2024屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙南名校聯(lián)盟2024屆高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題選擇題部分一?選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，解得或，所以.由得，所以，所以.故選：A.2.雙曲線的焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知雙曲線的焦點在軸上，，故焦點為，故選：D.3.已知平面向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是.故選：B.4.已知，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條C.充要條件件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：，因為的對稱軸為，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，因為，所以，所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分條件.必要性：顯然，當時，遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的不必要條件.綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.5.生活中有很多常見的工具有獨特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為平行四邊形，所以，所以.記梯形的高為，因為，所以，所以，所以該五面體的體積.故選：C.6.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面由題意，且注意到，聯(lián)立得，解得，所以，另一方面不妨設，且，所以有，解得或（舍去），即，由兩角和的正切公式有，所以.故選：B.7.設離散型隨機變量的期望和方差分別為和，且，則（）A.B.C.D.和大小不確定〖答案〗C〖解析〗設，則，，，.，所以，所以，故選：C．8.在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當四棱錐的體積最大時，長為（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由球的表面積，得，因為為直角三角形，所以的外接球球心在底面的投影為中點，而，故在底面的投影為垂直平分線與垂直平分線的交點，即中點，，，可得，設，則，設，令，則，，故當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當即時，函數(shù)取最大值，此時四棱錐的體積最大，長為．故選：D二?多選題9.成人心率的正常范圍為60~100次/分鐘，超過100次/分鐘為心率過速.觀測并記錄一名心率過速成人患者服用某種藥物后心率，其隨時間的變化如圖所示，則該患者（）A.服了藥物后心率會馬上恢復正常B.服藥后初期藥物起效速度會加快C.所服藥物約15個小時后失效（服藥后心率下降期間為有效期）D一天需服用該藥1至2次〖答案〗BCD〖解析〗對于A，服藥后2小時心率恢復正常，故A錯誤，對于B，服藥后初期心率下降速率增大，故B正確，對于C，服藥15小時后心率開始回升，故C正確，對于D，服藥22小時后心率過速，需再次服藥，故D正確，故選：BCD10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，則關于的說法正確的是（）A.最小正周期為 B.偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.關于中心對稱〖答案〗BD〖解析〗，的圖象向左平移個單位長度得到，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變，得到，所以，最小正周期為，A選項錯誤.是偶函數(shù)，B選項正確.由得，所以上單調(diào)遞增，C選項錯誤.，所以D選項正確.故選：BD11.已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則（）A.曲線在處的切線方程為B.有極大值，也有極小值C.使得恒成立的最小正整數(shù)為2021D.有兩個不同零點，且〖答案〗ACD〖解析〗由得，對于A，則，故處的切線方程為，即，A正確，對于B,令，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，取極大值,無極小值，B錯誤，設切點為,則切點處的切線方程為，則該切線方程經(jīng)過原點時，則，所以，得，所以此時切線方程為，由于過原點，所以當直線與相切時，此時，要使恒成立，則，由于,故，C正確，由于是的兩個零點，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，取極大值，故不妨設，記，則，由于，當且僅當時取等號，所以，故在單調(diào)遞增，故，因此，由于，所以，而在單調(diào)遞增，故，故，由于所以，由于是的兩個零點，所以，記，所以是的兩個零點，由于，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取極小值也是最小值，不妨設，則，記，則，由于，所以，因此在單調(diào)遞減，所以，即，由于時，單調(diào)遞增，，所以，即，因此，D正確，故選：ACD.12.已知是橢圓上不同的三點，記的面積分別為（為坐標原點）.若，則（）A. B.C. D.為定值〖答案〗BC〖解析〗先證明：設，不共線，則．若，則，若，當中有一個為0時，例如，則易得，當都不為0時，設直線與軸交點為，直線方程為，令是，當時，，當時，，綜上，，由已知設，，，則，同理，，由得，，，，，，由題意中任意兩點都與原點不共線，即，，所以，，所以，，從而或,所以，，故選：BC．非選擇題部分三?填空題13.已知復數(shù)滿足，則______.〖答案〗〖解析〗設，則，所以，所以，所以，則，故〖答案〗為:.14.若的展開式中所有系數(shù)絕對值之和為81，則其常數(shù)項為______.〖答案〗〖解析〗的展開式中所有系數(shù)絕對值之和為，得，的展開通項為，當時，常數(shù)項為，故〖答案〗為：.15.已知點在上運動，點在圓上運動，且最小值為，則實數(shù)的值為______.〖答案〗5〖解析〗因為可化為，又，所以表示焦點在軸上，實半軸長為的雙曲線上支的一部分，而圓的圓心為，半徑為，如圖，因為最小值為，即，又，即，所以，即，則，又，所以，因為點在上運動，故設,，所以，令，，則，，所以，令，則其對稱軸為，因為，所以，則在上單調(diào)遞減，則，即，則，解得或（舍去），所以.故〖答案〗為：5.16.