條件.

4.p：a=0,q-.ab=0,則p是q的條件.

答案充分

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、充分條件的判斷

例1(1)下列命題中，p是q的充分條件的是.

①p：(x—2)(JC—3)=0,q：x—2=0；

②p：兩個(gè)三角形面積相等，q；兩個(gè)三角形全等；

③p：m<~2,q：方程x2—》一機(jī)=0無(wú)實(shí)根.

答案③

解析@V(x-2)(x-3)=0,

；.x=2或x=3,不能推出x—2=0.

''P不是q的充分條件.

②?.?兩個(gè)三角形面積相等，不能推出兩個(gè)三角形全等，；.p不是g的充分條件.

③2,12+4m<0,方程x2—x—%=0無(wú)實(shí)根，是q的充分條件.

⑵“〃>2且fr>2”是l,a+b>4,ab>4”的條件.

答案充分

解析由a>2且b>2=>a+b>4,ab>4,

是充分條件.

反思感悟充分條件的判斷方法

(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p,什么是q,即轉(zhuǎn)化成p=q問(wèn)題.

⑵除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若p構(gòu)成的集合為A,q構(gòu)成的

集合為B,AQB,則。是q的充分條件.

跟蹤訓(xùn)練1“x>2”是“f>4”的條件.

答案充分

解析x>2=『>4,故x>2是f>4的充分條件.

二、必要條件的判斷

例2在以下各題中，分析p與g的關(guān)系：

(1)/?：x>2且y>3,q：尤+y>5；

(2)p：一個(gè)四邊形的四個(gè)角都相等，q：四邊形是正方形.

解(1)由于pnq,故/?是q的充分條件，q是。的必要條件.

(2)由于q=p,故q是p的充分條件，p是4的必要條件.

反思感悟(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時(shí)，能否推出q成立，反過(guò)來(lái)，若

q成立時(shí)，能否推出p成立；若p=q為真，則p是q的充分條件，若q=p為真，則〃是q

的必要條件.

(2)也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲“xGA”，條件乙“xCB”,若A2B,則甲是乙的

必要條件.

跟蹤訓(xùn)練2分析下列各項(xiàng)中p與q的關(guān)系.

⑴p：a為銳角,q：a=45°.

(2)p：(x+l)(x—2)=0,q：x+1=0.

解(1)由于q=p,故〃是4的必要條件，夕是〃的充分條件.

(2)由于4=p,故p是4的必要條件，q是p的充分條件.

三、充分條件與必要條件的應(yīng)用

例3已知p：實(shí)數(shù)x滿足其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿足-2WxW3.若〃是夕的充分條

件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解p：3a<x<a,即集合A={R3a<x<〃}.

q：—2WxW3,即集合B={x|-2WxW3}.

因?yàn)閜=>q,所以AG&

3〃2—2,

2

所以n—§W〃<0,

4Vo

2

所以a的取值范圍是一§W4<0.

延伸探究

1.將本例中條件p改為“實(shí)數(shù)x滿足。<狀<3出其中。>0"，若〃是q的必要條件，求實(shí)數(shù)〃

的取值范圍.

解p：a<x<3a,即集合A={x|a4<3a}.

q：一即集合3={x|-2WxW3}.

因?yàn)橄?p,所以8旦A,

p?>3,

所以"v—2,=>aG0.

L>0

2.將例題中的條件“q:實(shí)數(shù)工滿足一2WxW3”改為％:實(shí)數(shù)x滿足一3WxW0”其他條件

不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解p：3a<x<a,其中〃<0,即集合A={x|3〃<r<〃}.

q：-3WxW0,即集合8={x|—3WA<0}.

因?yàn)閜是q的充分條件，所以〃=q,所以AGB,

3。2-3,

所以，aWO,=>—1Wa<0.

4<0

所以a的取值范圍是一1Wa<0.

反思感悟充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧

(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.

(2)求解步驟：先把p,q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)

于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.若p是q的充分條件，則q是0的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.既不是充分條件也不是必要條件

D.既是充分條件又是必要條件

答案B

解析因?yàn)閜是g的充分條件，所以所以q是p的必要條件.

2.下列命題中，p是4的充分條件的是（）

A.p：abW。,<7：aWO

B.p：a2+b2^0,q：且820

C.p-Ar>l,q-x>l

D.p：a>b,q：y[ci>y[b

答案A

解析根據(jù)充分條件的概念逐一判斷.

3.“同位角相等”是“兩直線平行”的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.既是充分條件，也是必要條件

D.既不充分又不必要條件

答案C

4.若“x>l”是“x>a”的充分條件，則”的取值范圍是.

答案

解析因?yàn)閤>l=x>a,所以“W1.

5.=2x”是“x=O”的條件，“x=O”是“*=2x”的條件（用“充

分”“必要”填空）.

答案必要充分

解析由于x=O=f=2r,所以“X2=2X”是“x=O”的必要條件，“x=O”是“f=2x”的

充分條件.

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

（1）充分條件、必要條件的概念.

（2）充分性、必要性的判斷.

⑶充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.

（4）充分條件與必要條件的應(yīng)用.

2.常見(jiàn)誤區(qū)：

充分條件、必要條件不唯一；求參數(shù)范圍能否取到端點(diǎn)值.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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%基礎(chǔ)鞏固

1.使x>3成立的一個(gè)充分條件是（）

A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2

答案A

解析只有x>4=>x>3,其他選項(xiàng)均不可推出x>3.

2,使心>1成立的一個(gè)必要條件是（）

A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2

答案A

解析只有Q1=QO,其他選項(xiàng)均不可由x>l推出，故選A.

3.下列p是q的必要條件的是（）

A.p：a=1,q：\a\=\

B./?：—\<a<\,q：a<\

C.p：a<h,q：a<h+1

D.p：a>bfq：a>b~\-1

答案D

解析要滿足p是q的必要條件，即4=P，只有4：。>匕+1=4：3>l=p：a>b,故選D.

4.下列“若p,則形式的命題中，〃是q的充分條件的是（）

A.若：=：，貝Ux=yB.若f=l,則冗=1

C.若冗=y,則亞=田D.若無(wú)勺，貝

答案A

解析B項(xiàng)中，x2=l=>x=l或x=-1；C項(xiàng)中，當(dāng)x=y<0時(shí)，*c,⑴無(wú)意義；D項(xiàng)中，當(dāng)

KyvOnfAy2,所以B,C,D中p不是夕的充分條件.

5.下列命題中，〃是q的充分條件的是（）

A.p：。是無(wú)理數(shù)，q：/是無(wú)理數(shù)

B.p：四邊形為等腰梯形，q：四邊形對(duì)角線相等

C.p：x>0,q：xNl

D./?：a>b,q：a^bc1

答案B

6.下列說(shuō)法不正確的是.(只填序號(hào))

①“x>5”是“Q4”的充分條件；

②“孫=0"是'②=0且y=0”的充分條件;

③“一2a<2”是“x<2”的充分條件.

答案②

解析②中由肛=0不能推出x=0且y=0,則②不正確；①③正確.

7.條件p：5—x<0,條件g：x>a,若p是q的充分條件，則a的取值范圍是.

答案{a|aW5}

解析p：x>5,若p是q的充分條件，則p=g,也就是說(shuō)，"對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的子

集，所以“W5.

8.下列式子：

①a<0<b；②辰“<0；③6<0<a；④0<b〈a.

其中能使5其成立的充分條件有.(只填序號(hào))

答案①②④

解析當(dāng)a<0<b時(shí)，^<0<1；

當(dāng)b<a<0時(shí)，^<|<0:

當(dāng)b<0<a時(shí)，^<0<^；

當(dāng)時(shí)，()W，

所以能使聶成立的充分條件有①②④.

9.指出下列各組命題中，p是g的什么條件：

⑴在△ABC中，p：A>B,q：BOAC；

(2)p：a=3,q：(a+2)(n—3)=0；

(3)p：a<b,<7：^<1.

解在(1)中，由大角對(duì)大邊，且A>8知BGAC,反之也正確，所以p既是“的充分條件，

也是4的必要條件；

在(2)中,若〃=3,則(a+2)(a—3)=0,但(a+2)(〃-3)=0不一定〃=3,所以p是q的充分

條件但不是必要條件；

在⑶中，當(dāng)。=-2,匕=一1時(shí)，A2>1；當(dāng)。=2,匕=-1時(shí)，￡=—2<1,所以p既不是q

的充分條件，也不是必要條件.

10.⑴是否存在實(shí)數(shù)優(yōu)，使2x+,“<0是缸-1或x>3的充分條件？

⑵是否存在實(shí)數(shù)修，使2x+〃i<0是右-1或x>3的必要條件？

解⑴欲使2X+?J<0是x<—I或x>3的充分條件，

/M

{XX<-2jC{x|x<-l或x>3},

ni

即只需一—所以m22.

故存在實(shí)數(shù)機(jī)22,使2%+，”<0是x<—1或x>3的充分條件.

⑵欲使2%+機(jī)<0是xv—I或x>3的必要條件，則只要{木<—1或第>3}=>卜<一半］,

這是不可能的.

故不存在實(shí)數(shù)相，使2%+根<0是x<—1或尤>3的必要條件.

土綜合運(yùn)用

11.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題中，真命題是（）

A."ac>bc”是“a>b”的必要條件

B.uac=bcn是“a=b”的必要條件

C."ac>bc”是的充分條件

D."ac=bc”是“a=b”的充分條件

答案B

解析"a=b"="4一%=0"="①一份c=0"=uac=bcn,,,ac=hc,,是“a=b”的

必要條件.

12.已知集合A={x￡R|-I<x<3},B={x&R\-l<Jc<m+\},若成立的一個(gè)充分條件

是xWA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.B.

C.m>2D.-2<m<2

答案A

解析因?yàn)閤GB成立的一個(gè)充分條件是x￡A,

所以AUB,所以3Wm+l,即機(jī)>2.

13.若4={也今<“+2},8={小<-1或x>3},且A是B的充分條件，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

為.

答案—3,或423}

解析因?yàn)锳是8的充分條件，

所以AC&

又A={x|aa<q+2},B={x\x<—1或冗>3}.

因此〃+2W—1或

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是—3,或。23}.

14.已知條件p：x<—1或x>3,條件4：x<一m+1或入>m+1（心0）,若條件〃是條件4的充

分不必要條件，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是.

答案{m\0<m<2]

解析由題意，設(shè)集合A={xLr<