已知數(shù)列的首項為，且滿足，其中為其前項和，若恒有，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由①可得②，②①得，即，，所以，，所以，，累乘得，，將代入得，解得，所以，，對于函數(shù)，得，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得存在滿足，同理時，所以要使恒成立，只需，即可，即，解得，故〖答案〗為：四?解答題17.設等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由題：解得所以；（2）由（1）知，則.兩式相減得：即有18.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若，求的周長.解：（1）由得：,則,則,即，化簡并整理得，又，則,所以.（2）由題意有，由（1）得,所以,所以，由，所以，則的周長為.19.某型合金鋼生產(chǎn)企業(yè)為了合金鋼的碳含量百分比在規(guī)定的值范圍內(nèi)，檢驗員在同一試驗條件下，每天隨機抽樣10次，并測量其碳含量（單位：%）.已知其產(chǎn)品的碳含量服從正態(tài)分布.（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)10次抽樣中其碳含量百分比在之外的次數(shù)，求及的數(shù)學期望：（2）一天內(nèi)的抽檢中，如果出現(xiàn)了至少1次檢測的碳含量在之外，就認為這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.下面是在一天中，檢測員進行10次碳含量（單位：%）檢測得到的測量結(jié)果：次數(shù)12345678910碳含量（%）0.310.320.340.310.300.310.320.310.330.32經(jīng)計算得，，其中為抽取的第次的碳含量百分比.（i）用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？（ii）若去掉，剩下的數(shù)的平均數(shù)和標準差分別記為，試寫出的算式（用表示）.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則..解：（1）由已知得：抽取一次碳含量在之內(nèi)的概率為0.9974，所以，又碳含量在之外的概率為0.0026，故,因此.（2）（i）由得的估計值為，所以，由所測數(shù)據(jù)可以看出10次抽檢的碳含量均在之內(nèi)，因此不需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.（ii）若去掉，剩下的數(shù)據(jù)的標準差又注意到，所以.20.在正三棱臺中，側(cè)棱長為1，且為的中點，為上的點，且.（1）證明：平面，并求出的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖所示：由三棱臺可知：延長交于點，連接，延長交于，并連接，易得三棱錐為正四面體，所以，且平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，且平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，在中，，則，所以.（2）解：如圖，以底面中心為坐標原點，以與平行的方向為軸，以方向為軸，以方向為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系：則，所以，所以，設平面的法向量為，則即為令，得，取平面的法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.設拋物線的焦點為是坐標原點，，過點的直線與拋物線交于兩點，延長分別交拋物線于兩點，分別是的中點.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）求的最小值.解：（1）由題：，設，代入得，則有，，所以，故，當時，，當時綜上可得直線的斜率取值范圍為.（2）設，則解得，同理，，所以，所以點的橫坐標為，點的縱坐標為，所以的斜率，記，，取的方向向量分別為，故，當時，，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為，所以當時，取到最小值為.22.設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)均有2個零點，求的取值范圍；（3）設且，證明：.（1）解：由題：，（i）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（ii）當時，解為，且，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）解：由（1）知當時，有減區(qū)間為，增區(qū)間為,由題可知：對任意，均有成立，等價于恒成立，令，則，得，且，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以；所以當時，，注意到，所以，所以的取值范圍為.（3）證明：由題意，其中且，，因為由（2）可知：，取，代入上式得，，所以，得證!浙江省浙南名校聯(lián)盟2024屆高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題選擇題部分一?選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，解得或，所以.由得，所以，所以.故選：A.2.雙曲線的焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知雙曲線的焦點在軸上，，故焦點為，故選：D.3.已知平面向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是.故選：B.4.已知，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條C.充要條件件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：，因為的對稱軸為，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，因為，所以，所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分條件.必要性：顯然，當時，遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的不必要條件.綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.5.生活中有很多常見的工具有獨特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為平行四邊形，所以，所以.記梯形的高為，因為，所以，所以，所以該五面體的體積.故選：C.6.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面由題意，且注意到，聯(lián)立得，解得，所以，另一方面不妨設，且，所以有，解得或（舍去），即，由兩角和的正切公式有，所以.故選：B.7.設離散型隨機變量的期望和方差分別為和，且，則（）A.B.C.D.和大小不確定〖答案〗C〖解析〗設，則，，，.，所以，所以，故選：C．8.在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當四棱錐的體積最大時，長為（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由球的表面積，得，因為為直角三角形，所以的外接球球心在底面的投影為中點，而，故在底面的投影為垂直平分線與垂直平分線的交點，即中點，，，可得，設，則，設，令，則，，故當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當即時，函數(shù)取最大值，此時四棱錐的體積最大，長為．故選：D二?多選題9.成人心率的正常范圍為60~100次/分鐘，超過100次/分鐘為心率過速.觀測并記錄一名心率過速成人患者服用某種藥物后心率，其隨時間的變化如圖所示，則該患者（）A.服了藥物后心率會馬上恢復正常B.服藥后初期藥物起效速度會加快C.所服藥物約15個小時后失效（服藥后心率下降期間為有效期）D一天需服用該藥1至2次〖答案〗BCD〖解析〗對于A，服藥后2小時心率恢復正常，故A錯誤，對于B，服藥后初期心率下降速率增大，故B正確，對于C，服藥15小時后心率開始回升，故C正確，對于D，服藥22小時后心率過速，需再次服藥，故D正確，故選：BCD10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，則關于的說法正確的是（）A.最小正周期為 B.偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.關于中心對稱〖答案〗BD〖解析〗，的圖象向左平移個單位長度得到，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變，得到，所以，最小正周期為，A選項錯誤.是偶函數(shù)，B選項正確.由得，所以上單調(diào)遞增，C選項錯誤.，所以D選項正確.故選：BD11.已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則（）A.曲線在處的切線方程為B.有極大值，也有極小值C.使得恒成立的最小正整數(shù)為2021D.有兩個不同零點，且〖答案〗ACD〖解析〗由得，對于A，則，故處的切線方程為，即，A正確，對于B,令，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，取極大值,無極小值，B錯誤，設切點為,則切點處的切線方程為，則該切線方程經(jīng)過原點時，則，所以，得，所以此時切線方程為，由于過原點，所以當直線與相切時，此時，要使恒成立，則，由于,故，C正確，由于是的兩個零點，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，取極大值，故不妨設，記，則，由于，當且僅當時取等號，所以，故在單調(diào)遞增，故，因此，由于，所以，而在單調(diào)遞增，故，故，由于所以，由于是的兩個零點，所以，記，所以是的兩個零點，由于，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取極小值也是最小值，不妨設，則，記，則，由于，所以，因此在單調(diào)遞減，所以，即，由于時，單調(diào)遞增，，所以，即，因此，D正確，故選：ACD.12.已知是橢圓上不同的三點，記的面積分別為（為坐標原點）.若，則（）A. B.C. D.為定值〖答案〗BC〖解析〗先證明：設，不共線，則．若，則，若，當中有一個為0時，例如，則易得，當都不為0時，設直線與軸交點為，直線方程為，令是，當時，，當時，，綜上，，由已知設，，，則，同理，，由得，，，，，，由題意中任意兩點都與原點不共線，即，，所以，，所以，，從而或,所以，，故選：BC．非選擇題部分三?填空題13.已知復數(shù)滿足，則______.〖答案〗〖解析〗設，則，所以，所以，所以，則，故〖答案〗為:.14.若的展開式中所有系數(shù)絕對值之和為81，則其常數(shù)項為______.〖答案〗〖解析〗的展開式中所有系數(shù)絕對值之和為，得，的展開通項為，當時，常數(shù)項為，故〖答案〗為：.15.已知點在上運動，點在圓上運動，且最小值為，則實數(shù)的值為______.〖答案〗5〖解析〗因為可化為，又，所以表示焦點在軸上，實半軸長為的雙曲線上支的一部分，而圓的圓心為，半徑為，如圖，因為最小值為，即，又，即，所以，即，則，又，所以，因為點在上運動，故設,，所以，令，，則，，所以，令，則其對稱軸為，因為，所以，則在上單調(diào)遞減，則，即，則，解得或（舍去），所以.故〖答案〗為：5.16.已知數(shù)列的首項為，且滿足，其中為其前項和，若恒有，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由①可得②，②①得，即，，所以，，所以，，累乘得，，將代入得，解得，所以，，對于函數(shù)，得，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得存在滿足，同理時，所以要使恒成立，只需，即可，即，解得，故〖答案〗為：四?解答題17.設等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由題：解得所以；（2）由（1）知，則.兩式相減得：即有18.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若，求的周長.解：（1）由得：,則,則,即，化簡并整理得，又，則,所以.（2）由題意有，由（1）得,所以,所以，由，所以，則的周長為.19.某型合金鋼生產(chǎn)企業(yè)為了合金鋼的碳含量百分比在規(guī)定的值范圍內(nèi)，檢驗員在同一試驗條件下，每天隨機抽樣10次，并測量其碳含量（單位：%）.已知其產(chǎn)品的碳含量服從正態(tài)分布.（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)10次抽樣中其碳含量百分比在之外的次數(shù)，求及的數(shù)學期望：（2）一天內(nèi)的抽檢中，如果出現(xiàn)了至少1次檢測的碳含量在之外，就認為這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.下面是在一天中，檢測員進行10次碳含量（單位：%）檢測得到的測量結(jié)果：次數(shù)12345678910碳含量（%）0.310.320.340.310.300.310.320.310.330.32經(jīng)計算得，，其中為抽取的第次的碳含量百分比.（i）用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？（ii）若去掉，剩下的數(shù)的平均數(shù)和標準差分別記為，試寫出的算式（用表示）.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則..解：（1）由已知得：抽取一次碳含量在之內(nèi)的概率為0.997